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#1 23-02-2019 10:53:02

cosinuspax
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Petite suite de premiers

Bonjour,

Pour construire cette suite, on commence comme pour une suite de Fibonacci : 0,1,1,2,3,5,8,13. A partir de là, au lieu de faire 13 + 8 = 21, on fait 13 + 7 = 20, et on continue avec la suite des premiers (7,11,13,17...) :

20, 31, 44, 61, 80, 103, 132, 163, 200, 241, 284, 331, 384, 443, 504, 571. Malheureusement, le prochain u(n) impair est 715. Au total, 12 nombres premiers consécutifs. Ce n'est pas tant la quantité qui est remarquable que la manière (obtenir des premiers à partir de premiers). Il faudrait tester le pourcentage de premiers sur environ 100000 nombres de la suite.

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#2 24-02-2019 11:33:57

yoshi
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Re : Petite suite de premiers

Salut,

Voilà déjà les 100 Ui en partant de 13 :
13, 20, 31, 44, 61, 80, 103, 132, 163, 200, 241, 284, 331, 384, 443, 504, 571, 642, 715, 794, 877, 966, 1063, 1164, 1267, 1374, 1483, 1596, 1723, 1854, 1991, 2130, 2279, 2430, 2587, 2750, 2917, 3090, 3269, 3450, 3641, 3834, 4031, 4230, 4441, 4664, 4891, 5120, 5353, 5592, 5833, 6084, 6341, 6604, 6873, 7144, 7421, 7702, 7985, 8278, 8585, 8896, 9209, 9526, 9857, 10194, 10541, 10890, 11243, 11602, 11969, 12342, 12721, 13104, 13493, 13890, 14291, 14700, 15119, 15540, 15971, 16404, 16843, 17286, 17735, 18192, 18653, 19116, 19583, 20062, 20549, 21040, 21539, 22042, 22551, 23072, 23595, 24136, 24683, 25240

Jusqu'à 571, tout va bien, les premiers dont au rendez-vous...
Au-delà, ça se gâte...
Les impairs premiers consécutifs ne vont plus au delà de 2...
J'ai fait un test, que je vais vérifier pour 200000...
Total nombre  premiers 4,2 %...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 24-02-2019 11:56:33

cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers

Salut Yoshi, et merci !  Cette suite est juste une curiosité, mais on ne sait jamais. D'après ton test, il y a peu d'illusions à se faire ...

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#4 24-02-2019 12:17:19

yoshi
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Re : Petite suite de premiers

Re,

Scrpit vérifié : pas d'erreur évidente...
8386 nombres premiers sur 200000 Ui y compris ceux qui précèdent 13...

@+


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#5 24-02-2019 22:16:00

cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers

Re,

C'est beaucoup moins que la proportion standard de premiers sur les 100000 premiers entiers (9592) !
Ce serait intéressant de comparer avec la suite donnée par le polynôme d'Euler x^2 + x + 41 (sur 200000 également).

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#6 25-02-2019 08:09:52

cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers

Sinon, il y a aussi la suite : 41 + (40 + 82) + (122 + 82) + (204 + 82) + (286 + 82)..., moins connue.

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#7 26-02-2019 14:04:35

LEG
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Re : Petite suite de premiers

Bonjour
dans le même style de suites de nombres premiers on peut faire aussi apparaître les couple de nombres premiers jumeaux (p,q).
Lors du 41ème congrès de Mathématique à Chicoutimi Québec, JP Sagnet a montrer une formule qui donne 1 pour chaque couple de Pj

je ne vais pas détailler sa démo, mais il part des nombres premiers classe A= 6k-1 pour p =(,11,17,23,29) et q de la classe B = 6k+1, q=(7,13,19,31)
la formule s'utilise dans un tableau de 5 colonnes

[X0 = n] ; [X1=P] ;  [Gn=(Pn)(P(n-2))] ;  [Dn+1=(Gn) - (G(n+1))] ;[classe A,B]

ce qui se traduit par le tableau ci-dessous :
on part dans la colonne X1 = P , uniquement avec les nombres premiers P consécutifs , où chaque premier P se répète si et seulement si, son suivant n'est pas premier, sinon le successeur de Pn serra q , qui se répètera aussi, si son successeur n'est pas premier.

