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#1 20-10-2019 16:03:31

Ilona
Membre
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Messages : 2

Exercice fonctions polynôme du second degré

Bonjour,
J’ai un devoir de math à rendre pour la rentrer et j’arrive pas a faire la fin de cette exercice et je voudrais savoir si quelqu’un pourrais réussir à le faire et m’aider.
Voilà l’exercice:
   Soit la fonction f définie sur R par f(x)=x^n-1, avec n supérieur ou égal à 1. L’objectif de cet exercice est de factoriser cette expression par (x-1) pour les différentes valeurs de n.
   1. Cas n=2:
      (a) Donner l’expression de f(x).
      (b) Factoriser f(x).
   2. Cas n=3:
      (a) Donner l’expression de f(x).
      (b) On admet que f(x) peut s’ecrire sous la forme (x-1)(ax^2+bx+c), avec a,b, et c des réels. Préciser les valeurs de a,b et c.
   3. Cas n=4:
      (a) Factoriser une première fois f(x) en remarquant l’égalité suivante: x^4=(x^2)^2.
      (b) Factoriser une seconde fois f(x).
      (c) Montrer que f(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+1).
   4. Cas général
      (a) Calculer f(1). Que remarque-t-on ?
      (b) Montrer que f(x)=(x-1)(x^n-1+x^n-2+...+x+1)
J´ai réussi à faire le début mais je beug surtout sur la partie 3 et 4.
Merci d’avance et bonne soirée.

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#2 20-10-2019 16:45:51

yoshi
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Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 760

Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Salut,

Q3
Ça te paraît compliqué parce que ce n'est pas dit comme ça :
Dans $f(x)=x^4-1$
1. Remplacer x² par X (on appelle ça un changement de variable)
    Donc $f(X) = X^? - 1$... A toi de remplacer le ? par le bon exposant.
2. Factoriser l'expression de f(X) (facile) : $f(X)=(....)(....)$  A toi de compléter.
3. Dans chacun des facteurs obtenus remplacer alors X par $x^2$
    $f(x)=(....)(....)$ A toi de compléter.
4. Factoriser à nouveau celle des expressions pour laquelle c'est possible
   $f(x)=(x-1)(...)(...)$ A toi de compléter.
5. Remplacer le produit des deux dernières parenthèse contenant le développement de leur produit.
    Normalement, tu as dû trouver $f(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+1$

On commence par cette question.

On verra Q4 après...

@+


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#3 20-10-2019 17:29:07

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
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Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Bonsoir,
Yoshi je me permets cette intrusion que je veux momentanée par politesse...

yoshi a écrit :

Dans $f(x)=x^4-1$
1. Remplacer x² par X (on appelle ça un changement de variable)
    Donc $f(X) = X^? - 1$... A toi de remplacer le ? par le bon exposant.

@Yoshi : compte tenu du changement de variable - une bonne idée ! - que tu proposes, dans l'écriture $f(X) = X^? - 1$ il ne s'agit plus de la même fonction [tex]f[/tex]. ..Une source de confusion potentielle pour llona sur le reste de l'exercice ?

Dernière modification par Zebulor (21-10-2019 06:17:41)

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#4 20-10-2019 17:57:26

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 13 760

Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Re,

Wait and see...

@+


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#5 20-10-2019 18:29:38

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
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Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

@Zebulor
Bon...
Maintenant que tu as soulevé le lièvre, il y a des risques qu'elle se pose des questions.
           
-------------------------------------------------
@Ilona

Alors, Ilona, je ne change pas de technique, c'est la plus "simple", mais je vais juste l'adapter un peu...

Donc, tu pars de $f(x)=x^4-1 =(x^2)^2 -1$
A la Q2 , tu as dû factoriser $x^2-1$ je pense que tu as su écrire $x^2-1=(x-1)(x+1)$
Là c'est le même produit remarquable qui va servir deux fois de suite...

