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#1 29-09-2019 03:50:18
- Tania
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Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Bonjour,
J'ai beaucoup de difficultés dans la rédaction et le raisonnement des réponses à cet exercices. Pouvez-vous m'aider à y mettre plus de rigueur.
Soit C=0.12345678910111213141516171819202122232425 ... (cste de David Champer.)
1) Quelle est la 1000ème ?
De 1 à 9 : il y a 9 décimales
De 10 à 99 : il y a (99-9)*2 = 180 décimales
De 100 à 999 : il y a (999-99)*3 = 2700 décimales
la 1000ème décimale correspond à la (1000-9-180) ème rang dans la liste de 100 à 999. Soit le 811ème rang.
Pour savoir on divise par 3 pour connaitre combien il y a de nombre à chiffres pour atteindre le 811ème rang.
811/3~270.333...
le nombre est 270.333+100~370.3
La 1000ème est donc 3.
(ma rédaction n'est pas claire)
2) Déterminer la somme des 49 premières décimales?
De 1 à 9 : 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45
De 10 à 99 : on ne s’intéresse qu'au 40 premières décimales donc aux 40/2=20, 20 premiers nombres allant de 10 à 30.
1+0+1+1+1+2+1+3+...+2+0+2+1+2+3+ ... 3+0= (1*10)+(1+2+3+4+5+6+7+8+9) + (2*10)+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=10+45+20+45=
3) Pouvez-vous trouver votre date d'anniversaire (06082004) dans les décimales de C? Si oui combien de fois ? Expliquer votre réponse.
oui car 06082004 ça être encadré par ...06082003 et ...06082005 , combien de fois ?
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#2 29-09-2019 12:06:30
- yoshi
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Bonjour,
la 1000ème décimale correspond à la (1000-9-180) ème rang dans la liste de 100 à 999. Soit le 811ème rang.
Pour savoir on divise par 3 pour connaitre combien il y a de nombre à chiffres pour atteindre le 811ème rang.811/3~270.333...
Q1
Tu dois simplement faire remarquer que de 1 99 tu as constaté (ce que tu as fait) cela constitue seulement 189 décimales, donc le nombre contenant la 1000e décimale est >= 100
Tu as besoin de la borne supérieure : de 100 à 999 il y 900 chiffres soit 2700 chiffres
Le nombre auquel appartient la 1000e décimale est donc inférieur ou égal à 999, c'est donc un nombre à 3 chiffres.
Donc de 100 à la décimale cherchée, on compte 1000-189= 811 chiffres...
Le nombre entier de groupes de 3 chiffres correspond au quotient euclidien de la division de 811 par 3 :
[tex]811 = 270 \times 3 +1[/tex]
La 1000e décimale est donc le 1er chiffre du 271e nombre qui suit 99...
Cette écriture-là : 811/3~270.333... est une horreur
Q2
De 1 à 9 : 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45
De 10 à 99 : on ne s’intéresse qu'au 40 premières décimales donc aux 40/2=20, 20 premiers nombres allant de 10 à 30.
J'espère que tu n'as voulu dire que de 10 à 30 il y a 20 nombres...
C'est vrai si 30 est exclu, faux si 30 est inclus
Tu n'as qu'à dire simplement que tu additionnes ensuite tous les chiffres jusqu'au 2e chiffre du 20e qui suit 9
Quant à faire la somme, un peu de rigueur ne fait pas de mal :
- à place des dizaines il y a 10 fois le chiffre 1 et 10 fois le chiffre 2 (on s'arrête à 29).
- à la place des unités, il y a 1 fois chaque chiffre de 1 à 9 par dizaine complète, soit 2 fois la somme de 1 à 9
Pour la Q3 je regarde ça de plus près et je reviens.
Mais déjà :
oui car 06082004 ça être encadré par ...06082003 et ...06082005
n'est pas une réponse satisfaisante.
Parce que moi, à la la place de ton prof, j'écrirais en dessous !
Et si je te demande comment tu sais que 06082003 existe, me répondras-tu :
il existe car 06082003 ça être encadré par ...06082002 et ...06082004 ?
Tu vois où je veux en venir ?
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#3 29-09-2019 13:50:37
- yoshi
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Re,
Bon, bin pas évident du tout...
