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#1 14-03-2019 20:20:20

Zebulor
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Equation_Pendule de Foucault

Bonsoir,

voici le système d'équations d'un pendule qu'il s'agit de résoudre :

[tex]\ddot x[/tex]-2[tex]\omega[/tex][tex]sin(\lambda)[/tex][tex]\dot y[/tex]+[tex]\omega_0^2x=0[/tex]

[tex]\ddot y[/tex]+2[tex]\omega[/tex][tex]sin(\lambda)[/tex][tex]\dot x[/tex]+[tex]\omega_0^2y=0[/tex]

avec les conditions initiales : [tex]x(t=0)=x_m[/tex] ,  [tex]y(t=0)=0[/tex] et [tex]\dot y(t=0)=\dot x(t=0)=0[/tex]

Mon problème est de résoudre ce système et de montrer que la trajectoire est une ellipse de grand axe [tex]2x_m[/tex] et de petit axe [tex]\frac {2x_m\omega sin(\lambda)}{\omega_0}[/tex]

J'ai posé  [tex]u=x+iy[/tex] et je trouve :

[tex]x=x_m*cos(\omega_0t)cos(\omega sin(\lambda)t)[/tex]

et [tex]y=-x_m*cos(\omega_0t)sin(\omega sin(\lambda)t)[/tex]

Je ne sais pas comment continuer … A titre purement informatif [tex]\omega_0[/tex] est la pulsation du pendule simple et  [tex]\omega[/tex] la norme du vecteur rotation de la Terre

ps : mes excuses pour l'envoi par erreur du précédent message, que je ne parviens pas à supprimer
------------------------------------------------------------------------------------------------------
[EDIT @yoshi] : c'est fait...

Dernière modification par yoshi (15-03-2019 06:41:57)

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#2 15-03-2019 07:10:17

Wiwaxia
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Bonjour,

Dans le repère du laboratoire, le barycentre du pendule décrit un mouvement oscillatoire de pulsation (ω0) sur une droite passant par l'origine, et tournant uniformément dans le plan horizontal à la vitesse angulaire (-ω.sinλ) - dans le sens rétrograde; ce qui peut se traduire par les relations:
OM = xm.cos(ω0t).u ,
(ux, u) = - ω.sinλ.t .

La trajectoire obtenue est une rosace aux boucles très resserrées, circonscrite par le cercle de rayon (xm) et centré sur l'origine.
Une ellipse "tournante" ne passerait pas par (O).

Dernière modification par Wiwaxia (15-03-2019 07:16:02)

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#3 15-03-2019 09:04:40

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Bonjour,

@Yoshi : merci.

@Wiwaxia : merci pour ces précisions...néanmoins je ne vois pas encore comment trouver l'équation de cette fameuse ellipse..

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#4 15-03-2019 09:54:33

dsb
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Zebulor a écrit :

Bonjour,

@Yoshi : merci.

@Wiwaxia : merci pour ces précisions...néanmoins je ne vois pas encore comment trouver l'équation de cette fameuse ellipse..

Bonjour

je ne reste pas mais comme Wiwaxia tarde à te répondre,

je ne comprends pas tes notations tréma de ton premier message (en clair je ne comprends rien à ton fil)

mais si tu as cinq points distincts deux à deux (ou cinq tangentes ) d'une conique tu trouve son équation

as tu vu ça ? 

vous ne savez pas vous débrouiller tout seul dans la vie?

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#5 15-03-2019 10:28:15

dsb
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Re : Equation_Pendule de Foucault

NB

tout ça, va finir très mal (et ça finira mal pour les fainéants)

mais si tu es tellement handicapé que cela sache normaliser l'écriture d'une conique à partir de cinq points distincts

http://www.les-mathematiques.net/phorum … 32,1674088

GaBuZomeu dit que ce choix n'est pas optimal certes mais il est facile d'en changer quand on aime Pascal

ceci dit l'auteur du fil de ce lien aimant le nombre d'or il propose cela

et cet auteur ne demande pas d'aide mais juste le nom de ce mode de calcul

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#6 15-03-2019 12:03:53

Wiwaxia
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Zebulor a écrit :

... néanmoins je ne vois pas encore comment trouver l'équation de cette fameuse ellipse ...

