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lekoue

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Propriétés spectrales de l'opérateur de Sturm–Liouville.

Bonjour et bonne journée à vous qui me lirez.

Considérons l'opérateur de Sturm–Liouville [tex]Au = -(pu)'+qu[/tex] avec conditions aux bords de Dirichlet sur un intervalle borné [tex]I[/tex] de [tex]\mathbb{R}[/tex], où $p\in C^{1}(\overline{I}), q\in C(\overline{I}), p\ge\alpha>0, q\ge 0$.

Il est bien connu que $A$ se décompose spectralement de la façon suivante sur $L^{2}(I)$:

$\exists (\lambda_n)_{n\ge 1}\subset (0,\infty)$, $(\lambda_n)_{n\ge 1}$ croissante, $\lambda_n\rightarrow\infty$ quand $n\rightarrow\infty$;
$\exists (\varphi_n)_{n\ge 1}$ base hilbertienne de $L^{2}(I)$ tels que

$$A\varphi_n = \lambda_n\varphi_n\hspace{0.5cm}\forall n\ge 1.$$

De même chaque valeur propre $\lambda_n$ est de multiplicité $1$, autrement dit, chaque valeur propre $\lambda_n$ est simple.

[tex]\textbf{Question:}[/tex] Svp comment voir que:

Comme les $(\lambda_n)_{n\ge 1}$ sont croissantes, Alors les fonctions propres $\varphi_n(x)$ correspondantes possèdent [tex]\textbf{exactement}[/tex] $n-1$ zeros sur $I$?

Personnellement, j'ai étudié certaines propriétés spectrales de cet opérateur avec $p\equiv 1,\;q(x) = |x|^{2\gamma}, \;\gamma>0$ et $I = (-1,1)$.

Je n'arrive pas toujours à percevoir le problème que je pose ci-dessus pourtant bien utilisé dans beaucoup de livres de théorie spectrale mais sans justification.

[tex]\textbf{NB:}[/tex] Une bibliographie m'aiderait également.

[tex]\textbf{Merci!}[/tex]