Exemple : 2,3,5,7,7,11,13,13,17,19,19,23,23,23,29,31,31,31, 37....etc Pn.

n  ... P.....Gn.....Dn+1.....A,B

1 .....  2 .....    0  ......
2 .....  3  ..... -1...... 1..
3 .....  5  .....   -2 ...... 1 ...  A
4 .....  7  .....   -3 ...... 1 ...  B

5 .....  7  .....   -6 ...... 3 ....  B
6 .....  11  .....  -5 ...... -1 ... A
7 .....  13  .....  -6 ...... 1.... B   transition j  "jumeau"
8 .....  13  .....  -15 ...... 9 .... B
9 .....  17  .....  -8  ...... -7  ... A
10 ..... 19  .....  -9 ...... 1 ... B  transition j
11 ..... 19  ..... -24 ...... 15 ....B
12 ..... 23  ..... -11 ...... -13 ....A
13 ..... 23  ..... -30 ...... 19 .... A
14 ..... 23  ..... -45 ...... 15 .... A
15 ..... 29  ..... -14 ...... -31 .... A
16 ..... 31  ..... -15 ...... 1 .... B transition j
17 ..... 31  ..... -42 ...... 27 ....B
18 ..... 31  ..... -65 ...... 23 ....B
19 ..... 37  ..... -18 ...... -47 ....B

etc...etc

il a été démontrer l'infinité de transition AB . Mais il y a les ABj et les ABr = retournement .

un ABr n'est jamais précédé par -1*30k pour $P \geqslant 29$; et Dn+1 n'est pas égal à 1.

seul les ABj = 1 sont jumeaux, précédé par 30k* -1 pour les deux couples de Familles (11,13) et (29,31), ou précédé de 30k*-7 pour le couple de famille 17,19[30] curieusement on retrouve la progression arithmétique de raison 30k pour les ABj =1 dans la formule de JP Sagnet.....

On peut aussi constater la même densité de couples ABj = 1 et de couples ABr= -7 en reconsidérant la formule tel que:

pour n = 12  nous avons P = 23 = A; ce qui donne bien pour n +7 = 19 , soit q = 37 = B ; 14/2 = 7 et Dn+7 =7 = Gn - Gn+7 =
(-11) - (-18).

C'est facile de le vérifier, et d'en tirer un constat :
si la densité est la même ; alors un nombre de couples jumeaux finis , entraine par conséquent un nombre de couple ABr = -7 finis...!

Cette conjecture ne concerne donc pas que les premiers jumeaux tel que: p et p+2 mais aussi P et P+14....etc.

A noter que l'on peut utiliser le même principe de la démonstration de JP Sagnet avec sa formule uniquement dans les 8 familles en progression arithmétique de raison 30 de premier terme 1 ou P premier [7 ; 29].

La densité de premiers P de 7 à N ,ou, de premiers q [N ; 2N] équivalente dans les 8 familles, se montre avec les deux cribles E et G ; grâce au principe d'Ératosthène pour une limite N fixée.

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#8 26-02-2019 20:12:12

yoshi
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Re : Petite suite de premiers

Salut,

Intéressant, cette histoire de jumeau, mais pas ma priorité en ce moment (le temps de ma revue est revenu), j'approfondirai plus tard...

@cosinuspax. Sur les 200000 premiers nombres d'Euler en partant de 41, je dénombre 59809 nombres premiers, soit 29.9 %... Plus intéressant : les 60 premiers nombres d'Euler sont des nombres premiers, soit de 41 à 1601 inclus.
Le plus grand premier des 200000 eulériens est [tex]199996^2+199996+41 =39\,998\,600\,053[/tex]...

@+


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#9 27-02-2019 09:31:57

cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers

LEG : intéressant, à étudier.
YOSHI : résultat concluant.  En fait, on a 40 nombres premiers successifs jusqu'au carré de 41 (1681), et non 60. Ceci est connu.  Pourrais-tu, à l'occasion, vérifier pour la suite 41 + (40+82) + (122+82) + (204+82) + (286+82) ... Cette suite est également issue de l'ensemble d'Euler, mais elle brasse des nombres plus grands. Je serais curieux de connaître la proportion de premiers sur 200000 Ui.
Merci pour les tests.
A +

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#10 27-02-2019 09:41:31

cosinuspax
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Re : Petite suite de premiers

LEG : (4 + 2) est la raison donnant la suite des nombres jumeaux (en partant de 1) : (5, 7), (11, 13), (17, 19), (23, 25), (29, 31), (35, 37), (41, 43) ...

Dernière modification par cosinuspax (27-02-2019 09:42:19)

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#11 27-02-2019 11:19:58

LEG
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Re : Petite suite de premiers

Bonjour
@cosinuspax, oui mais on ne peut pas analyser la suite des premiers jumeaux sous cette forme de raison (4+2) ça ne même nul part....

Pour ta suite 41 + (40+82) + (122+82) +...etc voila ce que donne le polynôme une fois reconsidéré : avec la raison 18450 qui indexe deux suite arithmétiques et qui ensuite indexe les 2 suites 11[30], de premier terme 41 et 4091 ; issue du polynôme colonne A.
pourquoi analyser comme ça , car cela fait ressortir la particularité de ces polynômes..tous les 15 nombres en partant de 41, colonne A tu retombes sur la famille modulo 30 du premier terme..Alors que 4091 est le deuxième terme de cette même famille 11[30] , ce qui te garantie une infinité de premiers..car ce sont des pseudo suites arithmétiques de raison R au deuxième rang de différence...colonne r.

