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#1 17-10-2019 12:08:03

yannD
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forme développée/forme canonique

Bonjour, d'habitude je n'ai pas trop de difficultés à trouver une forme canonique : je prends $\dfrac{-b}{2a}$ puis je calcul $f(\alpha)$
ou je cherche un début de développement d'identité remarquable, comme dans $x^2+2x..$(par exemple).
mais pour :

$\dfrac{-900}{121t^2}+\dfrac{1800}{11t}+7600$

j'ai calculé $\dfrac{-b}{2a}$ avec $b =\dfrac{1800}{11t}$ et $a = \dfrac{-900}{121t^2}$

et j'arrive à : $\dfrac{-\dfrac{1800}{11t}}{2\times\dfrac{-900}{121t^2}} = \dfrac{-\dfrac{1800}{11t}}{\dfrac{-1800}{121t^2}}= -\dfrac{1800}{11t} \times\dfrac{121t^2}{-1800} = \dfrac{217800t^2}{-19800t}$

et comme la formule pour la forme canonique est $(x-\alpha)^2+\beta$

$\left(x-\left(-\dfrac{217800t^2}{19800t}\right)\right)^2 +\beta$

mais pour calculer le beta , est-ce que je dois remplacer t par alpha
Pouvez-vous m'aidez , s'il vous plait ?
yann

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#2 17-10-2019 12:14:33

yoshi
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Re : forme développée/forme canonique

Salut,

$\dfrac{-900}{121t^2}+\dfrac{1800}{11t}+7600$

Qu'est-ce que c'est que ce bazar ? que font les t au dénominateur ?
Il semble qu'il y ait comme de l'écho avec une une fonction de départ qui serait plutôt :
$f(t) =-\dfrac{900}{121}t^2+\dfrac{1800}{11}t+7600$

Est-ce bien cette fonction ? Sinon quelle est-elle ?

@+


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#3 17-10-2019 12:19:31

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

Bonjour Yoshi,
oui, c'est bien cette fonction, j'ai mal compris l'énoncé d'à côté..

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#4 17-10-2019 12:36:53

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

$f(t) =-\dfrac{900}{121}t^2+\dfrac{1800}{11}t+7600$

$-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{\dfrac{1800}{11}t}{2\times-\dfrac{900}{121}t^2}  =  \dfrac{\dfrac{1800}{11}t}{\dfrac{-1800}{121}t^2} = \dfrac{1800}{11}t \times \dfrac{121}{-1800}t^2 $
Arrivé là, je ne sais pas si je dois mettre 1800/11t en facteur ?

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#5 17-10-2019 12:51:39

yoshi
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Re : forme développée/forme canonique

Re,

M'enfin, t c'est l'inconnue, pourquoi la mettre en dénominateur ?
$f(t)= at^2+bt +c$
$ f(t)=-\dfrac{900}{121}t^2+\dfrac{1800}{11}t+7600$
Donc
$a =-\dfrac{900}{121}$

$b=\dfrac{1800}{121}$

$c=7600$

Voilà qui devrait te mettre la tête à l'endroit...
Et puis, un peu de lecture pour compléter :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=7541

@+

Dernière modification par yoshi (17-10-2019 14:36:06)


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#6 17-10-2019 14:00:38

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

$ f(t)=-\dfrac{900}{121}t^2+\dfrac{1800}{11}t+7600$

Soit :

$ f(x)=-\dfrac{900}{121}x^2+\dfrac{1800}{11}x+7600$


Donc : $ a = \dfrac{-900}{121},\,b=\dfrac{1800}{11},\,c = 7600$


$\dfrac{-b}{2a}= \dfrac{\dfrac{1800}{11}}{2\times -\dfrac{900}{121}} = \dfrac{\dfrac{1800}{11}}{\dfrac{-1800}{121}} = \dfrac{1800}{11} \times \dfrac{121}{-1800}= \dfrac{217800}{19800}$

formule de la forme canonique : $\left(x-\alpha\right)^2 +\beta$

avec $\beta = \dfrac{217800}{19800}$, j'ai $\left(x-\dfrac{217800}{19800}\right)^2 +\beta$

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#7 17-10-2019 15:36:48

yoshi
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Re : forme développée/forme canonique

Re,,

$\alpha=\dfrac{1800}{11} \times \dfrac{121}{-1800}=\cdots$

Et quand tu en es encore à ce stade-là, personne ne t'a appris à chercher les simplifications pendant  quelles sont encore bien visibles ?
1. Déjà simplifier 1800 avec-1800 :
   $\alpha=\dfrac{1800}{11} \times \dfrac{121}{-1800}=\dfrac{1}{11} \times \dfrac{121}{-1}$
2. Ensuite $\alpha=-\dfrac{121}{11}$ mais $11 \times 11=121$
    Donc $\alpha=-11$
3. Et là, tu regardes ton -11 et tu penses tout haut : hmmm... $\alpha <0\;\;??? $  t est un temps, lorsque $t=\alpha$ alors t=-11... Un temps négatif ? Peut-être... Mais ça mérite qu'on y regarde de plus près...
   Voyons cela $\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{\dfrac{-1800}{11}}{\dfrac{-900}{121}}=\dfrac{1800}{11}\times \dfrac{121}{900}$

   Bel oubli du - de -b...

   Et on tombe sur $\alpha=11$

Après, $\beta$ vaut quoi ?
Tpois options
1. La première que de mon temps on baptisait "bestialement calculatoire"... Tant qu'à connaître la formule pour $\alpha$ pourquoi ne pas utiliser celle de $\beta$ :
$\beta=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}= \dfrac{-\left(\dfrac{-900}{11}\right)^2+4\times \left(\dfrac{-900}{11}\right)\times 7600}{4\times\dfrac{-900}{121}}$
Toi je ne sais pas, mais moi, ça ne fait pas rire, surtout si on ne simplifie pas dès qu'on peut ;-))
Donc, je laisse courir...

2. En travaillant avec la méthode de mise sous forme canonique sans utiliser ni $\alpha$ ni $\beta$, légèrement adaptée pour me simplifier la tâche...
   $f(t)=-\dfrac{900}{121}t^2+\dfrac{1800}{11}t+7600=-\dfrac{900}{121}\left(t^2-22t\right)+7600=-\dfrac{900}{121}[(t-11)^2-11^2]+7600$
   Je fais un développement partiel :
    $f(t)=-\dfrac{900}{121}t^2+\dfrac{1800}{11}t+7600=-\dfrac{900}{121}[(t-11)^2-11^2]+7600=-\dfrac{900}{121}(t-11)^2-\dfrac{900}{121}\times 121+7600$
   $f(t)=-\dfrac{900}{121}(t-11)^2-\dfrac{900}{121}\times (-121)+7600=-\dfrac{900}{121}(t-11)^2+900+7600=-\dfrac{900}{121}(t-11)^2+8500$
   Et là du coup, j'ai $\alpha=11$  et $\beta=8500$ bien moins douloureux, non ?

3. En calculant $f(\alpha)$ : bien sûr si tu n'as simplifié $\alpha$, ce sera tout aussi pénible...
    $f(11)=-\dfrac{900}{121} \times 11^2+\dfrac{1800}{11}\times 11 +7600 =-900+1800+760900+7600=8500$
    Bien sûr, il fallait aussi penser à simplifier pendant que c'était encore bien visible...

@+


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#8 17-10-2019 16:05:11

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

Quand j'ai $x^2 + 2x + …$ ou même $x^2-2x +…$ je reconnais le début du développement d'une identité remarquable
c'est à dire = $x^2 + 2x + 1$ (j'ai divisé 2x par 2 )
et $x^2+2x+1$ c'est $(x+1)^2$ puis je retranche $1^2$ parce que j'ai ajouté 1 au carré
Mais ici, comment trouve-tu ce -22t ?
Ça doit être simple...donne moi juste une indication pour que je puisse trouver

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#9 17-10-2019 16:14:51

yoshi
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Re : forme développée/forme canonique

Re,

Bin, si tu regardes bien si j'ai mis $-\dfrac{900}{121}$ en facteur ... c'est que j'ai factorisé...
Et l'opération e inverse de la factorisation étant le développement, je cherche la fraction $\dfrac e f$ telle que :
$-\dfrac{900}{121}\times \dfrac e f=\dfrac{1800}{11}$...
Et si tu t'amuses à ne pas chercher les simplifications, tu risques de ne pas trop aimer non plus...

@+


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#10 17-10-2019 17:23:48

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

$\dfrac{-900}{121} \times \dfrac{e}{f}= \dfrac{1800}{11} $

$\dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} \times \dfrac{121}{-900}$

une fraction $\dfrac{1800}{11}$ où 11 n'est pas divisible : je n'ai pas de dénominateur commun

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#11 17-10-2019 18:04:42

yoshi
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Re : forme développée/forme canonique

Re,

C'est quand même pas possible des bourdes pareilles, tu n'avais pas les idées claires...
1. Dénominateur commun : pour addition et soustraction . Tu vois ça ici ?
2. Donc, toi tu écris $2\times x =6\quad \Leftrightarrow\quad x = 6 \times 2$
    T'en penses quoi ????
Que tu aies des fractions change à quoi  à l'opération que tu dois faire ?
Si l'opération réciproque de l'addition est la soustraction, quelle est donc l'opération réciproque de la multiplication ?

Tu vas rectifier bien vite  !!!

@+


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#12 18-10-2019 15:07:56

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

Bonjour Yoshi :

$-\dfrac{900}{121} \times\dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} <=> \dfrac{e}{f} = \dfrac{\dfrac{1800}{11}}{\dfrac{121}{-900}}  $

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#13 18-10-2019 15:17:09

Maenwe
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Re : forme développée/forme canonique

Bonjour,

@Yoshi je suis perplexe... Ce qu'avait écrit YannD dans le poste #10 était correcte (hormis quand il a dit 11 n'est pas divisible ce qui n'a pas de sens si on ne dit pas par quoi...), enfin il me semble :
$\frac{-900}{121}\times \frac{e}{f} = \frac{1800}{11} \iff \frac{121}{-900}\times \frac{-900}{121} \times \frac{e}{f} = \frac{121}{-900} \times \frac{1800}{11} \iff \frac{e}{f} = \frac{121}{-900} \times \frac{1800}{11}$, non ?

@YannD pour l'équivalence en latex tu peux utiliser \iff ;)

Dernière modification par Maenwe (18-10-2019 15:18:16)

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#14 18-10-2019 15:56:45

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

Bonjour Maenwe : $\dfrac{-900}{121}\times \dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} \iff \dfrac{121}{-900}\times \dfrac{-900}{121} \times \dfrac{e}{f} =  \dfrac{121}{-900} \times\dfrac{1800}{11} $

j'ai fait ça aussi... ( en multipliant  ce que je veux faire passer de l'autre côté du signe = de chaque coté par son inverse )

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#15 18-10-2019 16:00:08

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

$\dfrac{-900}{121}\times \dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} \iff \left(\dfrac{121}{-900}\right)\times \dfrac{-900}{121} \times \dfrac{e}{f} =  \left(\dfrac{121}{-900} \right)\times\dfrac{1800}{11} $

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#16 18-10-2019 16:06:38

yoshi
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Re : forme développée/forme canonique

Re,

Et bin non, tu inverses la fraction seulement quand tu remplaces la division par une multiplication, pas avant :

$\dfrac e f =\dfrac{\dfrac{1800}{11}}{-\dfrac{900}{121}}=\dfrac{1800}{11}\times\dfrac{-121}{900}=\cdots$

Et maintenant montre-moi comment tu simplifies...

@+

@Maenwe
C'est vrai...
J'avais tort . Pour une fois, il m'a pris à contrepied, je n'ai pas vu qu'il avait brûlé une étape, ce qui ne lui ressemble pas...

Yann, tu étais dans le vrai ! je te prie de bien vouloir m'excuser...
J'attendais:
$\dfrac e f =\dfrac{\dfrac{1800}{11}}{\dfrac{-900}{121}}$
Pourquoi ?
1. Parce que j'ai toujours utilisé le fait que si $a \times b = c$  alors $a=\dfrac c b$  ou $b = \dfrac c a$ qui résulte de la définition du quotient exact de 2 nombres
2. Parce que ensuite seulement je fais intervenir la règle de 4e sur la division des fractions...
Lui, m'a répondu directement par le produit...
Je me demande ce que ça donnerait d'enseigner ça avec ton procédé...
Je peux me tromper, mais sûrement rien de bon...

Concernant les simplifications, à mes zèbres je recommandais - au début de l'apprentissage - d'écrire le produit en une seule fraction avant de chercher les simplifications.

Alors pour les simplifications, à mes zèbres je recommandais - au début de l'apprentissage - d'écrire sen une seule fraction avant de chercher les simplifications :

$\dfrac{1800}{11}\times \dfrac{121}{900}=\dfrac{1800\times 121}{11\times(-900)}$
et s'il écrit ça, je pense que Yann, ne se focalisera plus sur 1800 et 11 qui, oui, ne sont pas divisibles l'un par l'autre...


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#17 18-10-2019 16:29:12

Maenwe
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Re : forme développée/forme canonique

Re,

Je ne pensais pas aux problèmes de compréhension que ça pourrait éventuellement impliquer (d'ailleurs je ne suis pas sûr que j'y aurai pensé à moins que l'on me dise directement "je ne comprends pas comment tu as fait..."), mais c'est vrai qu'enseigner les fractions de cette façon est bien plus constructive que de faire ce que je fais. Je comprends donc ton point de vue et y adhère !

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#18 18-10-2019 16:29:38

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

Salut Yoshi, je n'ai pas voulu passer une étape...
C'est un réflexe, ou "une sorte" de réflexe, je sais pas comment dire

Quand j'ai un calcul du type :  $\dfrac{-900}{121}\times\dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11}$

j'ai ma phrase à moi : "je prend l'inverse de la fraction $\dfrac{-900}{121}$ que j'écrit après  $\dfrac{1800}{11}$

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#19 18-10-2019 16:31:28

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

donc, réflexion faite : je n'ai pas voulu passer cette étape

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#20 18-10-2019 17:01:23

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

$a\times b = c \iff a = \dfrac{c}{b}$

$\dfrac{-900}{121} \times \dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11}$

Ici, le $a$ c'est $\dfrac{-900}{121}$ et l'inverse de la multiplication c'est la division :  si b = $\dfrac{c}{a}$  par définition du quotient, dividende = diviseur x quotient donc je retrouve bien b x a = c

Donc : $\dfrac{-900}{121} \times \dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} <=> \dfrac{e}{f} = \dfrac{\dfrac{1800}{11}}{\dfrac{-900}{121}}$

$ \dfrac{e}{f} = \dfrac{\dfrac{1800}{11}}{\dfrac{-900}{121}} <=> \dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} \times \dfrac{121}{-900}$  par ce que :  $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}} =\dfrac{b}{a}$ donc $\dfrac{1}{\dfrac{-900}{121}} = \dfrac{121}{-900}$


$\dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} \times \dfrac{121}{-900} = -\dfrac{(30 \times 2)\times 30 \times 11 \times 11}{11\times 30 \times 30}$

le $11$ du  dénominateur se simplifie avec "un" des 2 $11$ du numérateur
et les "2" 30 du dénominateur se simplifie avec les "2" 30 du numérateur

Donc $\dfrac{e}{f} = -\dfrac{2 \times 11}{1} = -22$

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#21 18-10-2019 17:05:42

Zebulor
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Re : forme développée/forme canonique

Salut Yann,

j'ai vu qu'il y avait de la lumière alors je suis rentré. Tout ce que tu écris dans ce post #20 est correct.

Idéalement, c'est bien de connâitre par coeur les carrés de 10, 11, 12 ..jusqu à 20. Dailleurs je ne les connais pas tous !!

Tu peux aussi simplifier un peu plus rapidement par exemple 1800/900 = 2 , ce qui évite de traîner toutes ces multiplications.

Mais c'est bien.

Dernière modification par Zebulor (18-10-2019 17:25:24)

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#22 18-10-2019 17:15:44

yoshi
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Re : forme développée/forme canonique

Salut Yann,

Salut Yoshi, je n'ai pas voulu passer une étape...
C'est un réflexe, ou "une sorte" de réflexe, je sais pas comment dire

Quand j'ai un calcul du type :  $\dfrac{-900}{121}\times\dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11}$
j'ai ma phrase à moi : "je prends l'inverse de la fraction $\dfrac{-900}{121}$ que j'écris après  $\dfrac{1800}{11}$

Alors disons que c'est un "truc" (dans le sens voisin d'astuce) qui t'es personnel...
Le prof de maths dirait : "c'est une recette de cuisine"...
Mais Rabelais a dit  : "Science sans conscience n'est que ruine de l'âme"...
Par exemple encore ;
Certains disent que dans une équation "On peut changer un terme de membre à condition de changer son signe"
Dit comme ça
1. C'est une recette de cuisine... Mais le Prof dit lui Tout se passe comme si on pouvait changer un terme de membre à condition de changer son signe...
2. C'est dangereux à expliquer trop rapidement... Pourquoi ?
    Parce que
    a) Les élèves glissent sur le vocable "terme" et passent de  $2x =6$ à $x=6-2$ et ils sont surpris quand on dit : c'est faux.
        Et j'en ai vu beaucoup...
        C'est faux parce que le 2 n'est pas un terme mais un facteur... $2x\;(2\times x)$ est un produit de facteurs...
    b) Parce qu'il faut laisser le temps de bien comprendre qu'on passe de $x-3= 4  à$  puis à $x-3+3=4+3$ et $x= 7$ en faisant remarquer
        que dans l'expression $x+a-a = b-a$ le +a-a =0 quel que soit a... D'où la recette de cuisine
        Et $x-3$, une somme (algébrique) de termes

Je n'ai pas dit que tu avais voulu brûler une étape, j'ai dit que tu avais brûlé une étape : nuance !
Ce que tu confirmes en disant : j'ai ma phrase à moi
Parce que ta phrase à toi comme tu dis, même si dans la pratique elle conduit à un résultat exact, ne correspond à aucune règle apprise, et ce faisant, elle occulte totalement la notion de division, et le lien entre multiplication et division et ce que j'ai écrit ici :

1. Parce que j'ai toujours utilisé le fait que si $a\times b=c$  alors $a=\frac c b$  ou $b=\frac c a$ qui résulte de la définition du quotient exact de 2 nombres

Je ne sais pas si tu comprends ce que je veux dire...

Bon,

Et les petits exos sur les suites demandés et fournis, j'espère que tu vas y penser...
Pour le bouquin conseillé, il faut aller le voir dans une FNAC, un DECITRE, un vendeur de livres scolaires : là tu peux l'examiner à ton aise...
Tu choisis un chapitre (que tu as vu) ou plusieurs d'ailleurs, tu choisis un des exos (ou plusieurs) à la fin du chapitre et tu regardes comment il est corrigé... A ce moment-là , tu seras capable de décider si oui ou non, toi, tu penses qu'il peut t'être utile...

@+

[EDIT] J'approuve Zebulor... Si tu sais que 9 x 2 =18, alors tu sais que 900 x 2 = 1800 et donc que 1800/900 = 2
Quelques carrés au-delà de 100, 121 (11²), 144, (12²), 169 (13²), 196 (14²), 225 (15²), 256 (16²) sont aussi utiles à connaître...
Mais moi, j'étais plus "tordu" que ça encore...
Non seulement, je bataillais pour que les tables de X soient sues par cœur (dans les deux sens mais le leur conseillais vivement) de prolonger
la table de 2 jusqu'à 50 x 2 minimum
la table de 3 jusqu'à 34 x 3 mini
la table de 4 jusqu'à 30 x 4 mini
etc...
Et dans les 2 sens...
Je voulais que 78 par ex, ils sachent de suite que c'était aussi bien 39 x 2, que 26 x 3 ou 13 x 6  pour gagner ainsi du temps dans les 2 calculs...
Pour un certain nombre de calculs (comme les simplifications justement), je pouvais leur montrer que j'allais plus vite avec ma tête que eux avec leurs calculettes...

Dernière modification par yoshi (18-10-2019 17:33:25)


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#23 18-10-2019 17:19:12

yannD
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Re : forme développée/forme canonique

Bonsoir Yoshi, pour la simplification :

$a\times b = c \iff a = \dfrac{c}{b}$

$\dfrac{-900}{121} \times \dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11}$

Ici, le $a$ c'est $\dfrac{-900}{121}$ et l'inverse de la multiplication c'est la division :  si b = $\dfrac{c}{a}$  par définition du quotient, dividende = diviseur x quotient donc je retrouve bien b x a = c

Donc : $\dfrac{-900}{121} \times \dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} <=> \dfrac{e}{f} = \dfrac{\dfrac{1800}{11}}{\dfrac{-900}{121}}$

$ \dfrac{e}{f} = \dfrac{\dfrac{1800}{11}}{\dfrac{-900}{121}} <=> \dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} \times \dfrac{121}{-900}$  par ce que :  $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}} =\dfrac{b}{a}$ donc $\dfrac{1}{\dfrac{-900}{121}} = \dfrac{121}{-900}$


$\dfrac{e}{f} = \dfrac{1800}{11} \times \dfrac{121}{-900} = -\dfrac{(30 \times 2)\times 30 \times 11 \times 11}{11\times 30 \times 30}$

le $11$ du  dénominateur se simplifie avec "un" des 2 $11$ du numérateur
et les "2" 30 du dénominateur se simplifie avec les "2" 30 du numérateur

Donc $\dfrac{e}{f} = -\dfrac{2 \times 11}{1} = -22$

Dernière modification par yannD (18-10-2019 17:21:51)

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#24 18-10-2019 17:31:34

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 446

Re : forme développée/forme canonique

@Yann : j'essaie de comprendre ton explication avec  les quotients, diviseurs..

[tex]\frac {a}{1}=\frac {b}{c}[/tex] equivaut à [tex]a*c=b*1[/tex] . notre prof disait "le produit des extrêmes égale le produit des moyens"
A+

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#25 18-10-2019 17:38:14

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 785

Re : forme développée/forme canonique

Re,

Bien d'accord...
Mais ces notions ont disparu des programmes...
On ne parle plus non plus de règle de trois, mais de produits en croix ou de 4e proportionnelle...
J'ai toujours trouvé que le recours à la fraction de dénominateur 1 était particulièrement utile dans les calculs de trigo...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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