Epreuve de maths

oboskobo · 07-08-2019 20:36:47

Salut les amis, j'ai passé le 29 juillet un examen de maths pour un concours de technicien cat B fonction publique.
J'aurai besoin d'aide pour la correction et ainsi me faire une idée de ma note. Il s'agit d'un QCM.
Chaque question comporte au plus 2 réponses.

Voici le sujet :
EXO 1:
Un composant électronique est fabriqué par une chaîne de production. On relève le nombre de composant fabriqués chaque heure par la chaine de production à 5 horaires différents pris au hasard : (25;21;25;19;20)
question 1
A. La moyenne de la série est de 22.
B. La médiane de la série obtenue est de 20.
C. L'écart type est de 2rac6 /5.
D. L'écart type est de rac32 /rac5.
E. Aucune proposition ne convient.

La chaine de production génère 2 défauts appelés A et B. Au cours d'un contrôle réalisé sur 200 composants, on détecte 14 composants ayant le défaut A ; 22 ayant le défaut B. Parmi ces pièces en défaut 6 pièces ont les 2 défauts.
question 2 : Le pourcentage de pièces du lot en défaut est de :
A.7%
B.12%
C.18%
D.22%
E. Aucune proposition ne convient.

On considère les évènements suivants
A : le composant est touché par le défaut A
B : le composant est touché par le défaut B
question 3:
A. Les évènements A et B sont indépendants.
B. Les évènements A et B ne sont pas indépendants.
C. Il y a plus de chance pour un composant d'être touché par le défaut B s'il est déjà touché par le défaut A.
D. Il y a moins de chance pour un composant d'être touché par le défaut B s'il est déjà touché par le défaut A.
E. Aucune proposition ne convient.

La politique qualité de l'entreprise impose que la chaine de production ne génère pas plus de 10% de composants en défauts.
question 4 :
A. Le contrôle effectué montre que le taux de défaut est supérieur à 10%.
B. L'écart observé lors du contrôle est dans l'intervalle de fluctuation d'échantillonnage à 95%.
C. L'écart observé est hors de l'intervalle de fluctuation d'échantillonnage à 95%.
D. Il y a moins de 5% de chance que l'écart observé soit dû à une fluctuation d'échantillonnage.
E. Aucune proposition ne convient.

On suppose que la chaine de production génère 10% de composants en défauts.
question 5 : On recherche la proba de tirer 20 pièces en défauts sur un échantillon de 100 pièces.
A. Le calcul de la proba utilise une loi binomiale B(100;0.1).
B. Le calcul de la proba utilise une loi binomiale B(20;0.1).
C. La proba de tirer 20 pièces en défauts est supérieur à celle de tirer 15 pièces en défauts.
D. La proba de tirer 20 pièces en défauts est inférieur à celle de tirer 15 pièces en défauts.
E. Aucune proposition ne convient.

EXO 2 :
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O; i,j,k).
On considère les points A(1;1;4), B(2;-1;0) et C(2;2;1).
question 6 :
A. Les points A,B,C sont alignés.
B. Les points A,B,C sont coplanaires.
C. Le triangle ABC est rectangle en A.
D. Le triangle ABC est rectangle en C.
E. Aucune proposition ne convient.

question 7 :
L'aire du triangle ABC est égale à :
A. rac110/rac2
B. 110
C. 110/2
D. 100/rac2
E. Aucune proposition ne convient.

question 8 : (vec = vecteur)
A. //vec AB// = 21
B. cos (vecAB, vecAC) = 11/21
C. cos (vecAB, vecAC) = rac11/rac21
D. cos (vecAB, vecAC) = rac11/21
E. Aucune proposition ne convient.

question 9 :
A.Le vecteur u (9;-1;3) est normal au plan (ABC)
B.Le vecteur u (-10;1;-3) est normal au plan (ABC)
C. un système d'équations paramétriques de la droite (AB) est : 1-t ; 1-2t ; 4+4t
D. un système d'équations paramétriques de la droite (BC) est : 2 ; -1 + 3t ; t
E. Aucune proposition ne convient.

