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#1 17-08-2019 02:05:55
- hicham alpha
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inclusion strict
Bonjour
Merci de m'indiquer la démarche à suivre pour résoudre cet exercice :
Soient K un corps infini, E un K-espace vectoriel, (Fk)1≤k≤n une famille de sous-espaces stricts i.e. pour
tout 1 ≤ k ≤ n, Fk $\nsubseteq $ E. Montrer que E $\neq$ $\bigcup_{k=1}^{n}F$k
Merci d'avance
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#2 17-08-2019 09:46:34
- Maenwe
- Invité
Re : inclusion strict
Bonjour,
Tu peux commencer par montrer à quelles conditions cette union est un espace vectorielle. Tu peux simplement commencer par trouver cette condition pour 2 sous espaces vectoriels stricte pour simplifier la tache.
Cordialement.
#3 17-08-2019 13:52:12
- hicham alpha
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Re : inclusion strict
Bonjour
La condition voulu c'est que l'un est inclus dans l'autre. Mais je ne sais pas si j'arriverai à le généraliser pour n s-ev.
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#4 17-08-2019 21:08:08
- Maenwe
- Invité
Re : inclusion strict
Bonsoir,
Par récurrence c'est possible, pour la faire voici une petite indication : tu peux commencer par montrer ça [tex]\forall x \in \cup_{k=1}^{n} A_{k}, -x \in \cup_{k=1}^{n} A_{k}[/tex] où les [tex]A_{k}[/tex] sont des ev. (En fait la seule chose qui empêche l'Union de former un espace vectoriel en général c'est la "stabilité" par l'addition). Bon courage et n'hésite pas a redemander si tu bloques sur la récurrence.
#5 21-08-2019 17:08:52
- hicham alpha
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Re : inclusion strict
Merci beaucoups
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#6 23-08-2019 19:07:15
- For
- Invité
Re : inclusion strict
Bonjour,
Une autre méthode existe sans passer sur la CNS de l’union d’espaces vectoriels est un espace vectoriel.
Essaye tout d’abord de montrer le résultat pour n = 2 de façon directe avec une disjonction de cas. Normalement ça devrait te donner une idée de comment généraliser par récurrence.
#7 23-08-2019 23:04:05
- Maenwe
- Invité
Re : inclusion strict
Bonsoir,
C'est la 1ère idée que j'avais eu pour résoudre cette exercice, mais ce n'a pas aboutit. Prenons le cas n=2 :
Supposons [tex]E = A \cup B[/tex] avec A et B ev et stricte dans E.
Soit [tex]x \in E[/tex] alors [tex]x \in A[/tex] ou [tex]x \in B[/tex].
Là où je bloque c'est ce que je suppose ce que tu veuilles dire par disjonction de cas :
Si [tex]x \in A[/tex] que peut-on dire ? Et c'est là que je n'ai pas pu dire grand chose sans utiliser un autre élément de E et ainsi reproduire la preuve de la CNS que j'ai proposé en piste pour résoudre ce problème. Aurais tu une piste pour aller plus loin ?
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