La complication vient du zéro initial
Pour débroussailler le terrain, je prends un groupe de chiffres moins long : "0125" (je sais ça ne correspond pas à un morceau de date de naissance...)
Aucun nombre ne commence par un zéro... Donc le zéro est forcément une partie du nombre précédent.
Ce nombre peut-il être compris entre 10 et 99 (inclus) ?
Non. Répartitions : 01 25 : ne va pas (ne se suivent pas), 0 12 5 : ne va pas (ne se suivront pas).
Ce nombre peut-il avoir 3 chiffres ?
Non.
Répartitions :
(x, y, z et t sont des chiffres)
0 125 : ne va pas (le précédent de 125 est 124, ne se termine pas par 0).
x01 25y : ne va pas (le précédent de de 25y est soit 25z (avec z <y), soit y =0, 24z)
012 5xy : 012 est impossible.
Donc il faut chercher dans les nombres à 4 chiffres donc on peut avoir :
Répartitions
xyz0 et 125t : il est clair que la différence entre ces deux nombres est 1.
Et 125t est à choisir entre
1250, 1251, 1252, 1243, 1254, 155, 1256, 1257, 1258, 1259
E t le précédent est dans l'ordre
1249. Refusé : 1249 1250 1251 e t il n'y aura plus de zéros à la fin avec 125x et x>1
Par contre, je vois nettement :
1250 1251
Donc 0125 ici est composé du zéro terminal du nombre précédant 125x, et des premiers du suivant.
Donc 11250 et 1251
Y en a-t-il d'autres terminés par 0 ? Non sinon on n'aura pas 125x...
Oui, mais le zéro peut être ailleurs, non ?
Oui en dizaine en en centaine : deux autres solutions donc...
- En dizaine :
xy01 et 25zt sont des nombres qui se suivent, donc après 01 il y a 02, 25zt--> 2502, mais le précédent de 2502 est 2501.
Cela convient-il ? 2501 2502. Oui.
Y en a t-il d'autres avec 0 comme dizaine ? Ci-dessus, cela prouve que non...
- En centaine (0 n'est pas en millier) :
les deux nombres ont cette forme : x012 et 5yzt. après 012 il y a 013
D'où 5yzt --> 5013 mais le précédent de 5013 est 5012. On a donc : 5012 5013
Maintenant il ne reste plus qu'à appliquer ce raisonnement à "06082004"... pas facile à faire...
Mais la curiosité et l'intérêt que tu portes à ce genre d'énigme mathématique (montré dans tes sujets précédents) t'aideront...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#4 29-09-2019 16:33:27
- Tania
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Merci énormément pour tes explications et tes corrections Yoshi ! Je n'ai pas l'habitude de ce type d'exercices ouverts
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#5 29-09-2019 17:31:41
- yoshi
- Modo Ferox
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Re,
C'est bien de revenir : tu ne l'as pas fait les fois précédentes et c'est frustrant pour celui qui donne de son temps...
Bon, sinon où en es-tu ?
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#6 29-09-2019 18:32:04
- Tania
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
J'etais pourtant très satisfaite de tes retours mais je nai pas pris le temps de l'ecrire et ca cest une belle erreur !
Je fais une petite pause et je reprends tout ça ce soir ! J'essayais de trouver un moyen de faire un programme sur python pour creer un algo qui renvoie le chiffre de la nieme decimale du nbre de campernowne mais j'ai abondonné ca ne doit pas être de mon niveau.
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#7 29-09-2019 19:55:58
- yoshi
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
uitB'soir,
Puisque t'as pas peur du Python, voilà en mode console avec l'IDLE :
>>> Decimales=""
>>> for i in range(1, 10000):
Decimales+=str(i)
>>> print(len(Decimales))
38889
>>> n=1000
>>> print (Decimales[n-1])
3
>>>
Valable pour tout n entre 1 et 38889...
Pourquoi n-1 ?
Parce que la 1ere décimale a pour position 0 : que ce soit liste ou chaîne de caractères, Python commence la numérotation à 0.
