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ccapucine

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fonction test

Bonjour
j'ai l'exercice suivant: soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ et soit $\theta \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\theta(0)=1$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a:
$$
\varphi(x)= \varphi(0) \theta(x) + x \psi(x).
$$
On nous donner comme indication: écrire $\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$.
Ma question est comment l'indication peut nous permettre de répondre à la question? Je ne vois pas comment l'utiliser. De plus, qui est $\psi$?

Bien cordialement

Roro

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Re : fonction test

Bonjour ccapucine,

A mon avis la question est de montrer qu'il existe $\psi \in \mathcal D(\mathbb{R})$ telle que...

Il doit y avoir une astuce mais je te propose une solution (certainement moins élégante, mais qui ne doit pas être loin).

$\bullet$ Pour $x\neq 0$, il n'y a pas de problème puisqu'il suffit de dire que
$$\varphi(x) = \varphi(0)\theta(x) + x \frac{\varphi(x) - \varphi(0)\theta(x)}{x}.$$
En posant
$$\psi(x) = \frac{\varphi(x) - \varphi(0)\theta(x)}{x},$$
c'est tout bon, en dehors de $0$.

$\bullet$ Le problème se pose donc de définir $\psi$ au voisinage de $0$.
Puisque $\theta(0)=1$, tu peux te placer sur un voisinage de $0$ sur lequel $\theta$ reste positif. Tu écris ensuite
$$\frac{\varphi(x)}{\theta(x)} = \frac{\varphi(0)}{\theta(0)} + \int_0^x \Big(\frac{\varphi}{\theta}\Big)'(s) \, \mathrm ds.$$
A l'aide d'un changement de variable ($t=sx$), tu as
$$\int_0^x \Big(\frac{\varphi}{\theta}\Big)'(s) \, \mathrm ds = x \int_0^1 \Big(\frac{\varphi}{\theta}\Big)'(tx) \, \mathrm dt.$$
En posant
$$\psi(x) = \theta(x) \int_0^1 \Big(\frac{\varphi}{\theta}\Big)'(tx) \, \mathrm dt,$$
la fonction $\psi$ convient sur ce voisinage de $0$.

$\bullet$ Il te reste simplement à dire que les deux expressions trouvées (pour $x\neq 0$, puis pour $x$ au voisinage de $0$) coïncide en dehors de $0$ (c'est facile...) pour conclure.

Roro.

Dernière modification par Roro (30-11-2019 16:26:58)

ccapucine

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Re : fonction test

Merci Roro

Zebulor

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Re : fonction test

Hello,

A l'aide d'un changement de variable ($t=sx$), tu as
Roro.

Je crois que Roro voulait écrire $s=tx$

On nous donner comme indication: écrire $\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$.

On peut aussi partir de :
$\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt=[\frac {\phi(tx)}{x}]_{t=0}^{t=1}$ 1 pour tout $x$ non nul. Qu’il reste à expliciter puis exploiter l hypothèse sur $\phi$ : $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$
Et compte tenu de cette dernière hypothèse $\psi$ est nécessairement continue en 0.

Par conséquent $$\psi(x) = \frac{\varphi(x) - \varphi(0)\theta(x)}{x}$$ a une limite en 0 et on a $\psi(0)=\phi’(0)$, sachant de plus que $\theta(0)=1$ et $\theta$ continue en 0...
L’égalité du post #1 se trouve bien vérifiée pour tout $x$ réel

Dernière modification par Zebulor (30-11-2019 23:35:01)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.