Dans ton polynôme ce sont les colonnes C et H qu'il faut analyser et regarder les nombres premiers de la famille 11 modulo 30.

On peut aussi vérifier la famille 1[30] de premier terme 1021 et 1471 selon le même principe d'indexation colonnes (d,r , e)...etc famille 13 et 23[30] ainsi que 7 et 17[30]

puis on compare la densité de premiers par rapport aux entiers pris par ce polynôme dans les 6 Familles / 8 ....pour éviter une densité nulle qui ne voudrait rien dire....
regarde déjà colonne C sur la première trentaine il y a 18 premiers /32

A......b......r.......C...........d..........r............e...........F
41    122    82    41    10440    18450    21510    4091
163    204    82    10481    28890    18450    39960    25601
367    286    82    39371    47340    18450    58410    65561
653    368    82    86711    65790    18450    76860    123971
1021    450    82    152501    84240    18450    95310    200831
1471    532    82    236741    102690    18450    113760    296141
2003    614    82    339431    121140    18450    132210    409901
2617    696    82    460571    139590    18450    150660    542111
3313    778    82    600161    158040    18450    169110    692771
4091    860    82    758201    176490    18450    187560    861881
4951    942    82    934691    194940    18450    206010    1049441
5893    1024    82    1129631    213390    18450    224460    1255451
6917    1106    82    1343021    231840    18450    242910    1479911
8023    1188    82    1574861    250290    18450    261360    1722821
9211    1270    82    1825151    268740    18450    279810    1984181
10481    1352    82    2093891    287190    18450    298260    2263991
118331434    82    2381081    305640    18450    316710    2562251
13267    1516    82    2686721    324090    18450    335160    2878961
14783    1598    82    3010811    342540    18450    353610    3214121
16381    1680    82    3353351    360990    18450    372060    3567731
18061    1762    82    3714341    379440    18450    390510    3939791
19823    1844    82    4093781    397890    18450    408960    4330301
21667    1926    82    4491671    416340    18450    427410    4739261
23593    2008    82    4908011    434790    18450    445860    5166671
25601    2090    82    5342801    453240    18450    464310    5612531
27691    2172    82    5796041    471690    18450    482760    6076841
29863    2254    82    6267731    490140    18450    501210    6559601
32117    2336    82    6757871    508590    18450    519660    7060811
34453    2418    82    7266461    527040    18450    538110    7580471
36871    2500    82    7793501    545490    18450    556560    8118581
39371    2582    82    8338991    563940    18450    575010    8675141
41953    2664    82    8902931    582390    18450    593460    9250151
44617    2746    82    9485321    600840    18450    611910    9843611
47363    2828    82    10086161    619290    18450    630360    10455521
50191    2910    82    10705451    637740    18450    648810    11085881
53101    2992    82    11343191    656190    18450    667260    11734691
56093    3074    82    11999381    674640    18450    685710    12401951
59167    3156    82    12674021    693090    18450    704160    13087661
62323    3238    82    13367111    711540    18450    722610    13791821
65561    3320    82    14078651    729990    18450    741060    14514431
68881    3402    82    14808641    748440    18450    759510    15255491
72283    3484    82    15557081    766890    18450    777960    16015001
75767    3566    82    16323971    785340    18450    796410    16792961
79333    3648    82    17109311    803790    18450    814860    17589371
82981    3730    82    17913101    822240    18450    833310    18404231
86711    3812    82    18735341    840690    18450    851760    19237541
90523    3894    82    19576031    859140    18450    870210    20089301
94417    3976    82    20435171    877590    18450    888660    20959511
98393    4058    82    21312761    896040    18450    907110    21848171
102451    4140    82    22208801    914490    18450    925560    22755281
106591    4222    82    23123291    932940    18450    944010    23680841
110813    4304    82    24056231    951390    18450    962460    24624851
115117    4386    82    25007621    969840    18450    980910    25587311
119503    4468    82    25977461    988290    18450    999360    26568221
123971    4550    82    26965751    1006740    18450    1017810    27567581
128521    4632    82    27972491    1025190    18450    1036260    28585391
133153    4714    82    28997681    1043640    18450    1054710    29621651
137867    4796    82    30041321    1062090    18450    1073160    30676361
142663    4878    82    31103411    1080540    18450    1091610    31749521
147541    4960    82    32183951    1098990    18450    1110060    32841131
152501    5042    82    33282941    1117440    18450    1128510    33951191
157543    5124    82    34400381    1135890    18450    1146960    35079701
162667    5206    82    35536271    1154340    18450    1165410    36226661
167873    5288    82    36690611    1172790    18450    1183860    37392071
173161    5370    82    37863401    1191240    18450    1202310    38575931
178531    5452    82    39054641    1209690    18450    1220760    39778241
183983    5534    82    40264331    1228140    18450    1239210    40999001
189517    5616    82    41492471    1246590    18450    1257660    42238211
195133    5698    82    42739061    1265040    18450    1276110    43495871
200831    5780    82    44004101    1283490    18450    1294560    44771981
206611    5862    82    45287591    1301940    18450    1313010    46066541
212473    5944    82    46589531    1320390    18450    1331460    47379551
218417    6026    82    47909921    1338840    18450    1349910    48711011
224443    6108    82    49248761    1357290    18450    1368360    50060921
230551    6190    82    50606051    1375740    18450    1386810    51429281
236741    6272    82    51981791    1394190    18450    1405260    52816091
243013    6354    82    53375981    1412640    18450    1423710    54221351
249367    6436    82    54788621    1431090    18450    1442160    55645061
255803    6518    82    56219711    1449540    18450    1460610    57087221
262321    6600    82    57669251    1467990    18450    1479060    58547831
268921    6682    82    59137241    1486440    18450    1497510    60026891
275603    6764    82    60623681    1504890    18450    1515960    61524401
282367    6846    82    62128571    1523340    18450    1534410    63040361
289213    6928    82    63651911    1541790    18450    1552860    64574771
296141    7010    82    65193701    1560240    18450    1571310    66127631
303151    7092    82    66753941    1578690    18450    1589760    67698941
310243    7174    82    68332631    1597140    18450    1608210    69288701
317417    7256    82    69929771    1615590    18450    1626660    70896911

