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yannD

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Re : Montrer O est le milieu de EF avec théorème de la droite des milieux

Bonjour Yoshi, pour le 1er exercice

- > Montrer que LMNP est un parallélogramme
        comme je n'ai aucune information sur les  côtés  [LM], [MN], [NP] et [LP] ,
            • je ne peux pas utiliser la règle : Si un quadrilatère a ses 4  côtés  parallèles 2 à 2 alors c'est un parallélogramme.
            • je ne peux utiliser la règle : Si un quadrilatère a 2 côtés  parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.

           Par contre j'ai des infos sur les milieux de ces côtés donc je peux utiliser l'un des 2 théorèmes de la droite des milieux

Par hypothèse, L est le milieu du côté [AB]
et M est le milieu du côté  [BC]
Dans le triangle ABC, la droite (LM) qui passe par L milieu du côté [AB] et par M milieu du côté [BC] est parallèle au 3e côté  [AC]

Par hypothèse, N est le milieu du côté [CD] et P est le milieu du côté  [AD]
Dans le triangle DAC, la droite (NP) qui passe par N milieu du côté [CD] et par P milieu du côté [AD] est parallèle au 3e  côté [AC]

            D'après le théorème : deux droites parallèle à une autre droite sont parallèles à cette même 3e droite
on peut écrire : (NP) // (AC) et (LM) // (AC) alors (LM) // (NP)

      Dans le triangle ABD, la droite (LP) qui passe par L milieu du côté [AB] et par P le milieu du côté [AD] est parallèle au 3e côté [DB]
               et on montre de même que dans le triangle DBC, la droite (MN) qui passe par les milieux des côtés [BC] et [DC] est parallèle au 3e côté de ce triangle.

  (LP) // (DB) et (MN) // (DB) ainsi d'après le théorème cité plus haut (LP) // (MN)

j'ai montré que (LM) // (NP)  donc LMNP a ses 4 côtés // 2 à 2, c'est un parallélogramme,

Dernière modification par yannD (09-04-2019 15:20:23)

yoshi

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Re : Montrer O est le milieu de EF avec théorème de la droite des milieux

Re,

C'est bien.

comme je n'ai aucune information sur les  côtés  [LM], [MN], [NP] et [LP] ,
            • je ne peux pas utiliser la règle : Si un quadrilatère a ses 4  côtés  parallèles 2 à 2 alors c'est un parallélogramme.
            • je ne peux utiliser la règle : Si un quadrilatère a 2 côtés  parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme.

Mais si ! Et tu l'as montré...
La règle que tu ne peux pas employer est celle où il est dit que les diagonales doivent avoir le même milieu...

et on montre de même que dans le triangle DBC, la droite (MN) qui passe par les milieux des côtés [BC] et [DC] est parallèle au 3e côté de ce triangle.

Oui, mais (2e méthode)  il ne faut pas oublier que le segment qui joint les milieux de 2 côtés a une longueur moitié de celle du 3e côté...
Donc NP = AC/2  et LM=AC/2 donc LM = NP.
Et donc les côtés [NP] et [LM] soint non seulement parallèles mais aussi de même longueur donc LMNP parallélogramme...

@+

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yannD

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Re : Montrer O est le milieu de EF avec théorème de la droite des milieux

Bonsoir Yoshi,

  • Par hypothèse, L est le milieu du côté [AB] et M est le milieu du côté [BC].
      Donc, dans le triangle ABC, la droite (LM) qui passe par L milieu du côté [AB] et par M le milieu du côté [BC] est parallèle au 3e  côté de ce triangle et (LM) // (AC)
          de plus (LM) = 1/2 (AC).

• Par hypothèse, P est le milieu du côté [AD] et N est le milieu du côté [AC]
    donc : dans le triangle ABC, la droite (NP) qui passe par les milieux des côtés  [AD] et [CD] de ce triangle est parallèle au 3e  côté 
         de plus le côté  [NP] a une longueur moitié celle de [AC]

• Comme (LM) // (AC) et (NP) // (AC) alors (LM) // (NP)
    de plus , [LM] = 1/2 [AC] et [NP] = 1/2 [AC] , donc on peut écrire que LM = NP.

• Puisque les  côtés  [LM] et [NP] du quadrilatère LMNP sont parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme

-- > la règle à utiliser ici : Si un quadrilatère a 2  côtés  // et de même longueur alors c'est un parallélogramme.
et c'est bien plus court.…

Dernière modification par yannD (09-04-2019 20:49:42)

yoshi

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Re : Montrer O est le milieu de EF avec théorème de la droite des milieux

Re,

Tu attends peut-être que je te dise : oui, c'est ça ?
Bon, dans ce cas : oui, c'est ça !

@+

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yannD

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Re : Montrer O est le milieu de EF avec théorème de la droite des milieux

Bonjour Yoshi,
Je suis en train de travailler les exercices que tu m'as donné
Merci de m'avoir aidé pour mon DM, je l'ai rendu en répondant à toutes les questions, je vais avoir une super note !