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Discussion fermée
#1 23-02-2019 12:53:02
- cosinuspax
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Petite suite de premiers
Bonjour,
Pour construire cette suite, on commence comme pour une suite de Fibonacci : 0,1,1,2,3,5,8,13. A partir de là, au lieu de faire 13 + 8 = 21, on fait 13 + 7 = 20, et on continue avec la suite des premiers (7,11,13,17...) :
20, 31, 44, 61, 80, 103, 132, 163, 200, 241, 284, 331, 384, 443, 504, 571. Malheureusement, le prochain u(n) impair est 715. Au total, 12 nombres premiers consécutifs. Ce n'est pas tant la quantité qui est remarquable que la manière (obtenir des premiers à partir de premiers). Il faudrait tester le pourcentage de premiers sur environ 100000 nombres de la suite.
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#2 24-02-2019 13:33:57
- yoshi
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Re : Petite suite de premiers
Salut,
Voilà déjà les 100 Ui en partant de 13 :
13, 20, 31, 44, 61, 80, 103, 132, 163, 200, 241, 284, 331, 384, 443, 504, 571, 642, 715, 794, 877, 966, 1063, 1164, 1267, 1374, 1483, 1596, 1723, 1854, 1991, 2130, 2279, 2430, 2587, 2750, 2917, 3090, 3269, 3450, 3641, 3834, 4031, 4230, 4441, 4664, 4891, 5120, 5353, 5592, 5833, 6084, 6341, 6604, 6873, 7144, 7421, 7702, 7985, 8278, 8585, 8896, 9209, 9526, 9857, 10194, 10541, 10890, 11243, 11602, 11969, 12342, 12721, 13104, 13493, 13890, 14291, 14700, 15119, 15540, 15971, 16404, 16843, 17286, 17735, 18192, 18653, 19116, 19583, 20062, 20549, 21040, 21539, 22042, 22551, 23072, 23595, 24136, 24683, 25240
Jusqu'à 571, tout va bien, les premiers dont au rendez-vous...
Au-delà, ça se gâte...
Les impairs premiers consécutifs ne vont plus au delà de 2...
J'ai fait un test, que je vais vérifier pour 200000...
Total nombre premiers 4,2 %...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#3 24-02-2019 13:56:33
- cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers
Salut Yoshi, et merci ! Cette suite est juste une curiosité, mais on ne sait jamais. D'après ton test, il y a peu d'illusions à se faire ...
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#4 24-02-2019 14:17:19
- yoshi
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Re : Petite suite de premiers
Re,
Scrpit vérifié : pas d'erreur évidente...
8386 nombres premiers sur 200000 Ui y compris ceux qui précèdent 13...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#5 25-02-2019 00:16:00
- cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers
Re,
C'est beaucoup moins que la proportion standard de premiers sur les 100000 premiers entiers (9592) !
Ce serait intéressant de comparer avec la suite donnée par le polynôme d'Euler x^2 + x + 41 (sur 200000 également).
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#6 25-02-2019 10:09:52
- cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers
Sinon, il y a aussi la suite : 41 + (40 + 82) + (122 + 82) + (204 + 82) + (286 + 82)..., moins connue.
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#7 26-02-2019 16:04:35
- LEG
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Re : Petite suite de premiers
Bonjour
dans le même style de suites de nombres premiers on peut faire aussi apparaître les couple de nombres premiers jumeaux (p,q).
Lors du 41ème congrès de Mathématique à Chicoutimi Québec, JP Sagnet a montrer une formule qui donne 1 pour chaque couple de Pj
je ne vais pas détailler sa démo, mais il part des nombres premiers classe A= 6k-1 pour p =(,11,17,23,29) et q de la classe B = 6k+1, q=(7,13,19,31)
la formule s'utilise dans un tableau de 5 colonnes
[X0 = n] ; [X1=P] ; [Gn=(Pn)(P(n-2))] ; [Dn+1=(Gn) - (G(n+1))] ;[classe A,B]
ce qui se traduit par le tableau ci-dessous :
on part dans la colonne X1 = P , uniquement avec les nombres premiers P consécutifs , où chaque premier P se répète si et seulement si, son suivant n'est pas premier, sinon le successeur de Pn serra q , qui se répètera aussi, si son successeur n'est pas premier.
Exemple : 2,3,5,7,7,11,13,13,17,19,19,23,23,23,29,31,31,31, 37....etc Pn.
n ... P.....Gn.....Dn+1.....A,B
1 ..... 2 ..... 0 ......
2 ..... 3 ..... -1...... 1..
