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#1 14-10-2019 17:30:52

topdoc
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Exercice sur les suites

Bonsoir

J'ai besoins d'aide je n'arrive pas a résoudre cet exercice:

Soit $(u_n)$ une suite défini par $$\begin{cases} u_1=a, a\geq1\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+\frac{1}{2^n}}, n\geq1\end{cases}$$

1) Montrer que pour tout naturel non nul $n$ on a $u_n\geq1$ et $u_{n+1}<u_n+\frac{1}{2^{n+1}}$
déduire que $(u_n)$ converge

je bloque deja dans la 1ere question. comment faire? merci

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#2 14-10-2019 17:37:33

Maenwe
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Re : Exercice sur les suites

Bonsoir,

Tu bloques sur quoi exactement ? Un manque d'idées ? Autre choses ?... En gros : Qu'as tu tenté pour faire cet exercice ?

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#3 14-10-2019 17:49:38

topdoc
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Re : Exercice sur les suites

comment montrer que $u_n\geq1$

je fais par récurrence je suppose que $u_n\geq 1$ et on montre que $u_{n+1}\geq1$

$u_n\geq1 \Rightarrow u_n^2\geq 1\Rightarrow u_n^2+\frac{1}{2^n}\geq 1$

est ce que c'est juste ?

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#4 14-10-2019 18:03:25

topdoc
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Re : Exercice sur les suites

et pour la 2eme partie: on a $u_{n+1}^2= u_n^2+\frac{1}{2^n}\Rightarrow u_{n+1}^2-u_n^2=\frac{1}{2^n}$
mais $(u_{n+1}-u_n)^2<u_{n+1}^2-u_n^2=\frac{1}{2^n}$ par passage a la racine carré on a le resultat c'est correct ?

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#5 14-10-2019 18:06:19

topdoc
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Re : Exercice sur les suites

mais comment déduire que la suite converge ?

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#6 14-10-2019 18:30:28

freddy
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Re : Exercice sur les suites

Salut,

c'est un théorème d'analyse très important à connaître : toute suite réelle décroissante et minorée est convergente !
Tu as montré qu'elle était minorée, tu as montré qu'elle était décroissante, donc ... !


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#7 14-10-2019 18:54:46

topdoc
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Re : Exercice sur les suites

Je n'ai pas montrer qu'elle est décroissante !

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#8 14-10-2019 19:19:39

Fred
Administrateur
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Messages : 5 293

Re : Exercice sur les suites

Hello,
 
  L'idée de Freddy est bonne, mais c'est plutôt le contraire ici : ta suite est croissante (et c'est très facile à démontrer d'après la définition).
Tu peux ensuite démontrer qu'elle est majorée. Prouver directement qu'elle est majorée est difficile. Je te conseille plutôt de démontrer par récurrence sur $n$ que
$$u_n\leq u_0+\sum_{k=1}^n \frac 1{2^n}$$
(je ne suis pas tout à fait sûr des indices de la somme!). Ensuite, tu devrais pouvoir facilement démontrer que la suite est majorée en majorant la somme qui intervient dans l'inégalité par une constante qui ne dépend pas de $n$.

F.

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#9 14-10-2019 21:02:02

topdoc
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Messages : 20

Re : Exercice sur les suites

topdoc a écrit :

et pour la 2eme partie: on a $u_{n+1}^2= u_n^2+\frac{1}{2^n}\Rightarrow u_{n+1}^2-u_n^2=\frac{1}{2^n}$
mais $(u_{n+1}-u_n)^2<u_{n+1}^2-u_n^2=\frac{1}{2^n}$ par passage a la racine carré on a le resultat c'est correct ?


finalement je me suis trompé ici la racine carrée ne donne rien

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#10 14-10-2019 21:21:23

Maenwe
Membre
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Messages : 148