Dernière modification par LEG (27-02-2019 11:43:52)

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#12 27-02-2019 15:53:26

cosinuspax
Membre
Inscription : 23-02-2019
Messages : 32

Re : Petite suite de premiers

Leg, OK pour ton analyse de la suite (41 + 40 + 82 ...). Concernant la suite des nombres jumeaux de raison (4 + 2), peux-tu me dire pourquoi exactement son utilisation ne mènerait nulle part ? Savoir que les paires de nombres premiers appartiennent toutes à l'ensemble des paires, ça ne peut pas aider ?

A +

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#13 27-02-2019 19:06:40

LEG
Membre
Inscription : 19-09-2012
Messages : 405

Re : Petite suite de premiers

si il ne s'agissait que d'utiliser la raison (4+2) tu vas faire apparaître des paires et après...

les couples de premiers jumeaux sont de la forme 6k +1 ou 6k -1.

j'ai mis le détail de la formule de JP Sagnet , qui a démontré sa formule..

comme tu peux le voir au poste #7 on va faire apparaître les couple ABj = 1 donc jumeaux ..mais même avec cette formule qui cache des propriétés intéressantes, il n'a pas pu à l'époque conclure.

Il y a d'autres raisons à étudier notamment la densité de couples avec 2, d'écart, avec 14 d'écart ...etc
On remarque aussi l'entier négatif 30k* -1 qui précède dn+1 = 1 . ligne n =15 dans le post #7

cet entier 30k*-1 est en progression arithmétique de raison 30...Ce n'est pas le seul car les couples ABr = 7 , dn+7 =7 pour les deux familles 23 et 37[30] donc ayant 14 d'écart ...ont aussi leur progression arithmétique mais de raison 330; les ABR = 8/2 la raison est de 172...etc... tout est ordonné par des suites arithmétique, que l'on peut faire apparaître à partir de sa formule..."il ne le savait pas"

d'où si la conjecture est fausse  il n'y a aucune raison qu'il n'en soit pas de même pour les ABr =14/2...ABr= 8/2..etc etc...
Ce qui devient absurde....

cette conjecture ne concerne donc pas que l'écart de 2...!

C'est comme ton polynôme , il cache des suites arithmétiques de raison 18450; mais pour les trouver il faut travailler dans les 8 familles d'entiers en progression arithmétique de raison 30....le calcul de la densité de premiers ne serra plus du tout le même...

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#14 28-02-2019 08:19:25

cosinuspax
Membre
Inscription : 23-02-2019
Messages : 32

Re : Petite suite de premiers

Bonjour,
La suite 6k+-1 (raison 4 + 2) n'est pas gratuite. Elle donne toutes les paires, et nous savons déjà qu'elle est infinie. Les jumeaux premiers deviennent seulement une particularité de la suite, comme d'ailleurs d'autres sous-ensembles de cette même suite (premiers, jumeaux composés, ...). Je pense que la solution tient seulement à une comparaison judicieuse de ces différents sous-ensembles.
Merci pour les tests.

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