3 ..... 5 ..... -2 ...... 1 ... A
4 ..... 7 ..... -3 ...... 1 ... B
5 ..... 7 ..... -6 ...... 3 .... B
6 ..... 11 ..... -5 ...... -1 ... A
7 ..... 13 ..... -6 ...... 1.... B transition j "jumeau"
8 ..... 13 ..... -15 ...... 9 .... B
9 ..... 17 ..... -8 ...... -7 ... A
10 ..... 19 ..... -9 ...... 1 ... B transition j
11 ..... 19 ..... -24 ...... 15 ....B
12 ..... 23 ..... -11 ...... -13 ....A
13 ..... 23 ..... -30 ...... 19 .... A
14 ..... 23 ..... -45 ...... 15 .... A
15 ..... 29 ..... -14 ...... -31 .... A
16 ..... 31 ..... -15 ...... 1 .... B transition j
17 ..... 31 ..... -42 ...... 27 ....B
18 ..... 31 ..... -65 ...... 23 ....B
19 ..... 37 ..... -18 ...... -47 ....B
etc...etc
il a été démontrer l'infinité de transition AB . Mais il y a les ABj et les ABr = retournement .
un ABr n'est jamais précédé par -1*30k pour $P \geqslant 29$; et Dn+1 n'est pas égal à 1.
seul les ABj = 1 sont jumeaux, précédé par 30k* -1 pour les deux couples de Familles (11,13) et (29,31), ou précédé de 30k*-7 pour le couple de famille 17,19[30] curieusement on retrouve la progression arithmétique de raison 30k pour les ABj =1 dans la formule de JP Sagnet.....
On peut aussi constater la même densité de couples ABj = 1 et de couples ABr= -7 en reconsidérant la formule tel que:
pour n = 12 nous avons P = 23 = A; ce qui donne bien pour n +7 = 19 , soit q = 37 = B ; 14/2 = 7 et Dn+7 =7 = Gn - Gn+7 =
(-11) - (-18).
C'est facile de le vérifier, et d'en tirer un constat :
si la densité est la même ; alors un nombre de couples jumeaux finis , entraine par conséquent un nombre de couple ABr = -7 finis...!
Cette conjecture ne concerne donc pas que les premiers jumeaux tel que: p et p+2 mais aussi P et P+14....etc.
A noter que l'on peut utiliser le même principe de la démonstration de JP Sagnet avec sa formule uniquement dans les 8 familles en progression arithmétique de raison 30 de premier terme 1 ou P premier [7 ; 29].
La densité de premiers P de 7 à N ,ou, de premiers q [N ; 2N] équivalente dans les 8 familles, se montre avec les deux cribles E et G ; grâce au principe d'Ératosthène pour une limite N fixée.
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#8 26-02-2019 22:12:12
- yoshi
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Re : Petite suite de premiers
Salut,
Intéressant, cette histoire de jumeau, mais pas ma priorité en ce moment (le temps de ma revue est revenu), j'approfondirai plus tard...
@cosinuspax. Sur les 200000 premiers nombres d'Euler en partant de 41, je dénombre 59809 nombres premiers, soit 29.9 %... Plus intéressant : les 60 premiers nombres d'Euler sont des nombres premiers, soit de 41 à 1601 inclus.
Le plus grand premier des 200000 eulériens est [tex]199996^2+199996+41 =39\,998\,600\,053[/tex]...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#9 27-02-2019 11:31:57
- cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers
LEG : intéressant, à étudier.
YOSHI : résultat concluant. En fait, on a 40 nombres premiers successifs jusqu'au carré de 41 (1681), et non 60. Ceci est connu. Pourrais-tu, à l'occasion, vérifier pour la suite 41 + (40+82) + (122+82) + (204+82) + (286+82) ... Cette suite est également issue de l'ensemble d'Euler, mais elle brasse des nombres plus grands. Je serais curieux de connaître la proportion de premiers sur 200000 Ui.
Merci pour les tests.
A +
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#10 27-02-2019 11:41:31
- cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers
LEG : (4 + 2) est la raison donnant la suite des nombres jumeaux (en partant de 1) : (5, 7), (11, 13), (17, 19), (23, 25), (29, 31), (35, 37), (41, 43) ...
Dernière modification par cosinuspax (27-02-2019 11:42:19)
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#11 27-02-2019 13:19:58
- LEG
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Re : Petite suite de premiers
Bonjour
@cosinuspax, oui mais on ne peut pas analyser la suite des premiers jumeaux sous cette forme de raison (4+2) ça ne même nul part....