Somme des 49 premières décimales (à utiliser à la suite de ce qui précède) :
>>> S=0
>>> for x in range(0,49):
S+=int(Decimales[x]
>> print (S)
165
Positions de la chaîne "0125" (encore à la suite)
>>> i=3
>>> for x in range(0,38885):
chaine=Decimales[x: x+4]
if chaine=="0125":
print("Position :",x," Les deux nombres consécutifs sont :", Decimales[x-i:x-i+8])
i-=1
Position : 3892 Les deux nombres consécutifs sont : 12501251
Position : 8895 Les deux nombres consécutifs sont : 25012502
Position : 18938 Les deux nombres consécutifs sont : 50125013
Explications supplémentaires
Decimales+=str(x)
Si j'ai 12 et 13, 12+13 =25. Mais moi je veux 1213, donc, je dois ajouter (on dit concaténer) des chaînes de caractère, sonc je convertis le nombre x en une chaîne avec str(x) (str de l'anglais string ficelle ou ici chaîne)
len de l'anglais length longueur.
donc le n ne doit pas dépasser 38889 : de 0 à 38888, il y a bien 38889 chifres les uns à la suite des autres...
donc je demande d'écrire le chiffre à la position n-1 : Decimales[n-1]...
La fonction int() de l'anglais integer = entier
- soit prend la partie entière d'un nombre décimal
- soit convertit une chaîne de caractères ne contenant que des chiffres en un nombre entier.
j'étais obligé d'en passer par là pour faire le calcul de la somme.
Mais
je dois au début dire que cette somme vaut 0.
Puis j'additionne l'une après l'autre la valeur de la chaine de caractère de 0 à 48 (ça fait bien 49)
Rappelle-toi, en Python, la fin d'une boucle est toujours inférieure de 1 à ce qui écrit (sinon de 0 à 49, ça fait 50)...
Explications de la suite demain, si ça t'intrigue...
@+
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#8 30-09-2019 19:32:00
- yoshi
- Modo Ferox
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Bonsoir Tania,
j'espère que je ne t'ai pas dégoûtée...
J'ai travaillé pour toi.
Les petits morceaux de script que je t'ai posés hier avaient un défaut :
- Tu ne pouvais pas aller plus loin que le 38889e chiffre
- Tu ne pouvais pas chercher la somme de plus de 38889 chiffres
- Tu ne pouvais pas chercher la présence d'une chaîne d'une longueur autre que 4 chiffres.
J'ai refait le tout en un seul programme pour ne pas avoir à construire et utiliser la chaîne Decimales (limitée de plus à 38889 chiffres).
Tu trouveras le programme complet ici : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 073#p79073
Si hier, les instructions utilisées étaient vraiment basiques, cette fois c'est un plus élaboré : pas sûr que tu comprennes tout du premier coup...
Voilà ce qu'il permet d'obtenir :
.
***********************************
* Variations sur le nombre *
* de *
* David Champer *
***********************************Nombre de David Champer :
0,123456789101112131415161718192302122232425627282930...Entrer la position du chiffre à rechercher : 9876
+-+ Le 9876e chiffre décimal est 7 +-+Entrer le nombre de chiffres à additionner : 2345
+-+ La somme des 2345 premiers chiffres décimaux est : 10234 +-+Entrer la chaîne à rechercher : 03071988
+-+ Recherche de toutes les occurences de la chaîne 03071988 +-+
--> Avec le 0 en place des unités,
la chaîne 03071988 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 3071988030719881--> Avec le 0 en place des dizaines,
la chaîne 03071988 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 719880307198804--> Avec le 0 en place des centaines,
la chaîne 03071988 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 7198803071988031--> Avec le 0 en place des milliers,
la chaîne 03071988 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 1988030719880308--> Avec le 0 en place des dizaines de mille,
la chaîne 03071988 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 9880307198803072--> Avec le 0 en place des centaines de mille,
la chaîne 03071988 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 8803070988030710--> Avec le 0 en place des millions,
la chaîne 03071988 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 8030719880307199
@+
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#9 01-10-2019 10:35:35
- Tania
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Bonjour Yoshi, j'ai bien reçu tes messages mais j'ai besoin de temps pour digérer et tester aussi sur python... Merci c'est tellement bien expliqué
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#10 01-10-2019 10:38:50
- Tania
- Membre
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- Messages : 119
Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Je vois que tu as utilisé log dans le programme pour determiner la nième decimal du coup c'est du niveau terminal ?
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#11 01-10-2019 16:18:54
- yoshi
- Modo Ferox
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Salut Tania,
Oui, le logarithme c'est le programme de terminale avec option Math.
tu fais allusion à cette ligne :
lg_i=int(log(i,10))+1
Le log me donne un nombre décimal, dont je prends la partie entière et à laquelle j'ajoute 1 ; pour quoi faire ?
Pour avoir la longueur du nombre i...
int(log(12345870197, 10)+1 --> 11 : ce nombre a donc 11 chiffres.
J'aurais pu :
- le convertir en une chaîne : str(12345870197)
- puis en demande la longueur via : len(str(12345870197)) --> qui me donne 11.
J'ai employé le log, pour ne pas toujours utiliser la même technique : je varie les plaisirs de temps en temps...
Ici j'ai utilisé le logarithme à base 10 en math, on écrirait : $\log_{10}(12345870197)$
Avec Python, l'écriture donc différente.
La particularité du log à base 10 est que log(10,10)=1.
Et quel que soit la base b du logarithme, on a $log_b{a^n} = n\times log(a)$
Donc avec b = 10, on a : $\log_{10}(1000)=\log_{10}(10^3)=3\times \log_{10}(10)=3 \times 1 =3$
Et je rajoute 1 parce que 3 étant l'exposant, on est dans les milliers, donc 4 chiffres : il y a toujours 1 chiffre de plus que l'indique l'exposant.
$1,2478 \times 10^5 possède 6 chiffres : $1,2478 \times 10^5 = 124780$...
le log donne très rarement un nombre entier, donc j'en prends la partie entière puis j'ajoute 1 (à cause de ce que j'ai écrit au-dessus)
C'est pas un cours sur les logs, hein ! Juste quelques ligne pour que tu comprennes un peu ce que j'ai bricolé...
Pour le programme total en sous forum programmation, je me suis aperçu ce matin que pour la recherche d'une chaine, il y a d'autres solutions supplémentaires auxquelles je n'avais pas pensé.
Les solutions que donne le programme sont en gardant le même nombre de chiffres que celui de la chaîne recherchée...
Dans le case de recherche de "06082004", puisque la chaîne commence par un 0, il n'y aura pas d'autres solutions à 8 chiffres.
Si je cherche "16082004" et bien il manquera une : le nombre 16082004 lui-même...
Et si je garde "06082004" et que je rajoute au choix devant : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 : il y aura encore comme solutions, les nombres
106082004, 206082004, 306082004, 406082004, 506082004, 606082004, 706082004, 806082004 et 906082004
qui sont des nombres présents tels quels dans la suite de David Champer...
Je suis en train de corriger cela...
Si je rentre 06082004 dans mon programme, voilà ses deux premières réponses :
+-+ Recherche de toutes les occurrences de la chaîne 06082004 +-+
En utilisant 8 chiffres seulement :
--> Avec le 0 en place des unités,
la chaîne 06082004 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 6082004060820041--> Avec le 0 en place des dizaines,
la chaîne 06082004 est comprise dans les 2 nombres consécutifs juxtaposés 820040608200407
En place des unités signifie que je pars de :
+++++++0 et 6082004+
Le suivant de 0 est 1 donc j'ai 60820041 et le nombre qui précède est 60820040 et je présente les 2 nombres consécutifs ainsi :
6082004060820041
En place des dizaines signifie que je pars de :
+++++++06 et 082004++
Tiens encore une erreur:
Le suivant de 6 est 7 donc j'ai 08200407 et le nombre qui précède est 08200406 et jje voisq qy'aucun nombre à 8 chiffres ne peut commencer par 0...
Mais .a marche de nouveau en place des centaines :
+++++060 et 82004+++
060 est suivi de 061 donc 82004061 puis 82004060
Résultat : 82004060 82004061
Il y a encore deux autres résultats valables...
@+
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#12 05-10-2019 17:19:51
- yoshi
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Re : Exercices nbre de David Champer. en 2nde
Bonjour,
Ces résultats sont exacts, mais il y avait bien plus simple...
Programmer m'a permis d'y voir plus clair. Dernière version fiable cette fois : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 197#p79197, post #4
J'ai ajouté un menu permettant de choisir de répondre à chacune des 3 questions indépendamment.
Je sus vraiment confus et présente mes excuses à Tania pour avoir tant patauger dans l'option 3.
Un exemple :
Entrer la chaîne à rechercher : 01527
+-+ Recherche de toutes les occurrences de la chaîne 01527 +-+
Le premier chiffre étant un 0, il n'y a aucun nombre à 5 chiffres, qui soit solution.