question 10 :
L'équation cartésienne du plan (ABC) est :
A. 10x + y + 3z = 21
B. 10x - y + 3z = 0
C. 10x - y + 3z = 21
D. -10x - y + 3z = 0
E. Aucune proposition ne convient.

question 11 :
On considère la droite (D1) d'équation paramétrique : t ; 1-3t ; 1+2t t appartient à R
A. (D1) est parallèle au plan (ABC).
B.(D1) est perpendiculaire au plan (ABC).
C. (D1) coupe le plan (ABC) au pt M(1;2;3)
D. (D1) coupe le plan (ABC) au pt M(0;3;8)
E. Aucune proposition ne convient.

EXO 3 :
L'équation (E) tel que z^3 - (1-i)z² + (1-i)z + i = 0
question 12 :
A. (E) possède plusieurs solutions imaginaires pures.
B. z1 = -i est solution de (E)
C. z2 =0.5i est solution de (E)
D. z3 = i est solution de (E)
E. Aucune proposition ne convient.

question 13 : on en déduit que
A. z2 = exp (ipi/3) est solution de (E)
B. z2 = exp (ipi/6) est solution de (E)
C. z2 = exp (ipi/4) est solution de (E)
D. z2 = exp (i5pi/6) est solution de (E)
E. Aucune proposition ne convient.

question 14 :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O; i,j)
Soit z1, z2, z3 les solutions de (E). On considère le pt M1 d'affixe z1, M2 d'affixe z2, M3 d'affixe z3.
z1 est un imaginaire pur et z2 a une partie imaginaire positive.
A. Le quadrilatère OM1M2M3 est un parallélogramme
B. Le triangle M1M2M3 est rectangle
C. Le triangle OM2M3 est rectangle en O
D. L'aire du triangle M1M2M3 est rac3/4.
E. Aucune proposition ne convient.

question 15 : L'aire du quadrilatère OM1M2M3 est égale à
A. rac3/8 + 1/4
B. rac3/4 + 1/2
C. (1+rac3) /4
D. (1+4rac3)/16
E. Aucune proposition ne convient.

EXO 4 :
Une population de bactérie se développe chaque jour de la manière suivante : chaque bactérie donne naissance à 2 bactéries : puis un laborantin introduit un bactéricide qui tue 100 bactéries.
Soit (Un) la suite qui à tout entier naturel associe la population de bactérie à la fin du jour n.

question 16 : L'expression de U(n+1) en fonction de Un est :
A. U(n+1) = 2Un - 100
B. U(n+1) = 3Un - 100
C.U(n+1) = 2(Un - 100)
D.U(n+1) = 3Un + 100
E. Aucune proposition ne convient.

question 17 :
A. Un est 1 suite arithmétique de raison 100.
B. Un est 1 suite géométrique de raison 3.
C. Un est 1 suite arithmétique de raison 2.
D. Un est 1 suite géométrique de raison -100.
E. Aucune proposition ne convient.

On considère Vn = Un + a (a appartient à R) et vérifiant V(n+1) = 3Vn
question 18:
A. a = 50
B. a = -100
C. a = -50
D. N'importe quelle valeur de a convient pour vérifier la condition.
E. Aucune proposition ne convient.

question 19 : L'expression générale de Un
A. Un = 2^n(Uo-50) + 100
B. Un = 3^nUn + 50
C. Un = 2^n(Uo-100) + 100
D.Un = 3^n(Uo-50) + 50
E. Aucune proposition ne convient.

question 20 : On en déduit que :
A. La population de bactérie reste constante si elle est au départ de 50
B. La population de bactérie reste constante si elle est au départ de 100
C. La population finira par s'éteindre si et seulement si elle est au départ strictement inférieur à 50.
D. La population continuera à croître si elle est au départ strictement supérieur à 33
E. Aucune proposition ne convient.

question 21 :
On pose Uo = 45. La durée au bout de laquelle la population de bactéries finit par s'éteindre est :
A. jamais
B. environ 2 jours
C. environ 60 jours
D. environ 200 jours
E. Aucune proposition ne convient.

