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#1 09-03-2019 21:13:15

Dorra Methni
Invité

espace probabilisé

on lance une seule fois une piece equilibrée, puis on effecture des tirages successifs dans une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire, selon le protocole suivant:
*on tire une boule, on note sa couleur et on la remet dan l'urne
*on rajoute une boule blanche si l'on a obtenu pile, et une boule noire sinon.
pourriez vous m'aider a calculer la probabilité de tirer une boule blanche au Keme tirage??

#2 10-03-2019 08:40:35

Michel Coste
Membre
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Messages : 1 095

Re : espace probabilisé

Bonjour,

1/2, bien sûr.
Je te laisse voir pourquoi, sans calcul (penser aux symétries du problème).

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#3 10-03-2019 21:56:14

freddy
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Re : espace probabilisé

Salut,

bon, en clair, que ce soit le premier ou le centième tirage, la probabilité de tirer une boule blanche ne change pas puisqu'il y a remise.
Tout dépend alors du nombre de boules blanches dans l'urne et ce nombre dépend du jet de la pièce.

Alors, si on obtient pile, l'urne contient 2 B et 1 N et donc P(B/P)= 2/3
Si on obtient face, l'urne contient alors 1 B et 2 N et donc P(B/F)=1/3.

Finalement, P(B)=P(B/P)P(P) + P(B/F)P(F) = ... Je te laisse finir !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 10-03-2019 22:13:05

Michel Coste
Membre
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Re : espace probabilisé

Pourquoi faire des calculs ?

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#5 10-03-2019 22:18:24

freddy
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Re : espace probabilisé

Michel Coste a écrit :

Pourquoi faire des calculs ?

Les choses ne sont pas évidentes pour tout le monde, en particulier, ceux qui viennent chercher de l'aide ici.
Je pense qu'ils ne comprennent pas grand chose aux devinettes, alors il faut les aider.
Quand notre ami aura compris la solution, peut-être qu'il comprendra l'inutilité de faire des calculs (j'ai comme un doute, mais bon, on peut faire comme si ...).


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 10-03-2019 22:25:30

Michel Coste
Membre
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Re : espace probabilisé

Ici, les calculs obscurcissent l'évidence qui tient à la symétrie du problème : pile/face, blanc/noir.

PS pour Freddy : tu as mal lu la consigne. Le nombre total de boules dans l'urne varie pour chaque tirage.

Dernière modification par Michel Coste (11-03-2019 09:24:41)

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#7 11-03-2019 10:07:58

freddy
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Re : espace probabilisé

Dorra Methni a écrit :

on lance une seule fois une pièce équilibrée, puis on effectue des tirages successifs dans une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire, selon le protocole suivant:
*on rajoute une boule blanche si l'on a obtenu pile, et une boule noire sinon
*on tire une boule, on note sa couleur et on la remet dan l'urne.
pourriez vous m'aider a calculer la probabilité de tirer une boule blanche au Keme tirage??

Salut Michel,

si je relis correctement l'énoncé, je pense que le nombre de boule n'augmente pas, mais je peux, bien entendu, me tromper.
C'est un point que j'ai bien vérifié hier soir, car en ce moment, j'ai des petits problèmes d'attention dont j'ai identifié l'origine.


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#8 11-03-2019 10:31:17

Michel Coste
Membre
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Re : espace probabilisé

Dorra Methni a écrit :

on effecture des tirages successifs dans une urne contenant initialement une boule blanche et une boule noire, selon le protocole suivant:
*on tire une boule, on note sa couleur et on la remet dan(s) l'urne
*on rajoute une boule blanche si l'on a obtenu pile, et une boule noire sinon.

On tire une boule, on la remet, on ajoute une boule.
On tire une boule, on la remet, on ajoute une boule.
On tire une boule, on la remet, on ajoute une boule ....