Re : Exercice sur les suites

Bonsoir,

Pour cette deuxième partie de la question 1), tu peux utiliser une inégalité ("bien connue") sur la racine carré, qui est d'ailleurs très utiles dans d'autres circonstances !
D'abord je t'explique comment on peut avoir l'idée de vouloir montrer l'inégalité que je vais te présenter :

tu veux montrer : $u_{n+1} < u_{n} + \frac{1}{2^{n+1}}$, or tu sais que $u_{n+1} = \sqrt{u_{n}^{2}+\frac{1}{2^{n}}}$ ce qui donne quand même très envie de montrer que : $\sqrt{u_{n}^{2}+\frac{1}{2^{n}}} < \sqrt{u_{n}^{2}} + \sqrt{\frac{1}{2^{n}}}$, et là même pas besoin d'autres inégalités puisque si l'on montre ça eh bien on montre ce que l'on voulait (car le terme de gauche correspond bel et bien au terme de gauche de l'inégalité que l'on veut), on veut donc montrer en général :

$\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (pour $a,b \geq 0$). (Choses que je te laisse montrer)

Et tu peux facilement montrer que l'on égalité ssi l'un des deux termes (a ou b) est nul, ce qui conclut...

Dernière modification par Maenwe (14-10-2019 21:21:56)

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#11 14-10-2019 21:25:55

LCTD
Invité

Re : Exercice sur les suites

Bonjour,

On a $u_{n+1}<u_n+\frac{1}{2^{n+1}}$ , soit $u_{n+1}-u_n < \frac{1}{2^{n+1}}$, on peut le décliner :

$u_{2}  - u_1 < \frac{1}{2^{2}}$
$u_{3}  - u_2 < \frac{1}{2^{3}}$
$u_{4}  - u_3 < \frac{1}{2^{4}}$
-------------------------------------
$u_{n}  - u_{n-1} < \frac{1}{2^{n}}$
$u_{n+1}- u_n < \frac{1}{2^{n+1}}$
________________________________
+                   

En faisant l'addition de tous les termes on obtient : $u_{n+1}-u_1 < \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2^{n+1}}$

#12 14-10-2019 21:56:05

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 148

Re : Exercice sur les suites

Bonsoir,

@LCTD, @Fred avait proposé cette idée ! Le but (enfin si j'ai bien compris la philosophie de ce forum) est de donner des pistes et non la solution toute rédigée (à moins que la personne bloque bien entendu) ;)

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#13 15-10-2019 04:44:33

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 293

Re : Exercice sur les suites

@Maenwe : tu as bien compris la philosophie !

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#14 15-10-2019 11:44:25

LCTD
Invité

Re : Exercice sur les suites

Bonjour,

@Maenwe, j’adhère à cette manière de voir.

#15 15-10-2019 14:19:30

Zebulor
Membre
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Re : Exercice sur les suites

Bonsoir,
comme il s'agit de proposer plusieurs pistes , au passage l'inégalité :

topdoc a écrit :

$u_{n+1}<u_n+\frac{1}{2^{n+1}}$

peut être aussi démontrée par l'absurde en utilisant la stricte croissance de la suite et en exploitant l'égalité 
$u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+\frac{1}{2^n}}$

Dernière modification par Zebulor (15-10-2019 14:24:36)

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#16 16-10-2019 06:55:25

freddy
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Re : Exercice sur les suites

Hello tutti,

comme toujours, pour démontrer l'inégalité qui m'a fait dire à tort, j'ai honte, que la suite décroissait (je suis allé trop vite à une heure trop tardive), c'est assez évident sauf que le problème avec l'évidence est qu'il faut la voir !

Au début, on a montré que tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à 1.

Ensuite, on sait par définition que $u_{n+1}^2-u_{n}^2=\frac{1}{2^n}$ pour tout $n$ entier supérieur à $1$.
Donc on a $(u_{n+1}-u_{n})(u_{n+1}+u_{n})=\frac{1}{2^n}$.

Or, $u_{n+1}+u_{n} \ge 2$ et donc $u_{n+1}-u_{n} \le \frac{1}{2^{n+1}}$

Bon courage !