Ce n'est justement pas une ellipse, et il n'est donc pas possible de trouver l'équation cartésienne correspondante.
Si la Terre était immobile (ω = 0) ou si le Panthéon se trouvait à l'équateur (λ = 0), le pendule lâché sans vitesse initiale oscillerait dans un plan vertical fixe, et la projection orthogonale de son barycentre décrirait le segment rectiligne (AB) centré en (O), de longueur (2xm) et d'équation:

y.cos(θ0) - x.sin(θ0) = 0 ,

où (θ0) représente l'angle (ux, 0A) .
Il n'existe même aucune équation cartésienne, de quelque type que ce soit, dans la mesure ou le rapport q = ω0/ω est généralement quelconque, et irrationnel.

Ce n'est que dans le cas d'un rapport entier (ou rationnel simple ?) que l'on peut en trouver une, au prix de plus ou moins grandes complications.

Dernière modification par Wiwaxia (15-03-2019 13:20:11)

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#7 15-03-2019 12:17:47

dsb
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Re : Equation_Pendule de Foucault

et c'est connu les rosaces sont des ellipses…

je me demande pourquoi les profs demandent des choses comme ça à leurs élèves alors qu'ils n'ont jamais entendus parler de Pascal ni en histoire ni sur un billet de banque

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#8 15-03-2019 15:48:25

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Rebonjour,

c'est noté Wiwaxia pour cet ajout du post #6, constructif, intelligent et respectueux.

Dernière modification par Zebulor (15-03-2019 16:01:29)

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#9 15-03-2019 17:16:17

Wiwaxia
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#10 16-03-2019 00:29:23

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

@wiwaxia : merci d'avoir étudié la question, contrairement à d'autres. très intéressant.

Je crois comprendre que dans cet exercice, à la seule condition de faire l'approximation adéquate, on doit pour se ramener à l'équation .. .d'une ellipse.

Dernière modification par Zebulor (16-03-2019 07:07:43)

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#11 16-03-2019 08:27:14

dsb
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Zebulor a écrit :

@wiwaxia : merci d'avoir étudié la question, contrairement à d'autres. très intéressant.

Je crois comprendre que dans cet exercice, à la seule condition de faire l'approximation adéquate, on doit pour se ramener à l'équation .. .d'une ellipse.

Bonjour

Dans ce cas approxime moi cinq points (distincts deux à deux) de ton ellipse et on calculera ensemble ses deux foyers et ses deux droites directrices ensemble tous les trois (trois car le troisième est Pascal avec son théorème)

Je te détaillerai tous les calculs 

Pascal est ton ami, (ceci dit c'est un gros malin il se cache bien ...j'aime bien le "près de ce pilier" mais j'ai son phone 06...….)
tombeau_blaisepascal.jpg

Dernière modification par dsb (16-03-2019 09:30:22)

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#12 16-03-2019 10:22:51

Wiwaxia
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Re : Equation_Pendule de Foucault

@ Zebulor

En posant a = xm et ω1 = ω.sinλ , il vient:

x = a.cos(ω0t).cos(ω1t)
y = -a.cos(ω0t).sin(ω1t)

et par dérivation:

x' = a[-ω0sin(ω0t).cos(ω1t) - ω1cos(ω0t).sin(ω1t)]
y' = a[ω0sin(ω0t).sin(ω1t) - ω1cos(ω0t).cos(ω1t)] .

1°) On obtient à l'instant initial (t = 0): x0  = a ; y0 = 0 ; x'0 = 0 ; y'0 = -aω1 :
la vitesse initiale n'est pas conforme à la valeur attendue y'0 = 0 .