Pour ta suite 41 + (40+82) + (122+82) +...etc voila ce que donne le polynôme une fois reconsidéré : avec la raison 18450 qui indexe deux suite arithmétiques et qui ensuite indexe les 2 suites 11[30], de premier terme 41 et 4091 ; issue du polynôme colonne A.
pourquoi analyser comme ça , car cela fait ressortir la particularité de ces polynômes..tous les 15 nombres en partant de 41, colonne A tu retombes sur la famille modulo 30 du premier terme..Alors que 4091 est le deuxième terme de cette même famille 11[30] , ce qui te garantie une infinité de premiers..car ce sont des pseudo suites arithmétiques de raison R au deuxième rang de différence...colonne r.
Dans ton polynôme ce sont les colonnes C et H qu'il faut analyser et regarder les nombres premiers de la famille 11 modulo 30.
On peut aussi vérifier la famille 1[30] de premier terme 1021 et 1471 selon le même principe d'indexation colonnes (d,r , e)...etc famille 13 et 23[30] ainsi que 7 et 17[30]
puis on compare la densité de premiers par rapport aux entiers pris par ce polynôme dans les 6 Familles / 8 ....pour éviter une densité nulle qui ne voudrait rien dire....
regarde déjà colonne C sur la première trentaine il y a 18 premiers /32
A......b......r.......C...........d..........r............e...........F
41 122 82 41 10440 18450 21510 4091
163 204 82 10481 28890 18450 39960 25601
367 286 82 39371 47340 18450 58410 65561
653 368 82 86711 65790 18450 76860 123971
1021 450 82 152501 84240 18450 95310 200831
1471 532 82 236741 102690 18450 113760 296141
2003 614 82 339431 121140 18450 132210 409901
2617 696 82 460571 139590 18450 150660 542111
3313 778 82 600161 158040 18450 169110 692771
4091 860 82 758201 176490 18450 187560 861881
4951 942 82 934691 194940 18450 206010 1049441
5893 1024 82 1129631 213390 18450 224460 1255451
6917 1106 82 1343021 231840 18450 242910 1479911
8023 1188 82 1574861 250290 18450 261360 1722821
9211 1270 82 1825151 268740 18450 279810 1984181
10481 1352 82 2093891 287190 18450 298260 2263991
118331434 82 2381081 305640 18450 316710 2562251
13267 1516 82 2686721 324090 18450 335160 2878961
14783 1598 82 3010811 342540 18450 353610 3214121
16381 1680 82 3353351 360990 18450 372060 3567731
18061 1762 82 3714341 379440 18450 390510 3939791
19823 1844 82 4093781 397890 18450 408960 4330301
21667 1926 82 4491671 416340 18450 427410 4739261
23593 2008 82 4908011 434790 18450 445860 5166671
25601 2090 82 5342801 453240 18450 464310 5612531
27691 2172 82 5796041 471690 18450 482760 6076841
29863 2254 82 6267731 490140 18450 501210 6559601
32117 2336 82 6757871 508590 18450 519660 7060811
34453 2418 82 7266461 527040 18450 538110 7580471
36871 2500 82 7793501 545490 18450 556560 8118581
39371 2582 82 8338991 563940 18450 575010 8675141
41953 2664 82 8902931 582390 18450 593460 9250151
44617 2746 82 9485321 600840 18450 611910 9843611
47363 2828 82 10086161 619290 18450 630360 10455521
50191 2910 82 10705451 637740 18450 648810 11085881
53101 2992 82 11343191 656190 18450 667260 11734691
56093 3074 82 11999381 674640 18450 685710 12401951
59167 3156 82 12674021 693090 18450 704160 13087661
62323 3238 82 13367111 711540 18450 722610 13791821
65561 3320 82 14078651 729990 18450 741060 14514431
68881 3402 82 14808641 748440 18450 759510 15255491
72283 3484 82 15557081 766890 18450 777960 16015001
75767 3566 82 16323971 785340 18450 796410 16792961
79333 3648 82 17109311 803790 18450 814860 17589371
82981 3730 82 17913101 822240 18450 833310 18404231
86711 3812 82 18735341 840690 18450 851760 19237541
90523 3894 82 19576031 859140 18450 870210 20089301
94417 3976 82 20435171 877590 18450 888660 20959511
98393 4058 82 21312761 896040 18450 907110 21848171
102451 4140 82 22208801 914490 18450 925560 22755281
106591 4222 82 23123291 932940 18450 944010 23680841
110813 4304 82 24056231 951390 18450 962460 24624851
115117 4386 82 25007621 969840 18450 980910 25587311
119503 4468 82 25977461 988290 18450 999360 26568221
123971 4550 82 26965751 1006740 18450 1017810 27567581
128521 4632 82 27972491 1025190 18450 1036260 28585391
133153 4714 82 28997681 1043640 18450 1054710 29621651
137867 4796 82 30041321 1062090 18450 1073160 30676361
142663 4878 82 31103411 1080540 18450 1091610 31749521
147541 4960 82 32183951 1098990 18450 1110060 32841131
152501 5042 82 33282941 1117440 18450 1128510 33951191
