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#1 21-10-2019 16:47:28

Barnabe
Invité

exercice sur les séries

Bonjour à tous,

J'aurai besoin d'aide pour cet exercice.

1) Prouver l'existence d'un réel strictement positif R tel que si z ∈ C, la suite définie par ∑z(2puissance n) converge lorsque |z| < R et diverge lorsque |z|> R. Pour z appartenant au disque ∆ centre O et de rayon R, on pose désormais:
f(z)=∑z(2puissance n).
2) En utilisant une minoration adéquate des sommes partielles de ∑x(2puissance n) prouver que la limite lorsque x tend vers R- f(x) = +∞.

3) Prouver que si z ∈ ∆ et n ∈ N |f(z(2puissance n))|≤ |f(z)|+n.
4) Soit ζ un élément du cercle Γ de centre 0 et de rayon R tel qu'il existe n ∈ N vérifiant ζ (2puissance n)= R. Prouver que lim lorsque r tend vers R- f(rζ) =+∞.


Ce que j'ai fait pour l'instant:

J'ai répondu à la question 1) et j'ai trouvé R=1.
En revanche, je ne sais pas faire la question 2) surtout je ne comprend pas comment la limite de f(x) lorsque x tend vers R- peut être+∞ alors que la série ∑x(2puissance n)pour moi converge lorsque x tend vers R-.

Merci beaucoup pour votre aide.

#2 21-10-2019 17:50:05

Maenwe
Membre confirmé
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Re : exercice sur les séries

Bonsoir,

Tout d'abord, qu'est ce qui t’amène à penser que cette foncition possède une limite finie en $R^{-}$ ?

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#3 21-10-2019 19:53:25

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

Bonsoir,

Merci pour la réponse Maenwe.
Je pense que cette fonction possède une limite finie en R- car elle est définie par une série qui converge puisque R- équivaut à 1- (d'après la question 1).

#4 21-10-2019 20:11:26

Maenwe
Membre confirmé
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Re : exercice sur les séries

Re,

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire mais je m'avance : on est sûr que la série ne converge que pour des valeurs de z se trouvant dans le disque ouvert de rayon 1. Le problème je pense vient du fait que tu penses que l'on a montré que la série convergeait pour $x = R$ ce qui n'est pas le cas...

Dernière modification par Maenwe (21-10-2019 20:17:38)

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#5 21-10-2019 20:20:51

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

Re,

Je ne comprends pas R-, c'est - ∞ des réels ou bien la limite à gauche du réel R de la question 1 (cad 1- )?
Car dans le second cas, on se trouve bien dans le disque de rayon R et donc dans ce cas la série converge. Non?

#6 21-10-2019 20:57:58

Maenwe
Membre confirmé
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Re : exercice sur les séries

$R^{-}$ ce n'est pas un nombre c'est une notation pour indiquer que l'on approche R par la gauche (ie. on approche R avec des valeurs de x inférieur à R), au passage je ne vois pas pourquoi $R^{-}$ serait $- \infty$.
C'est donc le second cas, et oui la série converge sur le disque de rayon R, mais c'est le disque ouvert ! (le disque ouvert de rayon R est : $\{z \in \mathbb{C} | |z|  < R \}$). Normalement tu as montré dans le 1) que ta série convergeait pour tout complexe de module strictement inférieur à 1 et non pas inférieur (ou égal) à 1 ! La théorie des séries entières te dit que tu es assuré que ta série entière est continue sur le disque ouvert de rayon 1, ça ne veut pas dire que puisque c'est continue que lorsque l'on fait tendre z (complexe) vers "le bord" du disque ça converge.

Dernière modification par Maenwe (21-10-2019 20:58:18)

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#7 21-10-2019 21:11:51

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

Re,

ok, je comprends.
 
Pour x=R=1, la série géométrique ∑x(2puissance n) ne converge pas et a pour somme partielle 2(n+1)  il me semble.
Cela suffit à conclure que la limite lorsque x tend vers R- f(x) = +∞ ?

