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Fissa

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Liberté d'une famille de vecteurs propres

Bonjour,

Je cherche à comprendre la démonstration du théorème suivant :

"Puisque les vecteurs (x_1,...,x_n) sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes de u" :
Je ne comprends pas en quoi x_1 par exemple est un vecteur propre associé à alpha_1(lambda_1 - lambda_n+1) ? Est-ce bien ce que l'on doit comprendre ?
En effet, je sais juste que x_1 est un vecteur propre associé à lambda_1, mais je ne comprends pas cette étape.

Merci d'avance pour vos réponses !

Maenwe

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Re : Liberté d'une famille de vecteurs propres

Bonsoir,

Cette veut dire que les $\lambda$ sont 2 à 2 distincts donc les [tex]\lambda_{i}-\lambda_{n+1}[/tex] sont non nuls et par hypothèse de récurrence on sait que les x_1,...,x_n sont libres donc [tex](\lambda_{i}-\lambda_{n+1})\alpha_{i}=0[/tex] donc [tex]\alpha_{i}=0[/tex] car les [tex]\lambda_{i}-\lambda_{n+1}[/tex] sont non nuls.
Ils ont juste sauté une étape ;)

Dernière modification par yoshi (28-07-2019 12:28:18)

Fissa

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Re : Liberté d'une famille de vecteurs propres

Ah oui, l'hypothèse de récurrence est valable au rang n, donc les coefficients devant les x_i sont forcément nuls, et l'utilité de l'emploi des valeurs propres ne vient que juste après, n'est-ce pas ?

Maenwe

Invité

Re : Liberté d'une famille de vecteurs propres

Bonjour,

Oui c'est exactement ça

Fissa

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Re : Liberté d'une famille de vecteurs propres

C'est beaucoup plus clair maintenant, merci pour votre réponse :)