Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 180

fonction test

Bonjour
On a vu le résultat suivant: soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et soit $\theta \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\theta(0)=1$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que:
$$
\varphi(x)= \varphi(0) \theta(x) + x \psi(x),
$$
où $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$.
Puis, pour montrer que $vp 1/x$ définie par: pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle vp 1/x,\varphi\rangle = \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$, est une distribution. On montre qu'elle est bien définie en utilisant l'écriture
$$
\varphi(x)=  \varphi(0)+ x \psi(x)
$$
où $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$.

Ma question est qu'on a l'impression que l'écriture $\varphi(x)=  \varphi(0)+ x \psi(x)$ est un cas particulier de la première écriture $\varphi(x)= \varphi(0) \theta(x) + x \psi(x)$ pour $\theta=1$ mais cela est impossible car $1$ n'est pas une fonction teste! Donc c'est quoi le lien entre les deux écritures de $\varphi$?

Cordialement

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 180

Re : fonction test

pour montrer que $vp 1/x$ est une distribution bien définie, on remplace $\varphi(x)$ qui est une fonction test par $\varphi(0) + x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$ qui n'est pas une fonction test si $\varphi(0) \neq 0$. Comment on peut permettre un tel remplacement?

Cordialement