Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 08-12-2019 17:56:47
- martiflydoc
- Membre
- Inscription : 20-10-2019
- Messages : 65
Fonction continue par morceaux borélienne
Bonjour,
Une fonction réelle continue est toujours borélienne (l'image réciproque d'un ouvert étant un ouvert). Mais une fonction seulement continue par morceaux l'est-elle aussi ? Il me semble que non mais quel contre-exemple précisément prendre ?
Merci
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#2 09-12-2019 09:42:47
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Fonction continue par morceaux borélienne
Bonjour,
Si, une fonction continue par morceaux est toujours borélienne. On peut le démontrer à la main, en utilisant la définition d'une fonction continue par morceaux, et en étudiant ce que va être l'image d'un ouvert... On peut aussi utiliser le fait qu'une fonction continue par morceaux est la limite simple de fonctions en escalier.
F.
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#3 09-12-2019 09:57:38
- Maenwe
- Membre confirmé
- Inscription : 06-09-2019
- Messages : 409
Re : Fonction continue par morceaux borélienne
Bonjour,
Moi je pense le contraire ;)
Soit $f$ une fonction continue par morceau.
Prends un intervalle ouvert $]a;b[$.
Soit $g$ égale à $f$ sur $]a;b[$, et 0 partout ailleurs :
$g = f. \mathbb{1}_{]a;b[}$.
$f$ étant continue par morceaux il existe une subdivision en intervalle de $]a;b[$, $S_{1},...,S_{n}$ (les $S_{i}$ sont des intervalles) telle que :
$f$ est continue sur chacun des intervalle $S_{i}$ et $\cup S_{i} = ]a;b[$.
Je te laisse terminer le raisonnement ;)
PS : @Fred a répondu avant moi, mais bon vu que nos message sont plutôt différents je laisse celui-ci !
Dernière modification par Maenwe (09-12-2019 10:04:02)
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