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oussama hajji

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théorème

bonjour tout le monde si on prend un triangle quelconque tel que a ; b ; c sont ses angles
je veux savoir quand sa surface est égale à son périmètre.

Wiwaxia

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Re : théorème

Bonjour,

...  si on prend un triangle quelconque tel que a ; b ; c sont ses angles
je veux savoir quand sa surface est égale à son périmètre.

Qu'il puisse intervenir une égalité entre une aire et une longueur, c'est pour moi une question qui n'a aucun sens, parce qu'il s'agit de grandeurs d'espèces différentes.
À moins qu'on ne s'intéresse qu'aux mesures des grandeurs considérées, rapportées à des unités de longueur (u_L) et d'aire (u_A = u_L²) cohérentes et arbitrairement choisies: le problème est alors très artificiel, et admet une infinité de solutions.

Soit une figure plane quelconque (triangle, polygone, ...) de périmètre P = µ_P.u_L et d'aire A = µ_A.u_A .
Une seconde figure déduite de la précédente par une homothétie de rapport (λ) présentera un périmètre P' = λ.P , et une aire A' = λ².A;
les mesures de ces deux grandeurs vérifieront par conséquent: µ_P' = λ.µ_P et µ_A' = λ².µ_A ,
et si l'on veut de plus qu'elles soient égales: µ_P' = µ_A'
on obtiendra λ.µ_P = λ².µ_A d'où: λ = µ_P/µ_A .
Il y a donc une solution quelles que soient la figure et l'unité de longueur choisies.

Cela me rappelle un règlement des années 60, concernant les maisons individuelles: la surface totale des fenêtres devait être au moins égale au 1/8 du volume de la pièce ... ce qui impliquait, au-delà d'un certain seuil, des pièces dépourvues de murs !
Cas d'un prisme droit à base carrée, de hauteur (h): il a pour volume V = a²h, et pour surface latérale S = 4ah ;
la condition S > V/8 entraîne 4ah > a²h/8 , donc a < 4*8 = 32 m (si le mètre est l'unité de longueur ...).

algèbre 2001

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Re : théorème

Salut Wiwaxia vous avez dit que λ = µP/µA
donc je pense qu'on peut avoir λ à l'aide des formules trigonométriques.

Wiwaxia

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Re : théorème

Salut Wiwaxia vous avez dit que λ = µP/µA
donc je pense qu'on peut avoir λ à l'aide des formules trigonométriques.

Bonjour,

Non, car il ne s'agit pas de rechercher une éventuelle relation entre l'aire et le périmètre d'une figure (ici un triangle).

Le paramètre sans dimension (λ) est le rapport de deux mesures observées pour une figure initiale donnée, et liées à deux unités arbitrairement choisies:

λ = µP/µA = (P/u_L)/(A/u_A) = (P/A)(u_A/u_L) = P.u_L/A si u_A = u_L² .

Ce qui est en cause, c'est l'absurdité de l'énoncé initial, qui suppose l'égalité entre une aire et une longueur; quelle que soit la figure considérée, la relation A = P n'a aucun sens, à moins qu'on prenne le détour biaisé µ_A = µ_P évoqué auparavant.

Par contre, la recherche d'une autre égalité telle que A = P²/10 est tout à fait envisageable, parce que la relation est désormais homogène, et conduit à un résultat indépendant du système d'unités.

Autre contre-exemple: la formule de Héron S² = p(p-a)(p-b)(p-c)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron
qui relie l'aire (S) du triangle à son demi-périmètre (p = P/2) est bien homogène, puisque le carré de l'aire est proportionnel à la quatrième puissance d'une longueur.

Il va de soi qu'il intervient un système d'unités cohérent, qui vérifie dans le cas des aires et des volumes:

u_A = u_L² et u_V = u_L³ .

Dernière modification par Wiwaxia (19-03-2019 01:11:12)

algèbre 2001

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Re : théorème

Salut
Vous avez dit Wiwaxia qu'Il va de soi qu'il intervient un système d'unités cohérent, qui vérifie dans le cas des aires et des volumes.
j'ai trouvé que lorsqu'on utilise les formules trigonométriques on va avoir S=PRτ (τ=(sin a  sin b  sin c)/(sin a + sin b + sin c ) et R le rayon du cercle circonscrit au triangle).
S en m^2 ; P en m ;Rτ en m. m^2=m*m. Lorsqu'on remplace Rτ par 1 on va obtenir S=P.

Wiwaxia

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Re : théorème

Bonjour,

... j'ai trouvé que lorsqu'on utilise les formules trigonométriques on va avoir S=PRτ (τ=(sin a  sin b  sin c)/(sin a + sin b + sin c ) et R le rayon du cercle circonscrit au triangle).
S en m^2 ; P en m ;Rτ en m. m^2=m*m. Lorsqu'on remplace Rτ par 1 on va obtenir S=P.

Le terme (T), qui ne fait intervenir que des fonctions trigonométriques, est dans dimension et il n'y a aucune raison d'écrire son symbole en indice; la notation (R_T), qui tendrait à faire prendre le produit (R×T) pour une grandeur unique est fautive.
Prétendre "remplacer RT par 1" n'a aucun sens parce qu'il s'agit d'une longueur: on peut seulement, si l'on recherche des cas particuliers, envisager de remplacer RT par (P/5) , (S^1/2/6) ou (a + 2b)/7 , par exemple.
La relation proposée S = PRT (non vérifiée, mais peu importe) est homogène puisque figurent de part et d'autre du signe d'égalité deux grandeurs de même espèce: U_S = U_L² , U_PRT = U_L×U_L×1 = U_L² d'où U_S = U_PRT .

... "Il va de soi qu'il intervient un système d'unités cohérent" ...

Il n'y a aucune relation concernant le triangle (ou toute autre figure) qui ne soit pas homogène; le défaut d'homogénéité constitue même un critère de détection des erreurs dans les formules.

http://debart.pagesperso-orange.fr/geop … rique.html
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_ci … n_triangle

Dernière modification par Wiwaxia (21-03-2019 12:04:56)