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#1 25-10-2019 09:35:57

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Changement de variables

Salut,
je reviens sur la bonne idée d'un post de Yoshi que j'ai stoppé dans son élan dans un autre forum : "exercice fonction polynôme du second degré" posté par Illona.

On remplace $x^2$ par $X$. De même qu'en physique le vecteur poids s'écrit soit P soit mg et on écrit P=mg : changement de variables.
$x^2$ et $X$ sont identiques : [tex]x^2=X[/tex]. Mais alors [tex]x^4=X^2[/tex], et aussi : [tex]x^4-1=X^2-1[/tex]

Alors pourquoi j'ai soulevé un lièvre ?
[tex]x^4-1[/tex], c'est [tex]f(x)[/tex]. Mais [tex]X^2-1[/tex] n'est pas [tex]f(X)[/tex]. C'est une autre fonction de $X$ qu'on peut appeler $g$.
Quelque soit le changement de variable entre $x$ et $X$ on aura toujours $f(X)=X^4-1$. Dans l'expression de $f$, $X$ est une variable muette, on peut donc la remplacer par n'importe quelle autre lettre de l'alphabet..

Alors il vient pour tout x de R, [tex]f(x)=g(X)[/tex]. A quoi sert $g$ : c'est une sorte de fonction intermédiaire, plus facile à factoriser que $f$ à première vue en tant que différence de deux carrés bien visibles(identité remarquable).
Ainsi : $g(X)=(X-1)(X+1)$.. et ceci reste une fonction de $x$ cachée, compte tenu du changement de variables. Il suffit de remplacer alors $g(X)$ par $f(x)$ et $X$ par $x^2$ dans l'expression de g

Ensuite ; je cite Yoshi car on va capturer le lapin :
"   Et tu vas utiliser le même produit remarquable pour la 2e fois :$f(x)=(x - 1)(x+1)(? \;+ \;1)$
Maintenant, tu n'as plus qu'à développer le produit des deux derniers facteurs dans une seule parenthèse et tu dois arriver à
$f(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+1)$   "

Dernière modification par Zebulor (25-10-2019 09:39:51)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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