Zebulor a écrit :

... avec les conditions initiales : [tex]x(t=0)=x_m[/tex] ,  [tex]y(t=0)=0[/tex] et [tex]\dot y(t=0)=\dot x(t=0)=0[/tex] ...

2°) À chaque fois que le pendule atteint son écart maximal (t = k.T0/2 = k.π/ω0 , d'où: ω0t = k.π), on obtient donc:
xk = a.cos(k.π).cos(ω1t) = (-1)ka.cos(ω1t)
yk = -a.cos(k.π).sin(ω1t) = -(-1)ka.sin(ω1t)

x'k = a[- ω1cos(k.π).sin(ω1t)] = (-1)k+11.sin(ω1t)
y'k = a[- ω1cos(k.π).cos(ω1t)] = (-1)k+11.cos(ω1t)

et par conséquent
xkx'k + yk.y'k = -a2ω1cos(ω1t).sin(ω1t) + a2ω1cos(ω1t).sin(ω1t) = 0 .

Le vecteur vitesse est alors normal au vecteur position, conformément à ce que l'on recherchait, mais c'est bien l'une des rares propriétés communes de la trajectoire observée avec l'ellipse !
Le passage systématique du mobile par l'origine toutes les demi-oscillations:

t = (k + 1/2).T0/2 = (k + 1/2).π/ω0 d'où ω0t = (k + 1/2).π et x(t) = y(t) = 0

exclut qu'il s'agisse d'une ellipse: le point (0, 0) ne peut vérifier l'équation cartésienne de cette dernière, qui est du type

Ax2  + By2 + Cx + Dy = 1 .

La seule approximation envisageable vient de la relative lenteur de la rotation terrestre (ω1 << ω0), et consiste à envisager le cas limite: ω1 = 0 ; on a déjà vu que l'on obtient alors une droite (voir # 6).

Zebulor a écrit :

... Je crois comprendre que dans cet exercice, à la seule condition de faire l'approximation adéquate, on doit pour se ramener à l'équation ... d'une ellipse.

Je me demande depuis quelques messages si les équations horaires mentionnées sont correctes; je me suis jusque là contenté de les exploiter.
Intuitivement, la trajectoire d'un pendule lâché sans vitesse initiale dans le repère terrestre devrait présenter, en chaque position extrême, un point de rebroussement ... cela tient peut-être à très peu de choses, dans l'expression des solutions.
Ou alors, une donnée de l'énoncé a été négligée.

Dernière modification par Wiwaxia (16-03-2019 13:07:54)

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#13 16-03-2019 13:38:18

Wiwaxia
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Re : Equation_Pendule de Foucault

@ Zebulor

Avec les mêmes conventions, ne pourrait-on pas envisager une solution légèrement différente:

x = a.cos(ω0t).cos(ω1t)
y = -a.cos(ω0t + ϕ).sin(ω1t)

et par dérivation:

x' = a[-ω0sin(ω0t).cos(ω1t) - ω1cos(ω0t).sin(ω1t)]
y' = a[ω0sin(ω0t + ϕ).sin(ω1t) - ω1cos(ω0t + ϕ).cos(ω1t)] ?

Cela donnerait à l'instant initial:

x0 = a ; y0 = 0 ; x'0 = 0 ; y'0 = - aω1cos(ϕ) ,

soit en tenant compte de la condition y'0 = 0 : cos(ϕ) = 0 d'où: ϕ = ± π/2 .

Il ne reste plus qu'à s'assurer que les nouvelles solutions (pour ϕ = + π/2)
x = a.cos(ω0t).cos(ω1t) ,
y = a.sin(ω0t).sin(ω1t)
vérifie bien l'équation différentielle. .

Je me demande si le fait de poser z = x + i.y (procédé élégant et efficace) n'a pas restreint l'éventail des solutions.