Au lieu de voir $(x^2)^2-1$, pense que c'est $X^2-1$  où,  à la place de $x^2$, tu as écrit $X$...
La factorisation de $X^2-1$ est la même que dans la Q2 : $X^2-1=(X-1)(X+1)$, et tu dois penser qu'en fait dans ton énoncé, il n'y a pas X mais $x^2$, à la place de X :
$f(x)=(x^2 \;-\; 1)(? \;+ \;1)$ A compléter
L'expression de la 2e parenthèse ne peut pas être factorisée, vois-tu pourquoi ?
Mais la première parenthèse, si !
Et tu vas utiliser le même produit remarquable pour la 2e fois :$f(x)=(x - 1)(x+1)(? \;+ \;1)$

Maintenant, tu n'as plus qu'à développer le produit des deux derniers facteurs dans une seule parenthèse et tu dois arriver à
$f(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+1)$

C'est plus clair ?

@+

Dernière modification par yoshi (21-10-2019 07:02:15)


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#6 21-10-2019 14:57:27

Ilona
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Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Merci beaucoup je vais voir si je m’en sors avec le X car je n’ai pas vu ça en cour.
Bonne journée.

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#7 21-10-2019 15:09:36

yoshi
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Messages : 13 760

Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Re,

Le X, c'est juste temporaire et dans ta tête, il est dans mes explications de la factorisation en 2 fois, il est juste là pour te faire comprendre ce qui se passe...
Il ne doit pas figurer sur ta copie...
Ne tiens compte que du post #5 ci-dessus...

@+


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#8 25-10-2019 08:18:19

freddy
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Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Zebulor a écrit :

Salut,
je reviens sur la bonne idée du post #5 de Yoshi que j'ai stoppé dans son élan.
On remplace $x^2$ par $X$. De même qu'en physique le vecteur poids s'écrit soit P soit mg et on écrit P=mg : changement de variables.
x^2 et X sont identiques : [tex]x^2=X[/tex]. Mais alors [tex]x^4=X^2[/tex], et aussi : [tex]x^4-1=X^2-1[/tex]

Alors pourquoi j'ai soulevé un lièvre ?
[tex]x^4-1[/tex], c'est [tex]f(x)[/tex]. Mais [tex]X^2-1[/tex] n'est pas [tex]f(X)[/tex]. C'est une autre fonction de X qu'on peut appeler g.
Quelque soit le changement de variable entre x et X on aura toujours $f(X)=X^4-1$. Dans l'expression de $f$, $X$ est une variable muette, on peut donc remplacer X par n'importe quelle autre lettre de l'alphabet..

Alors il vient pour tout x de R, [tex]f(x)=g(X)[/tex]. A quoi sert g : une sorte de fonction intermédiaire, plus facile à factoriser que f à première vue en tant que différence de deux carrés (identité remarquable).
Ainsi : g(X)=(X-1)(X+1).. et ceci reste une fonction de x cachée, compte tenu du changement de variables. Il suffit de remplacer alors g(X) par f(x) et X par $x^2$ dans l'expression de g, et de continuer à factoriser puis redévelopper pour obtenir l'expression de [tex]f[/tex] du post #5 de Yoshi.

Salut Zebulor,

là, c'est toi qui embrouilles les lecteurs. Sur le fond, tu as raison, mais il faut en parler dans la rubrique Entraide (Supérieur), pas ici.
Avec un truc comme ça, tu perds toute une classe de lycéens, sans parler des collégiens !
Faut développer ces propos sous forme accessoire, à la rubrique café mathématique par exemple.
Ne le prend pas mal, c'est juste un conseil d'ancien : en matière pédagogique, il faut s'adapter à son auditoire et pas demander à son auditoire à s'adapter au niveau du prof qui est toujours très (trop) élevé. On a massacré des générations d'élèves de cette manière tout au milieu du siècle dernier, il ne faut pas perpétuer.
Regarde comment font yoshi et d'autres intervenants, ils s'adaptent en permanence.
Bonne journée !


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#9 25-10-2019 08:20:53

Zebulor
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Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

@ Freddy : après réflexion et relecture tu as raison et je le prends bien. Trop complexe à ce niveau. Je supprime ce post de ce forum.
Merci à toi et bonne journée de même.

Dernière modification par Zebulor (25-10-2019 08:25:43)

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#10 25-10-2019 08:25:15

freddy
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Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Zebulor a écrit :

@ Freddy : après reflexion tu as raison. Trop complexe à ce niveau. Je supprime ce post de ce forum.
Merci pour ton post et bonne journée de même.

