Spé Maths TS : D.M. Division dans Z

Bask13 · 24-10-2019 16:49:56

Bonjour, je viens ici avec l'espoir que quelqu'un puisse m'aider moi et mes camarades sur l'exercice numéro 2 de notre D.M. de Spé Maths.
Voici l'énoncé :
On considère une fonction polynomiale P à coefficients entiers:
[tex]P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ..... + a_1*x + a_0[/tex]
1.Montrer que, pour tout entier m, [tex] P(m) \equiv a_0 \pmod m [/tex]
2.Soit [tex] m_0 [/tex] une racine entière non nulle de P. Montrer que [tex] m_0 [/tex] divise [tex] a_0 [/tex]
3.En déduire que [tex] x^3−2x^2+4x−10[/tex] n'a pas de racines entières.

J'ai réussi la question 1 mais je bloque sur la deux, enfin j'ai une idée de résolution qui me parait saugrenue et qui ne me permet pas de faire la question 3.
Pour prouver la 1, j'ai factorisé P(m) par m et ainsi obtenue une division euclidienne avec [tex] a_0 [/tex] comme reste. Et donc je pensais faire la même chose pour la deux mais cela ne fonctionne pas. Ensuite j'ai tenté de développer[tex] P(m_0) = 0 [/tex] et à la fin, j'obtiens quelque chose du type [tex]-m_0*(a_n*m_0^{n-1}+a_{n-1}*m_0^{n-2}+...+a_1)=a_0[/tex] mais je ne sais si cela est bon même si cela prouve que [tex] m_0 [/tex] et [tex] -m_0 [/tex] divise [tex] a_0 [/tex].
Je demande donc votre aide.
Merci d'avoir lu ce message.

Dernière modification par Bask13 (24-10-2019 17:18:23)

freddy · 24-10-2019 17:09:58

Salut,

pour le 2), tu te compliques un peu la vie. Si $m_0$ est racine du polynôme P, alors écrit $P(x)$ sous la forme du produit de $(x-m_0)$ et d'un polynôme de degré $n-1$ et regarde comment s'écrit le terme de degré $0$ après avoir développé et identifié.

tu as $(X-m_0)(b_{n-1}X^{n-1}+ ... + b_0)=a_nX^n +...+a_0$ et donc ?

Dernière modification par freddy (24-10-2019 17:13:53)

Bask13 · 24-10-2019 17:26:23

Et donc en factorisant par [tex] (x-m_0) [/tex], j'obtiens [tex] (x-m_0)(a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0) [/tex], mais je ne vois pas où cela mène et si on retombe sur [tex] a_nX^n +...+a_0[/tex] comme vous le montrez, on retrouve [tex] P(x) [/tex], non ? Et après je ne sais en quoi cela nous aide, je n'arrive pas à voir.

Dernière modification par Bask13 (24-10-2019 17:26:48)

freddy · 24-10-2019 17:32:58

Bask13 a écrit :

Et donc en factorisant par [tex] (x-m_0) [/tex], j'obtiens [tex] (x-m_0)(a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0) [/tex], mais je ne vois pas où cela mène et si on retombe sur [tex] a_nX^n +...+a_0[/tex] comme vous le montrez, on retrouve [tex] P(x) [/tex], non ? Et après je ne sais en quoi cela nous aide, je n'arrive pas à voir.

Non, ce que tu fais est faux !
Relis bien mon post (regarde les coefficients $a$ et $b$), tu vas trouver !

Dernière modification par freddy (24-10-2019 17:33:49)

Bask13 · 24-10-2019 17:46:16

Ah oui, en effet j'avais mal compris votre post. Je vais donc développer [tex](X-m_0)(b_{n-1}X^{n-1}+ ... + b_0)[/tex] pour pouvoir identifié [tex] a_0 [/tex].
Je trouve en identifiant [tex] a_0 = b_0*m_0 [/tex], ainsi [tex] m_0 [/tex] divise [tex] a_0 [/tex], non ? car on retrouve la formule [tex] a = b*k [/tex]

freddy · 24-10-2019 17:55:02

Bask13 a écrit :

Ah oui, en effet j'avais mal compris votre post. Je vais donc développer [tex](X-m_0)(b_{n-1}X^{n-1}+ ... + b_0)[/tex] pour pouvoir identifié [tex] a_0 [/tex].
Je trouve en identifiant [tex] a_0 = b_0*m_0 [/tex], ainsi [tex] m_0 [/tex] divise [tex] a_0 [/tex], non ? car on retrouve la formule [tex] a = b*k [/tex]

Voilà ! Et donc, réponds maintenant à la question suivante !

Dernière modification par freddy (24-10-2019 17:57:30)

Bask13 · 24-10-2019 18:08:14

Ainsi sachant que [tex] a_0 = b*m_0[/tex] avec [tex]m_0[/tex] , une racine entière non nulle. Pour vérifier que [tex] Q(x) = x^3-2x^2+4x-10 [/tex] n'a pas de racines entières, on remplace [tex]x[/tex] par les diviseurs de 10 car ici notre [tex]a_0[/tex] c'est 10. Et donc on teste pour [tex]x=1 , x=2 , x=5 [/tex] , [tex] x=10[/tex] et leur opposés, et on voit que pour toutes ces valeurs de [tex] x[/tex], [tex]Q(x)[/tex] n'est pas égale à 0. C'est ça ?

Dernière modification par Bask13 (24-10-2019 18:09:36)

freddy · 24-10-2019 18:13:37

Oui, tu as compris.

Bask13 · 24-10-2019 18:17:36

D'accord et franchement merci ! Vous nous avez vraiment aidé mes camarades et moi. Maintenant nous pouvons réfléchir sur nos deux exercices restants. Bonne soirée à vous.

Dernière modification par Bask13 (24-10-2019 18:27:39)

freddy · 24-10-2019 18:27:13

Bon courage !

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