Dernière modification par Wiwaxia (16-03-2019 13:40:32)

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#14 16-03-2019 13:59:15

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

@Wiwaxia : C'est vraiment bien d'avoir consacré tout ce temps pour me répondre…

Tu écris :" La seule approximation envisageable vient de la relative lenteur de la rotation terrestre (ω1 << ω0), et consiste à envisager le cas limite: ω1 = 0 ; on a déjà vu que l'on obtient alors une droite (voir # 6)." Après reflexion j'arrive à la même conclusion...

Est ce qu 'on ne pourrait pas envisager une solution légèrement différente? je ne sais pas… je relis ce que tu m'écris

Je pense que les équations horaires couplées du mouvement du pendule que je suis supposé obtenir d'après l'énoncé me semblent toutefois justes après avoir négligé les produits [tex]x\dot x[/tex] et [tex]y\dot x[/tex]  devant x et y et leurs dérivées… comme m'y invite l'intitulé de la question.
Les conditions initiales sont celles que j'ai indiquées.. il est indiqué qu'à l'instant initial la vitesse est nulle et que [tex]x=x_m[/tex]. Dans ce contexte ton introduction d'une phase [tex]\phi[/tex] me laisse perplexe.

Est ce qu'une donnée de l'énoncé a été négligée, je ne le pense pas après relecture…

Le fait de procéder à l'utilisation de z=x+iy est le seul que je connaisse.. je ne l'ai pas inventé.. il existe peut être une autre méthode avec les matrices mais qui devrait aboutir aux mêmes solutions..

Est ce que l'éventail des solutions a été restreint ? euh… je regarde si je n'ai pas fait une erreur de calcul ou signe mais ...je pense que non.

En tout cas j'ai déjà pas mal d'éléments de réponse !

@dsb : je prends acte de ta proposition d'aide et t 'en remercie. J'aviserai

Dernière modification par Zebulor (16-03-2019 14:28:39)

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#15 17-03-2019 07:08:29

dsb
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Zebulor a écrit :

@dsb : je prends acte de ta proposition d'aide et t 'en remercie. J'aviserai

Bonjour

Je trouve assez bizarre de chercher à s'attaquer à des courbes plus compliquées que des coniques sans n'avoir jamais vu comment appliquer le théorème de Pascal sur les coniques propres

son théorème est très ancien et je trouve dommage de ne pas s'y intéresser, c'est un peu comme si on chercherait à calculer une intégrale sans n'avoir jamais vu le théorème de Pythagore

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#16 17-03-2019 16:40:45

Black Jack
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Bonjour,

Voila comment résoudre le système d'équations :

Pour résoudre le système d'équations différentielles ...

En notant (1) et (2) les 2 équations ... on fait (1) + i*(2) -->

(x"+iy") + wo²(x + i.y) - 2w.sin(Lambda).(y' - i.x') = 0

(x"+iy") + wo²(x + i.y) + 2w.sin(Lambda).i.(x' + i.y') = 0

Poser z = x + i.y

L'équation devient : z" + 2i.w.sin(Lambda).z' + wo².z = 0

p² + 2p.i.w.sin(Lambda) + wo²z = 0

p = -i.w.sin(Lambda) +/- i.Sqrt(w².sin²(Lambda) + wo²)

Et comme w.sin(Lambda) < < wo, on a presque : p = -i.w.sin(Lambda) +/- i.wo

z = e^(-i.w.sin(Lambda).t) * (A.e^(i.wo.t) + B.e^(-i.wo.t))

Si x(0) = Xm et y(0) = 0 --> z(0) = Xm
et x'(0) = y'(0) = 0, alors : z'(0) = 0

A + B = Xm
-i.w.sin(Lambda) * (A+B) + i.wo.A - i.wo.B = 0

A + B = Xm
-w.sin(Lambda) * Xm + wo.(A - B) = 0

A - B = w.sin(Lambda) * Xm/wo

--> 2A = Xm + w.sin(Lambda) * Xm/wo
A = (Xm/2) * (1 + (w/wo).sin(Lambda))