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#9 11-03-2019 10:33:45

dsb
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Re : espace probabilisé

Michel Coste a écrit :

Bonjour,

1/2, bien sûr.
Je te laisse voir pourquoi, sans calcul (penser aux symétries du problème).

rapide, efficace, exact

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#10 11-03-2019 10:35:36

freddy
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Messages : 7 457

Re : espace probabilisé

OK, je ne l'avais pas lu comme ça, sorry !
Faut vraiment que je fasse gaffe, je me suis arrangé avec le sujet, je trouvais pourtant bizarre que la taille de l'urne ne change pas au fil des tirages.
Du coup, au tirage numéro $K$ (je me suis arrêté à $K=1$), ça fait long et compliqué de faire les calculs, il est clair qu'il faut trouver une autre stratégie pour trouver la réponse.


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#11 11-03-2019 10:40:16

dsb
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Re : espace probabilisé

"la symétrie du problème"

c'est la preuve de la solution donnée par Michel Coste

on ne peut pas faire plus simple que sa preuve :

chercher plus loin ça serait comme de débattre sur  1+1=2

que dire de plus?

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#12 11-03-2019 10:51:55

Michel Coste
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Re : espace probabilisé

Le titre du fil "Espace probabilisé" laisse penser qu'il est attendu de définir un espace probabilisé qui modélise le problème.
On peut le faire en considérant l'ensemble de toutes les histoires possibles (et équiprobables) jusqu'au $k$-ème tirage. Il y en a $2\times k!$. Sur cet ensemble on a une involution qui échange face et pile et en même temps noir et blanc. On considère la variable aléatoire $X_k$ qui à chaque histoire associe la couleur au $k$-ème tirage. On constate que les événements $X_k =$ blanc et $X_k =$ noir sont échangés par l'involution décrite ci-dessus.

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#13 11-03-2019 11:21:19

freddy
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Re : espace probabilisé

Re,

de manière plus simple, car je ne sais pas ce qui est réellement demandé, on peut aussi dire qu'au tirage numéro $k$, on a  dans l'urne :
si $P$, $k+1$ boules blanches et une noire et
si $F$, une boule blanche et $k+1$ noires.

Par conséquent, avec des notations évidentes, $\Pr(B_k)=\Pr(B_k/P)\times \Pr(P)+\Pr(B_k/F)\times \Pr(F)$

Or, $\Pr(B_k/P)=\frac{k+1}{k+2}$ et $\Pr(B_k/F)=\frac{1}{k+2}$

Puisque $\Pr(P)=\Pr(F)=\frac{1}{2}$

la conclusion ne peut là non plus pas nous échapper.


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#14 11-03-2019 11:31:55

Michel Coste
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Re : espace probabilisé

Non, si $P$, $k$ boules blanches et une noire pour le $k$-ème tirage (voir pour $k=1$, et bien lire le protocole qui spécifie qu'on fait le tirage avec remise avant d'ajouter une boule).
"De manière plus simple" ? Enfin, c'est question de goût. Moi, je préfère comprendre pourquoi la réponse 1/2 n'est pas une heureuse coïncidence.

PS. On est dans la rubrique "supérieur" et pas "collège-lycée".

Dernière modification par Michel Coste (11-03-2019 11:33:02)

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#15 11-03-2019 12:08:11

freddy
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Messages : 7 457

Re : espace probabilisé

Oui, j'étais parti sur $(k-1)+1$ boules blanches si $P$ et me suis ravisé en cours de route, sans savoir pourquoi car oui, c'est après le tirage de la boule qu'on ajoute une boule dans l'urne ...

En revanche, je pense que tu t'égares sur le niveau : les gars au lycée n'examinent pas (plus depuis des lustres) ce genre de question. Et le gars qui nous sollicite ne dit pas au juste ce qu'il veut : soit qu'on l'aide à formaliser son problème, soit qu'on l'aide à calculer cette probabilité.
J'en suis resté à la seconde hypothèse, elle me semble, pour moi, évidente.
Et toujours pour moi, c'est une question de niveau début L1 en maths appliquées, pas celui correspondant à une M2 sur une spécialité, évidemment.


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#16 11-03-2019 13:43:03

Michel Coste
Membre
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Re : espace probabilisé

D'accord, "espace probabilisé" est le vocabulaire de début L1 en maths appliquées, c'est évident.

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#17 11-03-2019 18:47:10

Dorra methni
Invité

Re : espace probabilisé

Oui je comprends maintenant, merci pour votre aide

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