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#1 02-12-2019 04:24:32
- Amath
- Membre
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Polynome
Bonjour
Comment factoriser le polynôme X^6 - 3X^5 - X^4 + 9X^3 - 3X^2 - 9X + 6 dans F6[X]
Merci
Dernière modification par Amath (03-12-2019 01:18:58)
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#2 02-12-2019 09:22:27
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 991
Re : Polynome
RE,
$x^6 - 3x^5 - x^4 + 9x^3 - 3x^2\,??\;9x + 6$
Quel est le signe manquant ?
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#3 02-12-2019 09:49:54
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 089
Re : Polynome
Salut,
@Yoshi : je parie que c'est un signe négatif...
@Amath : si tel est le cas tu peux commencer par chercher des racines évidentes : 0,1,2,3,-1,...
Dernière modification par Zebulor (02-12-2019 10:48:29)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#4 02-12-2019 10:47:50
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 991
Re : Polynome
Re,
Je marche sur des œufs...
Le "...dans F6[X]" est une notation que, j'avoue, je ne connais pas, mais je vais me soigner (pas tout de suite, j'ai trop de fers au feu en ce moment pour 3 semaines)...
S'il s'agit effectivement de factoriser
$x^6 - 3x^5 - x^4 + 9x^3 - 3x^2-9x + 6$
alors j'avais déjà trouvé deux facteurs $(x-1)$ et $(x-2)$...
Pour le reste je ne me suis pas cassé la tête et je laisse ce soin aux experts.
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#5 02-12-2019 10:53:51
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 089
Re : Polynome
Re,
j 'avoue que je ne connais pas non plus cet ensemble F6[X], ..
Alors sans prétendre être un expert des polynômes, loin de là, mais à partir de l'information de Yoshi :
Dans $\mathbb R_6[X]$
$x^6 - 3x^5 - x^4 + 9x^3 - 3x^2-9x + 6=(x-1)(x-2)(x^4+ax^3+bx^2+cx+3)$ qu'il suffit de développer puis identifier.
Dernière modification par Zebulor (02-12-2019 11:20:23)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#6 02-12-2019 15:24:14
- Maenwe
- Membre confirmé
- Inscription : 06-09-2019
- Messages : 409
Re : Polynome
Bonjour !
J'ai interprété dans un premier temps F6[X] comme le groupe $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, ça aurait été bien plus dure dans ce cas de factoriser ce polynôme puisqu'on était même pas sûr qu'il soit non irréductible, et ni même informé sur le nombre de racines ^^ Du coup $\mathbb{R}_{6}[X]$ semble bien plus plausible bien que je ne vois pas l'utilité de préciser que l'on ne s'intéresse qu'aux polynôme de degré inférieur à 6 ah et je rajouterai aussi que sur le clavier (enfin celui azerti), le F et R sont assez proche...
Mais si jamais c'est bien $\mathbb{F}_{6}$ alors il est possible d'étudier ce polynôme en étudiant un autre polynôme grâce à un isomorphisme :
Par le théorème chinois on a : $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.
(isomorphisme donné par : $f(x [6]) = (x [2],x[3])$).
Après on étudie les racines de ce polynôme dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour $n \in \{2,3 \}$...
Dernière modification par Maenwe (02-12-2019 15:58:56)
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#7 02-12-2019 15:57:04
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 089
Re : Polynome
Re,
je rajouterai aussi que sur le clavier (enfin celui azerti), le F et R sont assez proche...
@Maenwe : je confirme !! :-)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#8 03-12-2019 01:24:34
- Amath
- Membre
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- Messages : 4
Re : Polynome
Bonjour
Ici on me demande de le factoriser en produit irréductibles dans F6[X]
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#9 03-12-2019 10:18:29
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 049
Re : Polynome
Bonjour,
Alors, il faut que tu nous expliques ce que c'est $F_6$. Pour moi, la notation $F_q$, en algèbre, et plus particulièrement en théorie des corps, désigne le corps fini à $q$ éléments. Mais on sait qu'un tel corps n'existe que si $q=p^n$, où $p$ est un nombre premier. Et 6 n'est pas une puissance d'un nombre premier!!! Alors peut-être que Maenwe a raison et qu'il s'agit de $\mathbb Z/6\mathbb Z$, et alors dans ce cas, déjà le terme constant disparaît...
F.
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