157543 5124 82 34400381 1135890 18450 1146960 35079701
162667 5206 82 35536271 1154340 18450 1165410 36226661
167873 5288 82 36690611 1172790 18450 1183860 37392071
173161 5370 82 37863401 1191240 18450 1202310 38575931
178531 5452 82 39054641 1209690 18450 1220760 39778241
183983 5534 82 40264331 1228140 18450 1239210 40999001
189517 5616 82 41492471 1246590 18450 1257660 42238211
195133 5698 82 42739061 1265040 18450 1276110 43495871
200831 5780 82 44004101 1283490 18450 1294560 44771981
206611 5862 82 45287591 1301940 18450 1313010 46066541
212473 5944 82 46589531 1320390 18450 1331460 47379551
218417 6026 82 47909921 1338840 18450 1349910 48711011
224443 6108 82 49248761 1357290 18450 1368360 50060921
230551 6190 82 50606051 1375740 18450 1386810 51429281
236741 6272 82 51981791 1394190 18450 1405260 52816091
243013 6354 82 53375981 1412640 18450 1423710 54221351
249367 6436 82 54788621 1431090 18450 1442160 55645061
255803 6518 82 56219711 1449540 18450 1460610 57087221
262321 6600 82 57669251 1467990 18450 1479060 58547831
268921 6682 82 59137241 1486440 18450 1497510 60026891
275603 6764 82 60623681 1504890 18450 1515960 61524401
282367 6846 82 62128571 1523340 18450 1534410 63040361
289213 6928 82 63651911 1541790 18450 1552860 64574771
296141 7010 82 65193701 1560240 18450 1571310 66127631
303151 7092 82 66753941 1578690 18450 1589760 67698941
310243 7174 82 68332631 1597140 18450 1608210 69288701
317417 7256 82 69929771 1615590 18450 1626660 70896911
Dernière modification par LEG (27-02-2019 13:43:52)
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#12 27-02-2019 17:53:26
- cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers
Leg, OK pour ton analyse de la suite (41 + 40 + 82 ...). Concernant la suite des nombres jumeaux de raison (4 + 2), peux-tu me dire pourquoi exactement son utilisation ne mènerait nulle part ? Savoir que les paires de nombres premiers appartiennent toutes à l'ensemble des paires, ça ne peut pas aider ?
A +
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#13 27-02-2019 21:06:40
- LEG
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- Messages : 694
Re : Petite suite de premiers
si il ne s'agissait que d'utiliser la raison (4+2) tu vas faire apparaître des paires et après...
les couples de premiers jumeaux sont de la forme 6k +1 ou 6k -1.
j'ai mis le détail de la formule de JP Sagnet , qui a démontré sa formule..
comme tu peux le voir au poste #7 on va faire apparaître les couple ABj = 1 donc jumeaux ..mais même avec cette formule qui cache des propriétés intéressantes, il n'a pas pu à l'époque conclure.
Il y a d'autres raisons à étudier notamment la densité de couples avec 2, d'écart, avec 14 d'écart ...etc
On remarque aussi l'entier négatif 30k* -1 qui précède dn+1 = 1 . ligne n =15 dans le post #7
cet entier 30k*-1 est en progression arithmétique de raison 30...Ce n'est pas le seul car les couples ABr = 7 , dn+7 =7 pour les deux familles 23 et 37[30] donc ayant 14 d'écart ...ont aussi leur progression arithmétique mais de raison 330; les ABR = 8/2 la raison est de 172...etc... tout est ordonné par des suites arithmétique, que l'on peut faire apparaître à partir de sa formule..."il ne le savait pas"
d'où si la conjecture est fausse il n'y a aucune raison qu'il n'en soit pas de même pour les ABr =14/2...ABr= 8/2..etc etc...
Ce qui devient absurde....
cette conjecture ne concerne donc pas que l'écart de 2...!
C'est comme ton polynôme , il cache des suites arithmétiques de raison 18450; mais pour les trouver il faut travailler dans les 8 familles d'entiers en progression arithmétique de raison 30....le calcul de la densité de premiers ne serra plus du tout le même...
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#14 28-02-2019 10:19:25
- cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers
Bonjour,
La suite 6k+-1 (raison 4 + 2) n'est pas gratuite. Elle donne toutes les paires, et nous savons déjà qu'elle est infinie. Les jumeaux premiers deviennent seulement une particularité de la suite, comme d'ailleurs d'autres sous-ensembles de cette même suite (premiers, jumeaux composés, ...). Je pense que la solution tient seulement à une comparaison judicieuse de ces différents sous-ensembles.
Merci pour les tests.
A +
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