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#1 10-07-2019 09:42:17

Orange75
Invité

Multiplication d’un rationnel par un entier

Bonjour,

Dans le cadre de la construction de la multiplication dans l’ensemble des rationnels, je me posais une question : y a-t-il une preuve/démonstration non-géométrique  du fait que, pour tous entiers naturels a,b,c avec b non-nul, [tex]c \frac{a}{b} = \frac{ca}{b}[/tex]. Je précise que je ne peux pas utiliser l’associativité de x ni même la définition de la multiplication dans Q puisque celle-ci n’est pas encore définie. J’ai pas mal cherché sur internet, sans jamais trouver de réponse explicite.

Je vous remercie d’avance pour votre aide !

Bonne journée.

Orange75

#2 10-07-2019 10:56:24

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 45

Re : Multiplication d’un rationnel par un entier

Bonjour,

Je propose mon idée mais je ne sais pas si c'est ce que tu cherches :
[tex]c\frac{a}{b}=\frac{c}{1}\times\frac{a}{b}=\frac{c\times a}{1\times b}=\frac{ca}{b}[/tex]

C'est comme ça que j'ai appris cette propriété.

Hors ligne

#3 10-07-2019 20:01:34

Orange75
Invité

Re : Multiplication d’un rationnel par un entier

Bonsoir,

En fait, je souhaite prouver explicitement que multiplier le quotient a/b de deux entiers (naturels) (ici a et b, b≠0) par un troisième entier (naturel) (c) revient à multiplier le numérateur a par c puis à diviser le tout (ac) par b. On voit très bien cette égalité géométriquement en imaginant un rectangle de dimension 1xa que l'on divise en b parties puis qu'on multiplie le tout par c que l'on compare (et qui se superpose) à un rectangle de dimension cxa que l'on divise en b parties. Mais je voulais savoir si ce résultat géométrique s'expliquait "algébriquement" sans passer par la définition de la multiplication dans Q, qui découle en partie de ce même résultat, mais en passant par la simple définition de la division d'entiers.

#4 10-07-2019 20:50:27

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 738

Re : Multiplication d’un rationnel par un entier

Bonsoir,

La question ne me semble pas claire, en tout cas pour moi. J'ai deux "réponses".

La première réponse que j'aurais à donner c'est effectivement la définition de la multiplication sur l'ensemble des rationnels :
$(a,b)*(c,d) =(ac,bd)$ où $(a,b)$ désigne un rationnel (plus exactement sa classe d'équivalence...)
Après, il suffit de dire que l'entier $c$ est associé au rationnel $(c,1)$.

La seconde : peut être veux-tu seulement utiliser la définition d'addition sur les rationnels :
$(a,b) + (c,d) =(ad+bc,bd)$ et donc montrer par récurrence $n*(a,b) = (a,b)+ \cdots + (a,b) = (nab^{n-1},b^n)=(na,b)$.

Roro.

Dernière modification par Roro (10-07-2019 20:51:33)

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