B = Xm - A

B = (Xm/2) * (1 - (w/wo).sin(Lambda))

z = (Xm/2) * e^(-i.w.sin(Lambda).t) * ((1 + (w/wo).sin(Lambda)) .e^(i.wo.t) + (1 - (w/wo).sin(Lambda)) .e^(-i.wo.t))

z = (Xm/2) * e^(-i.w.sin(Lambda).t) * (2.cos(wo.t) + 2i.(w/wo).sin(Lambda).sin(wo.t))

z = Xm * e^(-i.w.sin(Lambda).t) * (cos(wo.t) + i.(w/wo).sin(Lambda).sin(wo.t))

z = Xm * (cos(w.sin(Lambda).t) - i.sin(w.sin(Lambda).t)) * (cos(wo.t) + i.(w/wo).sin(Lambda).sin(wo.t))

x =  Xm * [cos(w.sin(Lambda).t) .cos(wo.t) + (w/wo).sin(w.sin(Lambda).t).sin(Lambda).sin(wo.t)]

y = Xm * [cos(w.sin(Lambda).t).(w/wo).sin(Lambda).sin(wo.t) - sin(w.sin(Lambda).t).cos(wo.t)]

Maintenant, prétendre que cela représente une ellipse ...

Remarque :

Je pense que ce que j'ai écrit est correct, car les solutions trouvées pour x et y collent bien avec ce que donne une résolution numérique par tableur du système.

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#17 17-03-2019 18:31:09

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

@Black Jack merci beaucoup :

Je confirme que ce que tu as écrit semble correct.

Je trouve A+B = [tex]x_m[/tex] (condition initiale sur la position)
et -A+B=0 (Condition initiale sur la vitesse : [tex]\dot z(0)=0[/tex]=-i([tex]\omega sin(\lambda)+\omega_0 [/tex])A-i([tex]\omega sin(\lambda)-\omega_0)[/tex]*B=0, en négligeant [tex]\omega[/tex] devant [tex]\omega_0[/tex]

d'où A=B=[tex]\frac {x_m}{2}[/tex]

En tenant compte du fait que [tex]\omega[/tex] est très petit devant [tex]\omega_0[/tex] , nos solutions [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] sont identiques...

Dernière modification par Zebulor (17-03-2019 19:08:26)

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#18 18-03-2019 08:14:46

Black Jack
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Bonjour,

Je sais peut-être de quelle ellipse l'énoncé parle ...
Mais si c'est bien ce que je pense, il y a pour le moins une grosse "indélicatesse" dans l'énoncé.

Les équations différentielles sont données dans un certain référentiel (géocentrique), on s'attendrait donc que, sans indications complémentaires, l'ellipse dont l'énoncé parle soit dans ce même référentiel.

Et bien je pense que ce n'est pas le cas.

Si on regarde la relation trouvée pour z, soit z = Xm * e^(-i.w.sin(Lambda).t) * (cos(wo.t) + i.(w/wo).sin(Lambda).sin(wo.t))

On peut donc écrire x et y sous la forme :

x(t) = Xm * e^(-i.w.sin(Lambda).t) * (cos(wo.t)
y(t) = Xm * e^(-i.w.sin(Lambda).t) * (w/wo).sin(Lambda).sin(wo.t))

Et le point P(x,y) ne parcourt pas du tout une ellipse

MAIS, si on considère que le terme e^(-i.w.sin(Lambda).t) représente un plan tournant ... et qu'on change de référentiel pour passer du repère géocentrique à un repère lié à ce plan tournant, alors avec ce nouveau repère, on a :