Certaines questions ont 2 réponses.
Voici mes réponses:
1) A et D
2) C
3) A
4) A
5) B et D
6) D
7) E
8) C
9) B
10) B
11) ?
12)B
13) A
14) A
15) ?
16) B
17)
18) C
19) D
20) A
21) B

Merci de m'aider, c'est pour me faire une idée en attendant les résultats.

freddy · 07-08-2019 22:17:10

Salut,

tu as eu combien de temps pour faire ce sujet ?
Je suis d'accord avec 1 et 2, mais 3, je ne sais pas comment tu peux affirmer que A et B sont des événements indépendants. Pour le 4, c'est OK, je reviens demain pour la suite et laisse mes camarades te donner leur point de vue.

oboskobo · 08-08-2019 01:59:53

Salut freddy, merci pour ton aide, j'ai eu 3h de temps pour cette épreuve.
pour la question 3 : A et B sont indépendants car la réalisation de l'un ne dépend pas de l'autre.

freddy · 08-08-2019 14:20:57

Re,

non, l'indépendance se calcule, il faut vérifier, par définition, que $P(A \cap B)=P(A)\times P(B)$. En l'état, tu ne peux rien faire.
Donc selon moi, la bonne réponse est E.
Toutefois, je ne connais pas le cours que tu as suivi, donc je ne sais pas ce qu'on t'a appris.
Je reste sur l'exo 1 :

4 - OK
5 - A (pourquoi B ???) Pour D, as tu vérifié par le calcul ?

EXO 4 :

16 - A (pourquoi B ???) Chaque bactérie donne naissance à deux bactéries, chaque jour : donc si 1, on passe à 2, puis 4, puis 8, ... Bien entendu, la bactérie disparait après avoir donné naissance à une paire de bactérie. Il y a une imprécision dans le sujet : à quel moment tue-t'on 100 bactéries ? Ou alors, on a une quantité à l'origine $u_0$ quelconque et en date $t=0$, on en tue 100.

17 - E, c'est une suite arithmético-géométrique.

18 - E, car il faudrait que $U_{n+1}=2U_n-100 =3U_n + 2a$ ce qui est impossible.

19 - C
20 - B
21 - E, car à la fin du jour $0$, il n'y a déjà plus de bactérie puisque -110 + 100 = -10 !
(Rque : le sujet manque un peu de précision et de rigueur).

Il faut que je bosse un peu plus pour la géométrie, s'il y a des candidats ?!!!

Dernière modification par freddy (08-08-2019 15:13:14)

yoshi · 08-08-2019 19:46:39

-RE,

EXO 2
Q6
Déjà, A ,B et C coplanaires c'est une évidence (c'est du cours : 3 points définissent un plan) même dans la vie courante : j'ai toujours constaté que placer un frigo, un congélo de façon non bancale n'était pas évident, alors qu'un tabouret à 3 pieds était toujours stable.
Réponses B et D.
$AB^2=21$, $AC^2=11$ et $BC^2=10$
10 + 11 =21

Q7
$Aire = \dfrac {AC\times BC}{2}=\dfrac{11 \times 10}{2}=\dfrac{110}{2}=55$
Réponse C

Q8
Réponse C
Même si l'énoncé écrit $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ qui est une notation douteuse...
En toute rigueur $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un angle orienté, mais comme on a tendance a écrire
indifféremment $\cos \widehat{CAB}$ ou $\cos(\widehat{CAB})$, du coup si les parenthèses sont celles de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ alors il faut tenir compte du sens de rotation pour passer de $\overrightarrow{AB}$ à $\overrightarrow{AC}$
Heureusement, un schéma 3D à la main montre que ledit sens de rotation est le sens trigonométrique (+).
Donc :
$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\cos(\widehat{CAB})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{21}}$

Q9
Si $ax+by+cz+d=0$ est l'équation cartésienne d'un plan alors un vecteur normal à ce plan a pour coordonnées $(a\,;\,b\,;\,c)$
Donc, on est obligé de calculer l'équation du plan et question posée plus tard.
Calcul via le produit vectoriel (et on tombe sur des équations paramétriques de droite question posée plus tard.
Si on est négatif, on va dire quel énoncé mal foutu, si on est positif, on dit que le temps perdu ici sera rattrapé ensuite...

rideau pour ce soir...