T'es un sage ! Non, ne détruis pas, ça sert d'exemple à d'autres intervenants, on a tous à apprendre des autres, tout le temps.


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#11 25-10-2019 08:28:01

Zebulor
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Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

@Freddy : ok. Bon.. trop tard. Libre à toi de me laisser en citation sur ce forum. On voit que ce changement de variables là est en fait assez technique pour un élève de 1ere S..je l'ai finalement placé dans le café mathématique.

Dernière modification par Zebulor (25-10-2019 08:49:48)

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#12 25-10-2019 09:31:23

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 13 760

Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Bonjour,

Je vais essayer une autre approche plus visuelle, même si je crois que c'est peine perdue : Ilona a dû fuir en courant, en se disant que je racontais des c..ies.
$f(x)=$($x^2$)$^2$ - $1$$^2$
Là, Ilona, tu reconnais la forme, apprise en 3e, du produit remarquable
$a$$^2$ - $b$$^2$$=$($a$ - $b$)($a$ + $b$)
Et donc,
- le ($a$ - $b$) n'est autre que ($x^2$ - $1$)
- le ($a$ + $b$) n'est autre que ($x^2$ + $1$)

D'où
1ere factorisation  :
$f(x)=$($x^2$)$^2$ - $1$$^2$ $=$ ($x^2$ - $1$)($x^2$ + $1$)

Ensuite, tu utilises une 2e fois le même produit remarquable pour factoriser seulement ($x^2$ - $1$) cette fois :
$f(x)=$($x^2$)$^2$ - $1$$^2$ $=$ $(...\, -\,...)(...\,+\,...)$($x^2$ + $1$)
$(x^2+1)$, lui, ne peut pas être factorisé)

Et maintenant, ainsi que l'énoncé te le demande, tu fonds les deux derniers facteurs en un seul en développant leur produit et tu vas arriver à :
$f(x)=(x-1)(x^3+x^2+x+1)$

@+


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#13 25-10-2019 12:36:57

Zebulor
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Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

re,
@Yoshi : bah... c'était un moment de déconcentration. Et les maths sont sans pitié.
en espérant que Illona n'ait pas eu peur du lièvre, cette dernière version là devrait faire moins peur.
Je pense qu'il aurait fini par sortir de son terrier de toute façon.
Comme me disait un prof de mécanique constatant nos difficultés dans un exercice :
"mais pourquoi créez vous des variables supplémentaires ?".... sujet de café philosophique.

Dernière modification par Zebulor (25-10-2019 16:36:41)

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#14 25-10-2019 13:29:54

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 13 760

Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Re,

@Yoshi : bah... c'était un moment de déconcentration.

Et non, pas tout à fait...
C'est tout le problème de celui qui apporte son grain de sel : il ne sait pas ce que celui qui intervenu a dans la tête ni comment il fonctionne... Risque d'ajout d'un "bruit de fond"...

Comme nous disait, d'un ton découragé, notre prof de maths dans le supérieur, quand, au tableau, on patinait dans la semoule :
<< Mais, mon pauvre ami, vous prenez un marteau-pilon pour écraser une mouche ! >>
Au passage, ça nous était d'un grand secours... ^_^
Je me souviens aussi d'une phrase de Montaigne dans ses Essais qui disait qu'il valait mieux une tête bien faite que bien pleine, en parlant des précepteurs...

Selon les cas, donc, quitte à mettre moins de rigueur au début, je préfère m'attacher au savoir-faire et à sa compréhension pour mieux revenir à la fin, et signaler qu'en toute rigueur, au débit de mes explications, je n'aurais pas dû écrire les choses comme je l'ai fait et donner alors la rédaction correcte et pourquoi...
Je pense que parfois, au début,  trop de rigueur nuit à la rigueur... Ce n'est pas bien ? Oui, je sais...

Mais quand je le fais, j'ai d'abord pesé le pour et contre, avantages contre inconvénients...

Et les maths sont sans pitié.

Et la programmation donc !
Tournicoti, tournicoton (les moins de 40 ans ne comprendront pas...)

@+


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#15 01-11-2019 20:54:22

Gregory
Invité

Re : Exercice fonctions polynôme du second degré

Bonsoir, est-ce que vous pourriez nous aider pour la 4.b svp, de manière précise car je n’y comprend rien merci ?

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