X(t) = Xm * cos(wo.t)
Y(t) = Xm * (w/wo).sin(Lambda).sin(wo.t))

et le point Q(X ; Y) parcourt (dans le référentiel du plan tournant) une ellipse de grand axe = 2.Xm et de petit axe = 2.Xm * (w/wo).sin(Lambda)

Dernière modification par Black Jack (18-03-2019 08:15:56)

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#19 18-03-2019 08:59:34

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Bonjour,

@Black Jack : en te relisant et en jetant un oeil au post #6 de Wiwaxia je m'aperçois que j'ai oublié de préciser une chose très importante : il est bien demandé d'appliquer le principe de la dynamique dans le référentiel local, i.e : lié à la Terre (qui n'est pas le repère tournant d'après ce que je comprends, et qui n'est pas non plus le référentiel Terrestre galilléen classique dont les axes sont dirigés sur les étoiles) pour trouver ces équations du mouvement.

Ca fait un moment que je me dis qu'il y a une histoire de référentiel là dedans. Mais en effet l'énoncé n'a pas la rigueur d'un énoncé classique de math en ne précisant pas dans quel repère il s'agit de trouver cette ellipse…

Merci bien!

Dernière modification par Zebulor (18-03-2019 13:07:27)

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#20 18-03-2019 14:44:53

Black Jack
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Zebulor a écrit :

Bonjour,

@Black Jack : en te relisant et en jetant un oeil au post #6 de Wiwaxia je m'aperçois que j'ai oublié de préciser une chose très importante : il est bien demandé d'appliquer le principe de la dynamique dans le référentiel local, i.e : lié à la Terre (qui n'est pas le repère tournant d'après ce que je comprends, et qui n'est pas non plus le référentiel Terrestre galilléen classique dont les axes sont dirigés sur les étoiles) pour trouver ces équations du mouvement.

Ca fait un moment que je me dis qu'il y a une histoire de référentiel là dedans. Mais en effet l'énoncé n'a pas la rigueur d'un énoncé classique de math en ne précisant pas dans quel repère il s'agit de trouver cette ellipse…

Merci bien!

Rebonjour,

Tu te trompes et l'énoncé est alors clair.

Un référentiel lié au plan tournant que j'ai mentionné est bien, je pense, un référentiel terrestre.

Ce plan tournant tourne à la vitesse de rotation de la Terre et en tenant compte du sens de la rotation, le référentiel initial (géocentrique) si on "enlève" la rotation de la Terre (celle aussi du plan tournant) devient alors un référentiel terrestre.

De là l''intérêt, si on veut arriver au but, de ne pas laisser de coté une partie de l'énoncé.

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#21 18-03-2019 17:19:45

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

rebonsoir,

donc rosace pour un observateur terrestre fixe, et ellipse dans le repère géocentrique dont les axes sont dirigés vers les étoiles.

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#22 18-03-2019 18:41:21

Black Jack
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Zebulor a écrit :

rebonsoir,

donc rosace pour un observateur terrestre fixe, et ellipse dans le repère géocentrique dont les axes sont dirigés vers les étoiles.

Non, c'est le contraire.

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#23 18-03-2019 20:33:30

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Je viens de relire ton post #18. Oui ok!

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#24 18-03-2019 20:34:49

Zebulor
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Re : Equation_Pendule de Foucault

Black Jack a écrit :

Rebonjour,

Tu te trompes et l'énoncé est alors clair.

Un référentiel lié au plan tournant que j'ai mentionné est bien, je pense, un référentiel terrestre.

Ce plan tournant tourne à la vitesse de rotation de la Terre et en tenant compte du sens de la rotation, le référentiel initial (géocentrique) si on "enlève" la rotation de la Terre (celle aussi du plan tournant) devient alors un référentiel terrestre.

De là l''intérêt, si on veut arriver au but, de ne pas laisser de coté une partie de l'énoncé.

Ok c 'est bon pour moi

Dernière modification par Zebulor (18-03-2019 20:36:11)

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