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#17 16-10-2019 08:04:49

Zebulor
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Re : Exercice sur les suites

Bonjour,

freddy a écrit :

$u_{n+1}+u_{n} \ge 2$ et donc $u_{n+1}-u_{n} \le \frac{1}{2^{n+1}}$

@Freddy : Oui, et si on veut répondre rigoureusement à la question du 1)  c'est même des inégalité strictes :  $u_{n+1}+u_{n} \gt 2$ et $u_{n+1}-u_{n} \lt \frac{1}{2^{n+1}}$

Et le raisonnement par l'absurde produit : [tex] \frac{1}{2^{n}} \gt \frac{1}{2^{n}} [/tex]

Dernière modification par Zebulor (16-10-2019 08:06:56)

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#18 16-10-2019 08:20:29

freddy
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Re : Exercice sur les suites

Salut Zebulor,

j'ai comme un doute sur l'inégalité stricte au vu de la rédaction de la première proposition puisqu'on demande de vérifier que $u_n \ge 1$ pour tout $n$ entier non nul et donc, prudent, j'en suis resté à l'inégalité large.
Du coup, l'inégalité stricte de la seconde proposition ne me saute pas aux yeux.
T'en penses quoi ?


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#19 16-10-2019 09:54:32

Zebulor
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Re : Exercice sur les suites

Resalut Freddy et à tous,
On peut tous être piégés par des biais cognitifs..

topdoc a écrit :

$u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+\frac{1}{2^n}}$

Peut être qu'en factorisant par [tex]u_n^²[/tex] à l'intérieur de la racine on voit mieux que [tex]u_{n+1} \gt u_n[/tex], et de là [tex]u_{n+1}+u_n \gt 2[/tex], [tex]\forall n \ge 1[/tex]

En effet la seconde inégalité ne me sautait pas aux yeux non plus.. d'où mon idée de démonstration par l'absurde, que je n'ai pas détaillée, mais si c'est nécesssaire ... ...

Dernière modification par Zebulor (16-10-2019 11:47:20)

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#20 16-10-2019 11:54:34

freddy
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Re : Exercice sur les suites

Tu as raison, merci !


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#21 16-10-2019 12:09:19

Zebulor
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Re : Exercice sur les suites

Je t'en prie avec plaisir.
Par l'absurde l'hypothèse de départ est ..$u_{n+1} \ge u_n+\frac{1}{2^{n+1}}$ et aboutit à une impossibilité : [tex]\frac {1}{2^n} \gt \frac{1}{2^n}[/tex].
On peut aussi montrer que cette suite converge en utilisant une série télescopique de terme général [tex]u_{n+1}-u_{n}[/tex], ce qui se fait assez vite en exploitant le résultat [tex]u_{n} \ge 1[/tex].

D'après la définition de la suite $(u_n)$ et tout simplement par construction de proche en proches de ses termes on a [tex]\forall n \ge 2[/tex], [tex]u_n=\sqrt {a^2+\sum_{p=1}^{n-1} \frac {1}{2^p}}.[/tex]  C'est peut être moi qui suis fatigué là.. Mais en faisant tendre [tex]n[/tex] vers l'inifini la suite [tex](u_n)[/tex] tend vers [tex]\sqrt {a^2+1}[/tex]

Dernière modification par Zebulor (16-10-2019 19:46:33)

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#22 21-10-2019 19:51:49

yanisATYRA
Membre
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Messages : 1

Re : Exercice sur les suites

Fred a écrit :

Hello,
 
  L'idée de Freddy est bonne, mais c'est plutôt le contraire ici : ta suite est croissante (et c'est très facile à démontrer d'après la définition).
Tu peux ensuite démontrer qu'elle est majorée. Prouver directement qu'elle est majorée est difficile. Je te conseille plutôt de démontrer par récurrence sur $n$ que
$$u_n\leq u_0+\sum_{k=1}^n \frac 1{2^n}$$
(je ne suis pas tout à fait sûr des indices de la somme!). Ensuite, tu devrais pouvoir facilement démontrer que la suite est majorée en majorant la somme qui intervient dans l'inégalité par une constante qui ne dépend pas de $n$.

F.

Tu bloques sur quoi exactement ? Un manque d'idées ? Autre choses ?... En gros : Qu'as tu tenté pour faire cet exercice ?

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