Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 08-10-2019 16:21:00

bernard26
Membre
Inscription : 08-10-2019
Messages : 1

Ballon de foot

Bonjour
Je dois créer un ballon de foot, mais il me faut l'angle qui'il y a entre les surfaces planes des (20) hexagones et (12) pentagones
Pour ma réalisation, le cercle tangent sur les côtée de l'hexagone et de 145 mm .
Merci

Hors ligne

#2 11-10-2019 07:21:05

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 92

Re : Ballon de foot

Bonjour,

Le ballon de foot est un icosaèdre tronqué, dont chaque sommet est partagé entre un pentagone régulier (d'angle α0 = π - π/5 = 4π/5 = 144°) et deux hexagones réguliers (d'angle β0 = 2π/3 = 120°).
https://www.mathcurve.com/polyedres/arc … dien.shtml
https://www.mathcurve.com/polyedres/ico … nque.shtml

On peut imaginer 3 arêtes du polyèdre concourant à l'origine d'un repère orthonormé direct (Oxyz), et orientées par les vecteurs unitaires (u1, u2, u3) placés de telle sorte que:
a) u1 et u2 correspondent à deux arêtes successives du pentagone, et soient disposés dans le plan (xOy), symétriquement par rapport au demi-axe (Ox');
b) u3 oriente l'arête commune aux deux hexagones, et se situe dans le plan (xOz), au-dessus de (Ox).

Ils présentent dans ces conditions les composantes suivantes:

u1 = (-Cos(α), Sin(α), 0) ;
u2 = (-Cos(α), -Sin(α), 0) ;
u3 = (Cos(t), 0, Sin(t) ,

si l'on convient de poser α = α0/2 = 2π/5 = 72° .
Par ailleurs (t) désigne l'inclinaison du vecteur (u3) sur l'axe (x'x), choisie de telle sorte que

(u3, u1) = (u3, u2) = 2π/3 ,

ce qui entraîne pour les produits scalaires:

(u3u1) = (u3u2) = Cos(2π/3) = -1/2 .

Les normales unitaires aux trois faces s'expriment alors par les produits vectoriels:

n2 = (1/N2)*(u3×u1) (face hexagonale);
n1 = (1/N1)*(u2×u3) (face hexagonale);
n3 = (1/N3)*(u1×u2) (face pentagonale);

(orientées sauf erreur vers le haut), sachant que l'on a de plus:

N2 = ║u3×u1║ = N1 = ║u2×u3║ ;
N3 = ║u1×u2║ .

Les angles dièdres déterminés par les faces adjacentes sont supplémentaires des angles séparant les directions des normales:
a) pour deux hexagones:

A12 = π - (n1, n2) ;

b) pour un pentagone et un hexagone:

A13 = π - (n1, n3) = A23 = π - (n2, n3) ,

avec (ni, nj) = Arccos(ni │ nj) .

Il reste le choix du calcul à entreprendre: soit entièrement numérique, soit algébrique à l'aide de radicaux (ce qui est tentant, mais peut se révéler un peu lourd).

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/T … PisurN.htm

Dernière modification par Wiwaxia (11-10-2019 09:01:15)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
cinquante deux moins sept
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums