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#1 06-04-2019 23:39:16

eddy71
Invité

Polynôme minimale d'une matrice 3x3 ( application linéaire )

T une application linéaire : [tex]P_{2}\rightarrow P_{2}[/tex]


[tex]T(i+jx+kx^{2})=(j+2k) + (2i+3j)x+(4j+5k)x^{2}[/tex]

Je dois trouver le polynome caracteristique et minimale de cette application linéaire , pour ce qui concerne le polynome caracteristique : je trouve :  ( est ce correct ? )

[tex]-(X-6)(X-1)^{2}[/tex] 


je sais que le polynome minimale divise le polynome caracteristique mais je ne sais pas comment m'y prendre , merci pour votre aide , bonne soirée

#2 07-04-2019 03:24:59

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 36

Re : Polynôme minimale d'une matrice 3x3 ( application linéaire )

Bonjour  (ne pas oublier, svp !)
Le polynôme caractéristique est faux, pour l'application T de l'énoncé .
Par contre, il devient juste si l'on prend comme application linéaire :
  $T(i+jx+kx^2):=(j-2k)+(2i+3j)x+(4j+5k)x^2$,  oubien:
  $T(i+jx+kx^2):=(j+2k)+(2i+3j)x+(-4j+5k)x^2$ .
(Sans doute une faute de frappe...)
Le polynôme minimal doit être unitaire, doit avoir 6 et 1 pour racines,
et doit diviser $(x-6)(x-1)^2$ .  Or, après calcul, on constate que :
$(T-6Id)(T-Id)\neq(0)$ ;  on peut alors conclure .
À bientôt .

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#3 07-04-2019 19:08:34

eddy71
Invité

Re : Polynôme minimale d'une matrice 3x3 ( application linéaire )

Bonjour , excusez moi le latex a eu raison de ma politesse .

Merci pour votre reponse mais c'est justement ce petit '' Or, après calcul, on constate que : '' Je ne vois pas quel sont les calculs a faire :/ a chaque fois que je trouve un polynome caracteristique je ne sais pas trouver son mimimal . Merci pour votre aide

#4 07-04-2019 19:21:43

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Polynôme minimale d'une matrice 3x3 ( application linéaire )

Hello

L’idée que te propose Deugard c’est de tester les diviseurs du polynôme caractéristique pour savoir s’ils sont annulateurs. En effet le polynôme caractéristique divise le polynôme annulateur. Le calcul qu’il te propose de faire, tu peux juste faire un produit de matrice si tu veux.

F.

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