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#1 10-06-2019 12:51:12
- Chris
- Membre
- Inscription : 16-01-2019
- Messages : 27
Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables
Bonjour,
je feuillette en ce moment un cours sur l'intégration, pour lequel mes connaissances sont peut-être les bases juste suffisantes.
Jusqu'au point où ça coince, on a montré que \(\left(\mathcal{I}_a^b, +, \cdot\right)\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, avec
\[\mathcal{I}_a^b:= \left\{ f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} \ \Big| \ f \text{ est Riemann-Intégrable sur [a,b]} \right\}\]
A aussi été montré que pour \(f,g \in \mathcal{I}_a^b\) on a \(fg \in \mathcal{I}_a^b\). Le document stipule que \(\mathcal{I}_a^b\) a dès lors une structure de \(\mathbb{R}\)-algèbre; or il s'agit d'un objet que je n'ai pas encore manipulé. En me référant à la wikipédia (oui, désolé):
Une algèbre sur un corps commutatif \(\mathbb{K}\), ou simplement une \(\mathbb{K}\)-algèbre, est une structure algébrique \((A, +, \cdot, \times)\) telle que :
\((A, +, \cdot)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{K}\) ;
la loi \(\times\) est définie de \(A \times A\) dans \(A\) est donc une loi de composition interne ;
la loi \(\times\) est bilinéaire.
Donc 1 et 2 sont ok. Pour 3 - c'est ici que ça ne passe pas - on voudrait:
\[
\forall (x,x')\in E^{2},\quad\forall (y,y')\in F^{2},\quad\forall \lambda \in \mathbb{K},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\varphi (x+x',y)
&=\varphi (x,y)+\varphi (x',y)\\
\varphi (x,y+y')
&=\varphi (x,y)+\varphi (x,y')\\
\varphi (\lambda x,y)
&=\varphi (x,\lambda y)\\
&=\lambda \varphi (x,y).
\end{aligned}
\right.
\]
que je traduis par
\[
\forall (f,g,h)\in {\mathcal{I}_a^b}^{3},\quad\forall \lambda \in \mathbb{R},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
I_a^b (f+g,h)&=I_a^b (f,h)+I_a^b (g,h)\\
I_a^b (f,g+h)&=I_a^b (f,g)+I_a^b (f,h)\\
I_a^b (\lambda f g)&=I_a^b (f,\lambda g)\\
&=\lambda I_a^b (f,g).
\end{aligned}
\right.
\]
or je ne comprends pas ce que \(I_a^b (f,g)\) signifierait, à supposer que ma "traduction" soit correcte, ce dont je doute. Quelqu'un pourrait-il me donner un coup de pouce svp?
merci d'avance,
Dernière modification par Chris (10-06-2019 16:37:59)
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#2 10-06-2019 17:21:39
- D_john
- Invité
Re : Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables
Salut,
A tout hasard, juste un petit lien pour entrevoir la généralisation du produit scalaire à la dimension infinie... (vaste domaine !).
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … /p/ps.html
#3 10-06-2019 20:35:18
- Chris
- Membre
- Inscription : 16-01-2019
- Messages : 27
Re : Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables
hey,
je vais jeter un oeil sur tout ça,
merci pour ta réponse.
Edit:
Okay, dois-je comprendre que je devrais écrire \(\times (f+g,h)\) plutôt que \(I_a^b (f+g,h)\) et:
\[
\begin{array}{rl}
\times \colon\qquad\left(\mathcal{I}_a^b\right)^2&\longrightarrow{\mathbb{R}}\\
(f+g,h)&\longmapsto \displaystyle\int_a^b (f+g)h
\end{array}
\]
?
Ce qui satisferait en tous les cas \(\times(f+g,h)=\times(f,h)+\times(g,h)\)...
(oui, bon, ben à la réflexion, ça me semble évident , mais une confirmation serait bienvenue)
Dernière modification par Chris (10-06-2019 21:18:31)
Hors ligne
#4 10-06-2019 23:59:14
- D_john
- Invité
Re : Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables
...que je traduis par
\[
\forall (f,g,h)\in {\mathcal{I}_a^b}^{3},\quad\forall \lambda \in \mathbb{R},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
I_a^b (f+g,h)&=I_a^b (f,h)+I_a^b (g,h)\\
I_a^b (f,g+h)&=I_a^b (f,g)+I_a^b (f,h)\\
I_a^b (\lambda f g)&=I_a^b (f,\lambda g)\\
&=\lambda I_a^b (f,g).
\end{aligned}
\right.
\]or je ne comprends pas ce que \(I_a^b (f,g)\) signifierait, à supposer que ma "traduction" soit correcte, ce dont je doute.
A une virgule près, ta traduction est correcte, à partir du moment où la notation est définie.
On note souvent (toujours ?)
[tex] <f, g> = \int_{}^{} f.g [/tex]
#5 11-06-2019 08:19:04
- Chris
- Membre
- Inscription : 16-01-2019
- Messages : 27
Re : Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables
Noté. Merci!
(oui je vois en effet: \(\times (\lambda f, g)\)...)
Dernière modification par Chris (11-06-2019 08:23:12)
Hors ligne
#6 12-06-2019 19:05:49
- D_john
- Invité
Re : Formes bilinéaires et ensemble des fonctions Riemann-intégrables
Noté. Merci!
(oui je vois en effet: \(\times (\lambda f, g)\)...)
En général la notation d'une loi de composition interne c'est simplement un signe entre 2 éléments => [tex] \lambda f \times g [/tex]
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