** Réponses incluses dans des nombres à 6 chiffres **
(1) En ajoutant un chiffre de 1 à 9 en début de chaîne :
--> 101527
--> 201527
--> 301527
--> 401527
--> 501527
--> 601527
--> 701527
--> 801527
--> 901527
La chaîne 01527 commençant par 0, on ne peut lui ajouter de chiffre(s) à la fin.
** Réponses incluses dans des nombres à 7 chiffres. **
En ajoutant un chiffre de 1 à 9 en début de chacune des 9 solutions de (1),
soit 81 réponses de plus...)
1101527 1201527 ...... 1901527
2101527 2201527 ...... 2901527
3101527 3201527 ...... 3901527
4101527 4201527 ...... 4901527
5101527 5201527 ...... 5901527
6101527 6201527 ...... 6901527
7101527 7201527 ...... 7901527
8101527 8201527 ...... 8901527
9101527 9201527 ...... 9901527
La chaîne 01527 commençant par 0, on ne peut lui ajouter de chiffre(s) à la fin.
Toujours avec 7 chiffres, on peut aussi ajouter chacun des chiffres de 0 à 9 en fin
de chacune des 9 solutions de (1), soit encore 90 réponses supplémentaires...
1015270 2015270 ....... 9015270
1015271 2015271 ....... 9015271
1015272 2015272 ....... 9015272
1015273 2015273 ....... 9015273
1015274 2015274 ....... 9015274
1015275 2015275 ....... 9015275
1015276 2015276 ....... 9015276
1015277 2015277 ....... 9015277
1015278 2015278 ....... 9015278
1015279 2015279 ....... 9015279
On peut poursuivre ce même procédé à l'infini avec, 8, 9, 10 etc.. chiffres...
Entrer la chaîne à rechercher : 81527
+-+ Recherche de toutes les occurences de la chaîne 81527 +-+
Le premier chiffre étant un 8, le nombre 81527 qui possède 5 chiffres est déjà une réponse en lui-même.
** Réponses incluses dans des nombres à 6 chiffres **
(1) En ajoutant un chiffre de 1 à 9 en début de chaîne :
--> 181527
--> 281527
--> 381527
--> 481527
--> 581527
--> 681527
--> 781527
--> 881527
--> 981527
(2) En ajoutant un chiffre de 0 à 9 en fin de chaîne :
--> 815270
--> 815271
--> 815272
--> 815273
--> 815274
--> 815275
--> 815276
--> 815277
--> 815278
--> 815279
** Réponses incluses dans des nombres à 7 chiffres. **
En ajoutant un chiffre de 1 à 9 en début de chacune des 9 solutions de (1),
soit 81 réponses de plus...)
1181527 1281527 ...... 1981527
2181527 2281527 ...... 2981527
3181527 3281527 ...... 3981527
4181527 4281527 ...... 4981527
5181527 5281527 ...... 5981527
6181527 6281527 ...... 6981527
7181527 7281527 ...... 7981527
8181527 8281527 ...... 8981527
9181527 9281527 ...... 9981527
En ajoutant un chiffre de 0 à 9 en fin de chacune des 10 solutions de (2),
soit 100 réponses supplémentaires...
8152700 8152710 ...... 8152790
8152701 8152711 ...... 8152791
8152702 8152712 ...... 8152792
8152703 8152713 ...... 8152793
8152704 8152714 ...... 8152794
8152705 8152715 ...... 8152795
8152706 8152716 ...... 8152796
8152707 8152717 ...... 8152797
8152708 8152718 ...... 8152798
8152709 8152719 ...... 8152799
Toujours avec 7 chiffres, on peut aussi ajouter chacun des chiffres de 0 à 9 en fin
de chacune des 9 solutions de (1), soit encore 90 réponses supplémentaires...
1815270 2815270 ....... 9815270
1815271 2815271 ....... 9815271
1815272 2815272 ....... 9815272
1815273 2815273 ....... 9815273
1815274 2815274 ....... 9815274
1815275 2815275 ....... 9815275
1815276 2815276 ....... 9815276
1815277 2815277 ....... 9815277
1815278 2815278 ....... 9815278
1815279 2815279 ....... 9815279
On peut poursuivre ce même procédé à l'infini avec, 8, 9, 10 etc.. chiffres...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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