A vous autres de jouer...

@+

freddy · 08-08-2019 21:55:04

Merci yoshi !

je reviens sur la question 3. La bonne réponse est B car $A$ et $B$ ne sont pas indépendants car 7%x11% est différent de 3 %.

freddy · 08-08-2019 22:26:52

Re,

pour la 12, $-i$ est solution, donc B

On en déduit que le polynôme s'écrit $(z+i)(z^2-z+1)$

Donc 13 = E, sauf erreur.

Dernière modification par freddy (08-08-2019 22:42:47)

oboskobo · 09-08-2019 01:49:08

Merci yoshi et freddy pour l'aide,

pour la Q7: Aire = (ACxBC) / 2 mais AC = rac11 et BC= rac10 donc aire = rac110/2 c donc E.

Q13 : le polynôme s'écrit (z+i) (z²-z+1)
donc on résoud z²-z+1 et on trouve z1 = 1/2 - i(rac3/2) et z2= 1/2 + i(rac3/2)
exp (ipi/3) est solution de (E) puisque exp (ipi/3) = cos (pi/3) + isin(pi/3)
= 1/2 + i(rac3/2)
réponse A.

Concernant l'exo 4 :
Q1 j'ai mis le B. U(n+1)=3Un -100
je pense que celui qui a fait le sujet ne connaît pas la division bactérienne, puiqu'il met 1 bactérie "donne naissance à 2 bactéries"
à mon avis c'est 3 bactéries (bactérie mère + 2 bactérie fille).
pour résoudre les autres question, on y arrive pas avec u(n+1) = 2Un -100 par contre avec U(n+1) = 3Un -100 oui.

freddy · 09-08-2019 11:25:30

Salut,

pour les bactéries, c'est bien possible. C'est la raison pour laquelle il est proposé deux versions, avec un coefficient multiplicateur égal à 2 ou 3. Si on prend ta proposition, à la question 18, on trouve a = 50, et à la question 19, la bonne réponse est D, ainsi de suite. Oui, ça marche mieux comme ça, mais faut être copain avec les bactéries pour connaître leurs vies et leurs mœurs :-)

oboskobo · 09-08-2019 20:17:36

salut freddy, mince moi je trouve a= -50 à la question 18.
U(n+1) = 3Un - 100 et Vn = Un + a
U(n+1) = 3Un -100
U(n+1) = 3(Vn-a) -100
V(n+1) - a = 3(Vn-a) -100
3Vn - a = 3Vn - 3a - 100
par identification - a = -3a - 100
donc a = 3a + 100
a = -50
mon niveau en maths est très moyen, tu me dire où je me trompe dans le calcul?

question 19 :
Vn = Un - 50
Vn est une suite géométrique donc Vn = 3^nVo
3^nVo = Un - 50
Un = 3^nVo + 50
Un = 3^n(Uo -50) + 50
réponse D

et pour la Q20 et Q21?
c'est bien A et B?

yoshi · 09-08-2019 20:22:32

Salut,

Rageant...
J'ai laissé en plan ma réponse pour traiter autre chose (bon, ça a pris du temps, et je ne tape pas vite en plus), je reviens et paf : le document a expiré (le pôvre ^_^)
Je vais essayer de reprendre ... en moins détaillé

Q9
Idée bien plus simple...
Il m'est revenu en mémoire mes cours de géométrie dans l'espace (des vrais, hein, pas l'ersatz servi aujourd'hui) d'il y a au moins 50 berges...) et ce théorème :
Si une droite est perpendiculaire à un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Et je remplace droite par vecteur.
Je note [tex]\overrightarrow{V_1}(9\,;\,-1\,;\,3)[/tex] et [tex]\overrightarrow{V_2}(-10\,;\,1\,;\,-3)[/tex]
Je vais donc tester l'orthogonalité de chacun de ces 2 vecteurs avec les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}(1\,;\,-2\,;\,-4)[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}(1\,;\,1\,;\,-3)[/tex] via leurs produits scalaire...
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{V_1}=9+2-12=-1\neq 0[/tex] non.
Inutile de continuer le test avec $\overrightarrow{AC}$

[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{V_2}=-10-2+12=0[/tex] oui
Nouveau test :
[tex]\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{V_2}=-10+1+9=0[/tex] oui
Réponse B correcte.

