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#1 08-10-2019 13:55:17

Super Yoshi
Membre
Inscription : 06-10-2019
Messages : 14

Démonstration d'une propriété

Bonjour,

Je dois démontrer la propriété suivante :

non (x∈E, P(x)) <=> (x∈E, nonP(x))       

La propriété est trivial mais je ne vois pas déjà comment commencer la démo. J'ai pensé à prendre les sous-ensembles de P.

Merci

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#2 08-10-2019 20:36:36

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 196

Re : Démonstration d'une propriété

Bonsoir,

P(x) est une propriété portant sur x ou un ensemble ? Concrètement, qu'est P ? J'aurai eu tendance à dire que c'est une propriété portant sur x vu la formulation, en général quand on écrit dans une phrase mathématiques, "juste" P(x) ça veut dire que la propriété P portant sur x est vraie.

Bon, en supposant que P(x) signifie "une propriété portant sur x", voici une première implication :
Supposons $\lnot (\forall x \in E, P(x))$ (le $\lnot$ c'est l'un des symboles utilisés en logique pour signifier "non").
Comme c'est souvent le cas pour des propriétés très simple au premier abord mais pas si simple à montrer, on raisonne par l'absurde :
Supposons que $\not \exists x \in E, \lnot P(x)$ ($\pi$).
On a alors que : $\forall x \in E, P(x)$ (car sinon on a $\exists x \in E, \lnot P(x)$, ce qui contredit ($\pi$)), ce qui contredit l'hypothèse de départ, donc ($\pi$) est fausse et ainsi : $\exists x \in E, \lnot P(x)$.

NB : Pour faire une "vraie" démonstration correcte et acceptée par des logiciens, il faudrait passer dans le langage de la logique formelle et ne pas utiliser de métamathématiques, mais vu que c'est pour une première année de prépa et que mes souvenirs là-dessus remonte un peu, je pense que ça suffira.

Cordialement

Dernière modification par Maenwe (09-10-2019 21:06:50)

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