Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 16-10-2019 19:33:15

Nelcar
Membre
Inscription : 05-03-2019
Messages : 103

exerce 1 - suites

Bonjour,
Nous avons à faire 9 exercices pour préparer le DS
je commence donc par le premier à savoir :
En justifiant, dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse
a) "Si pour tout nombre entier naturel n, un=2[sup]n- - 2n   alors u[sub]1=u[sub]2
b) si pour tout nombre entier naturel n, v[sub]n = 1/(n+1) - 5 alors, pour tout nombre entier naturel n, v[sub]n<0
c) si, pour tout nombre entier naturel n, w[sub]n = n² + 7 alors, pour tout nombre entier naturel n, w[sub]n[sub]+1=n²+8
j'ai fait
a) OUI car u[sub]1 = 0      u[sub]2
= 0
b) OUI car V0 = -5 et pour V1=-4,5
c)NON car wn+1 = n²+2n+8

Merci de m'expliquer car j'ai du mal
Bonne soirée

Dernière modification par Nelcar (16-10-2019 19:44:58)

Hors ligne

#2 16-10-2019 19:50:00

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 442

Re : exerce 1 - suites

Salut Nelcar,
je veux bien t'aider mais je n'arrive pas à te lire ...

Hors ligne

#3 16-10-2019 20:00:24

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 442

Re : exerce 1 - suites

Bonsoir,
je retraduis ce que j'ai cru lire :

Nelcar a écrit :

Bonjour,
Nous avons à faire 9 exercices pour préparer le DS
je commence donc par le premier à savoir :
En justifiant, dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse
a) "Si pour tout nombre entier naturel n, [tex]u_n=2^n-2n[/tex], alors [tex]u_1=u_2[/tex]
b) si pour tout nombre entier naturel n, $v_n = \frac {1}{n+1} - 5$ alors, pour tout nombre entier naturel n, $v_n<0$
c) si, pour tout nombre entier naturel n, $w_n = n² + 7$ alors, pour tout nombre entier naturel n, $w_{n+1}=n²+8$
j'ai fait
a) OUI car $u_1 = 0$     $u_2= 0$
b) OUI car $V_0= -5$ et pour $V_1=-4,5$
c)NON car $w_{n+1} = n²+2n+8$

Merci de m'expliquer car j'ai du mal
Bonne soirée

Tes réponses a) et c) sont bonnes. Quelles sont tes difficultés pour ces deux questions là ?
Le calcul de $v_1$ est bon, pas celui de $v_0$  ...c'est là que çà bloque?

Dernière modification par Zebulor (16-10-2019 20:46:40)

Hors ligne

#4 16-10-2019 20:04:22

Nelcar
Membre
Inscription : 05-03-2019
Messages : 103

Re : exerce 1 - suites

Bonsoir Zebulor,
c'est bien ça tu as bien retraduis.
Merci

Hors ligne

#5 16-10-2019 20:11:40

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 442

Re : exerce 1 - suites

@Nelcar :
alors je reprends la b) [tex]v_n=\frac {1}{n+1}-5[/tex]
pour calculer [tex]v_0[/tex] tu remplaces $n$ par 0 : [tex]v_0=\frac {1}{0+1}-5=1-5=-4[/tex]
et [tex]v_1=\frac {1}{1+1}-5=1/2-5=-9/2[/tex], mais pour justifier que [tex]\forall n \ge 0[/tex][tex]v_n<0[/tex] il en faut un peu plus...
Une méthode est de comparer $\frac {1}{n+1}$ à 1 pour tout $n$ par une inégalité, puis de retrancher 5 à chacun de ses membres...ou de résoudre directement [tex]v_n<0[/tex]

Dernière modification par Zebulor (16-10-2019 20:49:39)

Hors ligne

#6 17-10-2019 12:51:09

Nelcar
Membre
Inscription : 05-03-2019
Messages : 103

Re : exerce 1 - suites

Bonjour Zebulor,
pour la b) hier j'ai fait une erreur c'est bien pour v0 -4

puis je fais vn+1 -vn en faisant un tas de calcul j'arrive à -1 sur (x+1)(x+2) donc <0 la suite est décroissante

si pour tout nombre entier naturel n, vn=1n+1−5 alors, pour tout nombre entier naturel n, vn<0 donc je peux dire VRAI
Merci

Dernière modification par Nelcar (17-10-2019 12:52:50)

Hors ligne

#7 17-10-2019 13:51:26

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 442

Re : exerce 1 - suites

Bonjour Nelcar,
ton calcul sur [tex]v_{n+1}-v_{n}[/tex] donne en effet une fonction de [tex]n[/tex] strictement décroissante et [tex](v_n)[/tex] est bien par conséquent une suite décroissante strictement ...
ça demande moins de calculs que de mettre sous forme canonique ton autre équation de parabole!
On ne te demande pas de démontrer la décroissance de la suite mais si tu veux le faire regarde : [tex]\forall n[/tex] entier, [tex]n+2 \gt n+1[/tex] ok? d 'où [tex]\frac {1}{n+1} \gt\frac {1}{n+2} [/tex] d'où  [tex]\frac {1}{n+1}-5 \gt\frac {1}{n+2}-5 [/tex] d'où [tex]v_n \gt v_{n+1}[/tex] ...