C. un système d'équations paramétriques de la droite (AB) est-il : 1-t ; 1-2t ; 4+4t ?
Je vais voir s'il existe une valeur de t pour laquelle on obtient des coordonnées qui soient celles de A, puis B...
Ce serait le + rapide et le + simple
t=0 donne (1 ; 1 ; 4) coordonnées de A.
t=-1 donne (2 ; 3 ; 0) ça ne colle pas, B n'est pas sur la droite d'équation paramétrique 1-t ; 1-2t ; 4+4t. Cette droite n'est pas (AB).

D. un système d'équations paramétriques de la droite (BC) est-il : 2 ; -1 + 3t ; t .
Si t = 0 , on obtient (2 ; -1 ; 0) coordonnées de B.
Si t = 1, on obtient (2 ; 2 ; 1) coordonnées de C.
Réponse D correcte.

Q10.
On va travailler basiquement et vérifier si les coordonnées de A, B et C vérifient les équations proposées.
L'équation cartésienne du plan (ABC) est-elle :
A. 10x + y + 3z = 21 ?
A(1 ; 1 ; 4) --> [tex]10+1+12 =23 \neq 21[/tex] Non...
Inutile de continuer

B. 10x - y + 3z = 0 ?
A(1 ; 1 ; 4) --> [tex]10-1+12 =21 \neq 0[/tex] Non...
Inutile de continuer

C. 10x - y + 3z = 21
A(1 ; 1 ; 4) --> [tex]10-1+12 = 21 [/tex] oui...
B(2 ; -1 ; 0) --> [tex]20+1+0 = 21[/tex] oui...
C(2 ; 2 ; 1) --> [tex]20-2+3 = 21[/tex] oui
Réponse correcte

N-B
Un vecteur normal au plan (ABC) étant [tex]\overrightarrow{V_2}(-10\,;\,1\,;\,-3)[/tex], l'équation cartésienne du plan est de la forme :

$-10x+y-3z+d=0$ ou encore $10x-y+3z-d=0$ ou enfin $10x-y+3z=d$
Calculons d en écrivant que B en écrivant que les coordonnées de B (le moins de calculs, j'assume ma fainéantise !) vérifient l'équation du plan :
20 +1+0=d
L'équation est bien $10x-y+3z=21$

D. -10x - y + 3z = 0 ?
Non, inutile de chercher.

Q11
On considère la droite (D1) d'équation paramétrique : t ; 1-3t ; 1+2t avec t appartient à R
J'ai cherché à économiser le boulot...
Les propositions :
B.(D1) est perpendiculaire au plan (ABC).
C. (D1) coupe le plan (ABC) au pt M(1;2;3)
D. (D1) coupe le plan (ABC) au pt M(0;3;8)
ont une problématique commune : (D1) doit couper le plan...
Je cherche donc s'il existe une valeur de t solution du système :
[tex]\begin{cases}10x-y+3z-21&=0\\x&=t\\y&=1-3t\\z&=1+2t\end{cases}[/tex]
que je résous par substitution :
$10t-1+3t+3+6t-21=0$
$\Leftrightarrow$
$19t-19=0$
Soit $t=1$
(D1) coupe bien le plan ce qui élimine la réponse A.
Intersection : M(1 ; -2 ; 3)
donc réponses C et D éliminées.
Mais, quant à la B, (D1) peut très bien couper le plan sans lui être perpendiculaire...
A tester...
je vais choisir une autre valeur de t qui me donnera un autre point N de (D1), je calculerai les coordonnées de $\overrightarrow{MN}$
et vérifierai si $\overrightarrow{V_2}(-10\,;\,1\,;\,-3)$ (qui lui est un vecteur normal au plan) et $\overrightarrow{MN}$ sont colinéaires ou pas.
Je veux voir si je peux trouver [tex]k \in \mathbb{R}[/tex] tel que $\overrightarrow{V_2}=k\overrightarrow{MN}$.
Mais fainéant, je vais encore essayer de m'économiser.
Je choisis t=-9 ainsi, je verrai tout de suite si k=1 est bon....
N(-9 ; 28 ; -17) et $\overrightarrow{MN}(-10\,;\,30\,\;-20)$
Non.
$\overrightarrow{V_2}$ n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{MN}$
La droite (D1) n'est pas perpendiculaire au plan (ABC)...

