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#1 22-10-2019 15:06:01

mlka38
Membre
Inscription : 22-10-2019
Messages : 2

Dm maths 1ère spécialité trigonométrie

Bonjour, j'ai un Dm de maths à rendre pour la rentrée. Merci à tout ceux qui m'aideront.

Exercice 1 : Cosinus et sinus de « l’angle moitié ». [CHERCHER, RAISONNER, CALCULER]
Le plan étant muni d’un repère orthonormé (O ;I ;J), on note C le cercle trigonométrique. 

Partie A. Démontrer :

Soit un réel x ∈ [0;pi].

On note M le point du cercle C associé à x, et H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OIM.

1) Rappeler les coordonnées du point I et du point M. 

I(1;0) M(cos x; sin x)

2) En déduire la distance IM en fonction de x.

IM=racine(2-2cos x)

3) Démontrer que MH = sin x/ 2

MH=MI/2=IH car la hauteur OH, coupe MI en son milieu

x/2=MÔH=angle(HOI)

Donc, sin x/2 = sin (angle)MOH
sin MÔH=opposé/hypoténuse = MH/MO=MH/1=MH

Alors effectivement:
MH=sin MÔH=sin x/2

4) Démontrer que cos x/2= racine ((1+cos x)/2)

x/2 = MÔH

Donc, cos MÔH=cos x/2
cos x/2 = adjacent/hypoténuse=OH/OM=OH/1=OH

OH=racine((xH-xO)²+(yH-yO)²)
=racine((xH-0)²+(yH-0)²)
=racine(xH²+yH²)
=xH+yH

Ensuite je n'arrive pas à trouver (ou peut-être que tout mon raisonnement est faux ?)

Les questions suivantes aussi me posent problème:

Partie B. Cas général

Expliquer comment on peut calculer cos x/2 et sin x/2 à partir des formules précédentes dans le cas où x est un réel quelconque pas forcément dans l’intervalle [0;pi].

Dernière modification par mlka38 (22-10-2019 15:45:15)

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#2 22-10-2019 15:47:21

yoshi
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Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 784

Re : Dm maths 1ère spécialité trigonométrie

Bonjour,

Une piste :
Soit K le point diamétralement opposé à I.
IK=2
Compare les angles $\widehat{MKI}$ et $\widehat{HOI}$, puis calcule MK² de 2 façons (trigo et Pythagore) dans le triangle KMI rectangle en M  et écris que le deux expressions sont égales.
Ça va très vite...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 23-10-2019 09:20:04

mlka38
Membre
Inscription : 22-10-2019
Messages : 2

Re : Dm maths 1ère spécialité trigonométrie

yoshi a écrit :

Bonjour,

Une piste :
Soit K le point diamétralement opposé à I.
IK=2
Compare les angles $\widehat{MKI}$ et $\widehat{HOI}$, puis calcule MK² de 2 façons (trigo et Pythagore) dans le triangle KMI rectangle en M  et écris que le deux expressions sont égales.
Ça va très vite...

@+

Bonjour, merci de votre réponse. Je ne comprend par contre, toujours rien. Votre réponse m'aide pour la question 4 de la partie A ou pour la partie B? Le début de mon raisonnement pour la question 4 est bon ?

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#4 23-10-2019 10:15:13

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 784

Re : Dm maths 1ère spécialité trigonométrie

Bonjour,

Je ne comprend par contre, toujours rien. Votre réponse m'aide pour la question 4 de la partie A ou pour la partie B?

Voilà qui prouve que tu n'as même pas essayé ce que t'ai proposé.
Si tu avais suivi le plan que je t'ai donné, tu aurais ta réponse (j'ai fait le boulot avant de te proposer la méthode)...
Je fais en général une chose à la fois et je réponds d'abord au souci premier de celui qui galère, mais puisque tu sembles vouloir privilégier le "deux en un", why not ?...
Donc, je me suis concentré d'abord sur la 4A
Concernant ta méthode, il me semble que ce doit être plus long et plus "pénible"
$OH =\cos\left(\dfrac x 2\right)$, d'accord...
A partir de là, il te faut calculer OH d'une 2e façon, oui...
Mais quel intérêt d'écrire 4 lignes pour faire ce qui peut l'être en une seule ?
Et de plus terminer au passage de la 3e à la 4e ligne par une bourde monumentale ?
$\sqrt{x_H^2+y_H^2}\neq x_H+y_H$
Sinon cela signifie que :
$\sqrt{3^2+4^2}=7$ ce qui est faux...

Donc, tu gardes ta racine, et tu calcules $(x_H\,;\;y_H)$ sachant que H est le milieu de [IM] avec $I(1\,;\,0)$ et $M(\cos x\,;\,\sin x)$
D'ailleurs, on te demande bien de montrer que $\cos\left(\dfrac x 2\right)=\sqrt{.....}$
Tu peux continuer dans ta méthode, tu arrivera au bout...

4B
si $x\geqslant>2\pi$, tu remplaces x par $x=x+2\pi$ et tu te retrouves en 4A...
si $\pi\leqslant x\leqslant 2\pi$, pour revenir en 4A, il suffit de voir que dans ce cas, à la place de $x$, tu as  $x+\pi$ avec [tex]x\in [0\,;\,\pi][/tex]
Et donc dans la formule demandée en 4A, il suffit :
$\cos\left(\dfrac x 2\right)= \sqrt{\dfrac{1+cos(x)}{2}}$
1. De remplacer $x$ par $x+\pi$ sous la racine : $\cos\left(\dfrac x 2\right)= \sqrt{\dfrac{1+cos(x+\pi)}{2}}$
2. De comparer $cos(x+\pi)$ et $\cos x$ pour ensuite grâce ce que tu auras conclu, remplacer $cos(x+\pi)$ par son expression en fonction de $cos x$.
    C'est quelque chose qu'on voit en cours  (l'expression de $\cos(x+\pi)$ en fonction de $\cos x$) si tu ne l'as pas encore vu, aide-toi du cercle trigonométrique pour la comparaison...

@+


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