#8 21-10-2019 21:15:09

Shaun
Invité

Re : exercice sur les séries

Bonsoir,

bien que la série soit effectivement divergente en $R = 1$, la question est ici différente. On regarde la limite, en $1^-$, on peut donc supposer $x > 0$, fixé. L'idée est de minorer les termes de la somme partielle par l'intégrale entre $k$ et $k+1$ de la fonction $x^{2^y}$ (fonction de $y$, $y \geq 0$). Fixons maintenant $N > 0$, on a pour tout $n\geq N$,

$$\sum_{k=1}^n x^{2^k} \geq \int_0^N x^{2^y}dy$$

En faisant maintenant tendre $n$ vers l'infini, on obtient que $f(x)\geq \int_0^N x^{2^y}dy$. Maintenant si on fait tendre $x$ vers $1^-$ dans le terme de droite (on intervertit intégrale et limite, ce qui est légitime car on a une fonction continue sur un intervalle), cette quantité tend vers $N+1$. Je te laisse finir proprement mais l'idée est là je pense. Il y a peut-être aussi plus simple.

Cordialement,

#9 21-10-2019 21:41:18

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

Re,

Merci Shaun.
Mais qu'est ce qui permet d'affirmer que la somme partielle est supérieure à l'intégrale entre 0 et N de x2puissancey dy ?

#10 22-10-2019 11:04:20

Maenwe
Membre confirmé
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Re : exercice sur les séries

Bonjour,

En faisant une somme d'intégrale et en remarquant que : $\forall y \in [k;k+1]$ $x^{2^{k}} \geq x^{2^{y}}$ (car $x <1$), et après tu intègre, et je te laisse conclure...

Dernière modification par Maenwe (22-10-2019 11:04:37)

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#11 22-10-2019 16:30:06

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

Bonjour,

Merci Maenwe.
Je vais essayer. Je reviendrai vers vous si je n'y arrive pas.
bonne soirée.

#12 22-10-2019 17:43:44

Maenwe
Membre confirmé
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Messages : 154

Re : exercice sur les séries

Sinon il y a une autre méthode (très pratique dans plusieurs cas pour les séries entière pour montrer qu'elle diverge lorsque l'on fait tendre x vers un certain point). Je te lances sur cette autre méthode que je te laisserai finir si tu le souhaites (ou si tu veux que je la complète fait moi signe).
Tu raisonnes par l'absurde dans un premier temps en supposant que $x \rightarrow \sum\limits_{k=0}^{+\infty} x^{2^{k}} $ possède une limite finie en $R^{-}$.
Et la tu utilises le fait que les sommes partielles pour x fixé croissent lorsque N "grandit" :
autrement dit pour $x \in ]-1;1[$ $\forall m \geq n$ $\sum\limits_{k=0}^{n} x^{2^{k}} \leq \sum\limits_{k=0}^{m} x^{2^{k}}$.
Donc $\forall x \in ]0; 1[$ $\forall N \in \mathbb{N}$ $\sum\limits_{k=0}^{N} x^{2^{k}} \leq \sum\limits_{k=0}^{+\infty} x^{2^{k}} $. Et je te laisse continuer (si tu le souhaites).
Et à partir de là je te laisse conclure

Dernière modification par Maenwe (22-10-2019 17:59:13)

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#13 22-10-2019 21:44:40

Shaun
Invité

Re : exercice sur les séries

En reprenant la méthode énoncée par Maenwe, il n'y a même pas besoin de raisonner par l'absurde. Soit $M > 0$, on souhaite montrer qu'il existe $\delta > 0$ tel que $\forall x\in [1-\delta, 1[$, $f(x) \geq M$. Or on sait que $\sum_{k=0}^M x^{2^k} \leq f(x)$ et que la limite en $1^-$ de la somme vaut $M+1$. Donc il existe $\delta > 0$ tel que $\forall x\in [1-\delta, 1[$, la somme est plus grande que $M$ et donc le résultat suit immédiatement.