@+

freddy · 09-08-2019 22:50:10

Re,

Oui, oui, $a=-50$, je suis allé trop vite, je l'ai fait de tête, pardon !
et donc, c'est bien A et B pour la 20 et la 21 !

Dernière modification par freddy (09-08-2019 22:52:47)

oboskobo · 10-08-2019 01:44:21

Merci les gars pour votre aide,

pour la question 5
comment calculer la proba de tirer 20 pièces en défauts et celle de tirer 15 pièces en défauts.
moi j'ai répondu D. par logique mais bon par le calcul se serait mieux.

Dernière modification par oboskobo (10-08-2019 01:50:24)

freddy · 10-08-2019 11:16:14

Salut,

c'est une loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,1$.
Et la proba d'avoir $0 \leq k \leq 100$ défauts est égale, par définition, à $\binom{100}{k}(0,1)^k(0,9)^{100-k}$
On you !

PS : répondre sans faire de calcul suppose de connaître quelques propriétés de cette loi, en particulier sa distribution de probabilité autour de son espérance mathématique qui, ici, est égale à $100\times 0,1 \times 0,9 = 9$

freddy · 10-08-2019 13:12:51

Re,

pour la 13, je suis d'accord, j'ai eu la flemme de chercher à convertir en exponentielle complexe les deux autres solutions données en puissance fractionnaire de $i^2$, genre $(-1)^{\frac{1}{3}}$ et $-(-1)^{\frac{2}{3}}$

Après, j'aurais dû aussi modifier le polynôme d'origine en $(z+i)((z-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})$ ce qui donne immédiatement les deux autres racines que tu as trouvées. Tu vois, la paresse est très mauvaise conseillère :-) ! (je suis un peu fatigué et donc distrait).

PS : je vais regarder ce qu'a fait yoshi, je manque un peu d'énergie pour le faire tout seul.

Dernière modification par freddy (10-08-2019 13:16:14)

yoshi · 10-08-2019 16:25:49

Salut freddy,

PS : je vais regarder ce qu'a fait yoshi, je manque un peu d'énergie pour le faire tout seul.

Et dis-moi si t'es d'accord et si tu vois plus simple, plus court (j'me connais trop !)...

@+

freddy · 10-08-2019 22:12:18

yoshi a écrit :

Salut freddy,
PS : je vais regarder ce qu'a fait yoshi, je manque un peu d'énergie pour le faire tout seul.
Et dis-moi si t'es d'accord et si tu vois plus simple, plus court (j'me connais trop !)...
@+

@yoshi,
je t'ai lu d'un jet, c'est limpide, simple et efficace, ne change rien :-)

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#1 07-08-2019 20:36:47

Epreuve de maths

#2 07-08-2019 22:17:10

Re : Epreuve de maths

#3 08-08-2019 01:59:53

Re : Epreuve de maths

#4 08-08-2019 14:20:57

Re : Epreuve de maths

#5 08-08-2019 19:46:39

Re : Epreuve de maths

#6 08-08-2019 21:55:04

Re : Epreuve de maths

#7 08-08-2019 22:26:52

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#8 09-08-2019 01:49:08

Re : Epreuve de maths

#9 09-08-2019 11:25:30

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#10 09-08-2019 20:17:36

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#11 09-08-2019 20:22:32

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#12 09-08-2019 22:50:10

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#17 10-08-2019 22:12:18

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