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#1 06-10-2019 17:59:50

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 52

Conditionnement de l'inverse d'une somme de matrice

Bonjour, cela fait 3 jours que je bloque sur cette inégalité, je ne sais pas par où commencer :/

Soit [tex]\mathcal{A}[/tex] une matrice inversible et [tex]\|\cdot\|[/tex] une norme matricielle. Supposons [tex](\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})[/tex] inversible, démontrez que :


[tex]\cfrac{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}-\mathcal{A}^{-1}\|}{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|} \leq cond(\mathcal{A})\cfrac{\|\delta\mathcal{A}\|}{\|\mathcal{A}\|}=\|\mathcal{A}^{-1}\|\|\delta\mathcal{A}\|[/tex].

Ce que j'ai fait :

[tex]
\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}-\mathcal{A}^{-1}\| \leq \|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|+\|\mathcal{A}^{-1}\|
[/tex]
[tex]
\iff
\cfrac{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}-\mathcal{A}^{-1}\|}{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|} \leq \cfrac{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|+\|\mathcal{A}^{-1}\|}{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|} = 1+\cfrac{\|\mathcal{A}^{-1}\|}{\|(\mathcal{A}+\delta\mathcal{A})^{-1}\|}
[/tex] ...

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#2 06-10-2019 21:01:07

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 836

Re : Conditionnement de l'inverse d'une somme de matrice

Bonsoir Guitout,

Tu peux commencer par écrire
$$(A+ \delta A)^{-1} - A^{-1} = (A+ \delta A)^{-1} \big( Id - (A+ \delta A)A^{-1} \big) = (A+ \delta A)^{-1} \big( - \delta A \, A^{-1} \big).$$

Roro.

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#3 06-10-2019 22:00:11

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 52

Re : Conditionnement de l'inverse d'une somme de matrice

Bonsoir, parfait, j'ai fait tout fait d'un coup, merci d'avoir éclairé ma lanterne x) je me sens bête de ne pas y avoir pensé avant
merci beaucoup

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#4 17-10-2019 14:43:59

Kamte
Invité

Re : Conditionnement de l'inverse d'une somme de matrice

Bonsoir    monsieur  svp besoin  des exercices de maths niveau  supérieur  avec corrigé mentionné après  l'exercice. Veuillez  envoyé svp pour mes recherche personnel et l'acquisition  des connaissances. Merci monsieur pour votre compréhension .

#5 17-10-2019 16:48:41

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 781

Re : Conditionnement de l'inverse d'une somme de matrice

RE,

Aucun rapport avec le sujet en cours, ta demande n'est en rien une réponse...
Trop fatigant de trouver ce lien ?:
Nouvelle discussion
Trop fatigant de cliquer sur Ressources pour tomber là-dessus :
http://www.bibmath.net/ressources/index … hsup/index ?
Fais ton choix, et sers-toi...

Tu as 24 h pour réagir demain, je supprime mon post... et le tien.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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