#14 29-10-2019 16:36:16

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

Re bonjour,

Merci à vous Maenwe et Shaun.

Désolé, je n’ai pas pu me connecter pendant tous ces jours.
J'ai finalement réaliser la minoration demandée en utilisant la relation série/intégrale selon le post #8 de Shaun. Cela dit Maenwe, puisque tu le proposes, je veux bien ta deuxième méthode complète s'il te plait.

Je suis sur la question 3) (j'essaie encore d'utiliser cette relation série/intégrale). Pas sur que ce soit la bonne piste!!! Je reviendrai vers vous si je n'y arrive pas!!!
Encore merci.

#15 29-10-2019 20:15:16

Maenwe
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Re : exercice sur les séries

Bonsoir,

Reprends mon inégalité fait tendre x vers 1 et tu obtiens en notant l la limite de f en $1^{-} $ :
$N+1 \leq l $ et fait tendre N vers $+\infty $... et tu obtiens une absurdité.

Mais la méthode de Shaun est tout aussi valable !

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#16 06-11-2019 00:59:47

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

Bonsoir à tous,

Je bute sur la question 3.
Je m'acharne à essayer de prouver l'inégalité par récurrence mais je n'y arrive pas.
Pouvez vous me dire si vous pensez que c'est la bonne méthode s'il vous plait ?
D'avance merci.

#17 06-11-2019 20:43:30

Maenwe
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Re : exercice sur les séries

Bonsoir,

Par récurrence c'est possible mais ça reprend essentiellement une méthode qui n'a pas besoin de raisonnement par récurrence, pour la faire (cette méthode) commence par écrire la $f(z^{2^{n}})$ sous forme de somme et essaye d'obtenir une expression sympathique.

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#18 06-11-2019 21:42:04

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

Bonsoir,

J'ai essayé mais je n'ai rien trouvé de "sympathique". Je ne vois notamment pas d'ou vient le n.
C'est pour cela que j'ai essayé par récurrence.
On doit commencer comme ça?:
f(z2^n)= Σ (f(z)2^n)

#19 06-11-2019 21:56:01

Maenwe
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Re : exercice sur les séries

D'où sors tu cette formule ? Écris la définition de f et après au lieu de $z$ mets $z^{2^{n}}$.

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#20 06-11-2019 22:02:12

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

f (z)= Σ z 2^n
et donc f (z 2^n)= Σ (z 2^n)2^n

#21 06-11-2019 22:04:45

Maenwe
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Re : exercice sur les séries

Loupé, tu confonds n avec l'indice de la somme qui est "muet", $f(z) = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} z^{2^{k}}$, et donc $f(z^{2^{n}})$ est égale à ?

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#22 06-11-2019 22:12:57

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

somme de n à +∞ de f(z) ?

#23 06-11-2019 22:16:39

Maenwe
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Re : exercice sur les séries

Exacte ! Et donc comment peux tu réécrire $f(z^{2^{n}})$ en fonction de $f(z)$ ?

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#24 06-11-2019 22:27:47

Barnabe
Invité

Re : exercice sur les séries

C'est une double somme?

somme de n à +∞ de (somme de 0 à +∞ de z 2^k)

#25 06-11-2019 22:33:33

Maenwe
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Re : exercice sur les séries

Non non, ce n'est pas une double somme, je vais tout écrire pour que ce soit claire :
$f(z^{2^{n}})=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} (z^{2^{k}})^{2^{n}} = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} z^{2^{k}.2^{n}} = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} z^{2^{k+n}} = \sum\limits_{k=n}^{+\infty} z^{2^{k}} = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} z^{2^{k}} - \sum\limits_{k=0}^{n-1} z^{2^{k}}$

C'est plus claire comme ça ?

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