Sinon autre chemin :  pour tout entier naturel [tex]n[/tex], [tex]v_n<0  [/tex] <=>  [tex] \frac {1}{n+1}-5<0  [/tex]  <=> [tex] n+1>\frac {1}{5} [/tex]<=>[tex]  n>\frac {-4}{5}[/tex] ce qui est vrai..et c'est fini.
Moralité : tu n'es pas obligé de démontrer la décroissance de [tex](v_n)[/tex] pour montrer que tous ses termes sont négatifs.

Ensuite je ne suis pas sur de bien comprendre ce que tu veux dire :

Nelcar a écrit :

si pour tout nombre entier naturel n, vn=1n+1−5 alors, pour tout nombre entier naturel n, vn<0 donc je peux dire VRAI
Merci

Il me semble que là tu ne démontres rien ..

Est ce que tu voulais dire : [tex]v_0<0[/tex]; or la suite [tex](v_n)[/tex]est strictement décroissante, donc [tex]\forall n \ge 0[/tex], [tex]v_n<v_0<0[/tex] ? Dans ce cas c'est correct

Dernière modification par Zebulor (17-10-2019 17:14:19)

Hors ligne

#8 17-10-2019 19:37:02

Nelcar
Membre
Inscription : 05-03-2019
Messages : 103

Re : exerce 1 - suites

bonsoir,
je ne comprend pas ce que tu m'as mis à savoir :
∀n entier, n+2>n+1 ok? d 'où 1/n+1>1/n+2 d'où  1/n+1−5>1/n+2−5 d'où vn>un+1 ...
le début ok pour n+2>n+1 mais après je ne comprend pas
pour l'autre chemin pourquoi n, vn<0 <=>1/n+1 -5<0 jusque là ça va mais après n+1>1/5 là je suis perdue. la suite j'ai vu ce que tu as fait.
Le dénominateur tu l'isoles ok mais pourquoi inversé le signe > je pense parce que tu as inversé le dénominateur mis en haut et pourquoi 1/5
MERCI pour tes explications

Hors ligne

#9 18-10-2019 04:36:15

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 442

Re : exerce 1 - suites

Bonjour Nelcar,
je crois comprendre ce qui te gêne : tu as du voir que tous nombres réels [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] tels que [tex]0<a<b[/tex], vérifient aussi les inégalités [tex]\frac {1}{a}>\frac {1}{b}[/tex]. On dit que prendre l'inverse inverse l'ordre des inégalités. Attention [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] doivent être de même signe pour faire cette opération

Autre exemple : pour tout entier $n$, [tex]\frac {1}{n+1}-5<0[/tex] équivaut à [tex]\frac {1}{n+1}<5[/tex] parce que j'ajoute un même nombre 5 à chaque membre de l'inégalité, donc cette fois je garde le sens des inégalités à savoir le signe <.

Ensuite comme [tex]0<\frac {1}{n+1}[/tex], je peux écrire [tex]0<\frac {1}{n+1}<5[/tex] et je me retrouve dans le cas [tex]0<a<b[/tex] que j'explique au début de ce post.
l'inverse de $\frac {1}{n+1}$ est [tex]n+1[/tex], parce que l'inverse de l'inverse de tout nombre non nul [tex]z[/tex] c'est [tex]z[/tex] lui même!!
l'inverse de 5 est $\frac {1}{5}$. Et d'après ce que j"indique en début de post : [tex]\frac {1}{a}>\frac {1}{b}[/tex] donne ici [tex]n+1>\frac {1}{5}[/tex]

Un dernier : pour tout entier $n$ :  [tex]n+2 \gt n+1[/tex] mais comme [tex]n+2 \gt n+1 \gt 0[/tex], j'ai aussi : [tex]\frac {1}{n+2} \lt\frac {1}{n+1} [/tex], ou si tu préfères : [tex]\frac {1}{n+1} \gt\frac {1}{n+2}  [/tex]

d'où  [tex]\frac {1}{n+1}-5 \gt\frac {1}{n+2}-5 [/tex] : ici je ne change pas le signe des inégalités parce que je soustrais 5 à ses deux membres. Finalement [tex]v_n \gt v_{n+1}[/tex] ou si tu préfères : [tex]v_{n+1} \lt v_{n} [/tex] : suite décroissante.

En résumé :
1°Ajouter ou soustraire un même nombre aux membres d'une inégalité ne change pas le sens des inégalités.
2°Prendre l'inverse change le sens des inégalités, à condition que les membres des inégalités soient de même signe. Je ne  sais pas si tu as vu l'étude de la fonction inverse en cours. Son graphe illustre ces inégalités.
3°Multiplier des membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif change le sens des inégalités

Dernière modification par Zebulor (18-10-2019 08:54:05)

Hors ligne

#10 18-10-2019 11:01:04

Nelcar
Membre
Inscription : 05-03-2019
Messages : 103

Re : exerce 1 - suites

Bonjour,
Merci Zebulor pour ton explication qui m'a éclairé.
MERCI

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante quinze moins vingt
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums