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#1 20-10-2019 17:18:37

Maximilien8520
Membre
Inscription : 20-10-2019
Messages : 2

Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z

Bonjour,

Voici un exercice auquel j'ai un grand mal à débuter une réponse :

- Il s'agit de prouver que pour tout groupe C de Z, il existe un c appartenant à N tel que
C = c Z ( soit c Z l'ensemble des multiples de c )
1) Soit c le plus petit élément de C inter N*. Prouve que cZ est inclus dans C
2) Soit x appartient à C. A l'aide d'une division euclidienne judicieuse, prouve que c divise x
3) En déduire que C = c Z

Je n'arrive pas à faire le 1)

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#2 20-10-2019 17:36:50

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 394

Re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z

Bonsoir,

Je ne savais pas qu'en Spé math on voyait les groupes ^^
La première question repose sur la notion d'itéré, pour y répondre tu dois connaître une choses sur un sous groupe : sa définition.
Un sous groupe est en particulier stable par la loi de composition du groupe, c'est à dire :
$\forall x,y \in C$, $x+y \in C$ et $-x \in C$.

Avant de continuer : Il manque une chose dans ton énoncé, C doit être un groupe non réduit à l'élément neutre (0), car sinon $C\cap \mathbb{N}^{*} = \emptyset$.

La question 1 introduit le plus petit élément c, de $C\cap \mathbb{N}^{*}$, que peux tu donc dire de $c+c$ et $-c$ ?

Dernière modification par Maenwe (20-10-2019 17:37:11)

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#3 20-10-2019 18:11:16

Maximilien8520
Membre
Inscription : 20-10-2019
Messages : 2

Re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z

Comme c appartient à C :
* c+c appartient à C
et -c appartient à C

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#4 20-10-2019 19:13:51

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 394

Re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z

Re,

Donc ?
Petite indication, tu viens d'obtenir que $2c \in C$, tu vois où je veux en venir ?
Autre petite indication : essaye dans un premier temps de montrer : $c\mathbb{N} \subset C$ (tu n'auras pas besoins du fait que $-c \in C$).

Dernière modification par Maenwe (20-10-2019 19:14:37)

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