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#1 17-02-2019 15:24:38

yannD
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Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonjour Yoshi,

Démontrer le théorème : dans un triangle, les médianes se coupent au 2/3 de leurs longueurs
à partir du sommet.

Soit un triangle ABC quelconque. On considère M, N et P les milieux respectifs de [AB], [AC] et [AP] et [BC].
1. Que représentent [CM] [BN] et [AP] respectivement pour les cotés [AB] [AC] et [BC]
2. [BN] , [CM] et [AP] se coupent en un point G. Placer le point R symétrique du point G par rapport au point P.
Que représente le point P pour le segment [GR] et pourquoi ?

3. En déduire que BG C R  est un parallélogramme.
4. Que pouvez-vous dire alors des droites (BG) et (RC) ? Et donc des droites (GN) // (RC)

Le point N est placé sur la droite (BG) donc (BG)  = (GN)

Considérons BGCR parallélogramme
On sait que (BG) // (RC)

Donc (GN) // (RC)


5. En déduire que G est le milieu du segment [AR].

Considérons le triangle ARC
La question précédente nous a permis de montrer (GN) // (RC)
Ainsi, je peux utiliser le théorème de la droite des milieux pour prouver que G est le milieu du segment [AR]


6. En déduire alors que AG = 2/3 AP.


GP = 1/2 GR
et AG = GR
donc GP = 1/2 AG

AG + GP = AP <=> AG +  1/2 AG = AP <=> AP =

Dernière modification par yannD (17-02-2019 15:44:53)

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#2 17-02-2019 18:19:58

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Salut,

Considérons le triangle ARC
La question précédente nous a permis de montrer (GN) // (RC)
Ainsi, je peux utiliser le théorème de la droite des milieux pour prouver que G est le milieu du segment [AR]

Sur une copie, je te dirais
1. Que tu as su repérer qu'il fallait utiliser l'un des théorèmes de la droite des milieux
2. Mais lorsque tu dis Ainsi, je peux utiliser le théorème de la droite des milieux,
    a) je te réponds non, il y a deux théorèmes, alors lequel des deux ?
    b) tu ne cites pas le ou les milieux que tu utilises.
En gros, tu essaies de noyer le poisson. ? ^_^
Je complète en bleu
AG +  1/2 AG = AP <=> AP = 3/2 AG
Là c'est AP en fonction de AG, l'exercice demande AG en fonction de AP : AG=2/3 AP
Au cas où tu ne voies pas comment on passe de l'un à l'autre, je décompose :
en partant de AP = 3/2 AG, je multiplie les 2 membres par 2 :
2AP = 3AG
je divise les 2 membres par 3 :
2/3 AP = AG

On peut aussi expliquer ça comme ça : j'ai 3/2 AG, je veux AG seul, c'est à dire 1AG.
Par quoi faut-il multiplier 3/2 pour obtenir 1 ? Réponse 2/3.
Donc, en partant de AP = 3/2 AG, je multiplie les 2 membres par 2/3 :
2/3 AP = 2/3 * 3/2 AG = AG

Ce qui a été fait pour la médiane [AP] pourrait être recommencé à l'identique avec les médianes [CM] et [BN], juste en changeant les lettres, et on obtiendrait CG = 2/3 CM, BG = 2/3 BN.
On a donc démontré que  les 3 médianes d'un triangle se coupent aux 2/3 de leurs longueurs à partir du sommet.

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#3 17-02-2019 18:50:40

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Re,

Tiens un petit exo que j'aimais beaucoup, sur les théorèmes de la droite des milieux.
Pas difficile : on n'utilise deux fois le même théorème dans deux triangles différents :
1. il te suffit de trouver lequel des deux
2. Dans quels triangles tu vas l'utiliser. Pour les trouver, tu as intérêt à réfléchir : quand tu auras pigé comment raisonner, ça ira tout seul.
Voilà :
On considère au triangle ABC quelconque, M le milieu de [BC] et I le milieu de [AM].
La droite (CI) coupe [AB] en N.
La parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P.
1. Montrer que N est le milieu de [AP]
2. Montrer que P est le milieu de [NB
3. Déduire des questions précédentes que AN = NP = PB

@+


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#4 17-02-2019 19:35:50

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonsoir Yoshi,

Merci pour l'exo. Je suis en train de faire un dessin, et si j'ai bien compris c'est I qui est le milieu de la médiane [AM] de [BC] partant du sommet A, c'est cela ?

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#5 17-02-2019 20:34:36

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Re,

M le milieu de [BC] et I le milieu de [AM].

Parce que ça ce n'est pas assez clair ? Tu vois une autre solution.
Savoir que [AM] est la médiane ne te servira à rien.
M est un milieu et j'ai pris le milieu de [AM]. Point...

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#6 20-02-2019 16:03:23

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonjour Yoshi, merci pour l'exo, il est chouette ! J'ai fait plusieurs brouillons avant de rédiger les réponses
aux questions :

1. Montrer que N est le milieu de [AP].


190220035107241175.png
Les hypothèses nous apprennent que (CI) coupe [AB] en N
Ainsi N est placé sur (CI)
Donc (CI) = (CN)

Les hypothèses nous apprennent aussi que la parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P
Ainsi P est un autre point de cette parallèle

Donc je peux appeler cette parallèle (MP)

Ainsi les droites (MP) et (CN) sont parallèles et la droite (CN) coupe [AB] [AP] en son milieu.

2. Montrer que P est le milieu de [NB].

Avoir prouver que (MP) // (BC) va me servir à montrer que P est le milieu de [PB] car dans le triangle PBM, on voit bien que (MP) // (BC)

3. Montrer que AN = NP = NB.
Avoir prouver  N milieu [AP] dans la Q2 et avoir prouver que P est le milieu de [PB] va me servir à montrer que AN = NP = PB.
N est le milieu de [AP] <=>   AN = NP
et P milieu de [PB] <=>  NP  = PB
AN = NP et NP = PB  d'où AN = NP = PB.

Dernière modification par yannD (20-02-2019 17:25:39)

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#7 20-02-2019 18:23:19

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Re,

Les hypothèses nous apprennent que (CI) coupe [AB] en N
Ainsi N est placé sur (CI)
Donc (CI) = (CN)

Les hypothèses nous apprennent aussi que la parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P
Ainsi P est un autre point de cette parallèle

Donc je peux appeler cette parallèle (MP)

Ainsi les droites (MP) et (CN) sont parallèles et la droite (CN) coupe  [AP] en son milieu.

Je t'avais expliqué dans l'exercice sur les médianes qu'il dallait ne pas donner l'impression d'essayer de noyer le poisson.
Et voilà que je peux te redire la même chose...

J'attendais :
Par hypothèse N est point de (CI). Donc (IN) et (CN) sont un autre nom de (CI).
Par hypothèse (MP)//(CI) donc (MP//(IN)
Par hypothèse I est le milieu de [AM].
Donc :
Dans le triangle AMP, la droite (IN) qui passe par le milieu I du côté [AM] parallèlement au côté [MP] coupe le troisième côté [AP] en son milieu.
Donc N est le milieu de [AP]

2. On sait que (MP)//(CN).
    Par hypothèse M est le milieu de [BC].
    Donc :
    Dans le triangle CNB, la droite (MP) qui passe par le milieu M du côté [BC] parallèlement au côté [MP] coupe le troisième côté [BN] en son milieu.
    Donc P est le milieu de [BN].

Qu'apprend-t-on de cet exercice ?
Réponse : comment diviser un segment [AB] (par exelple)  en 3 parties égales sans règle graduée...
Dans l'exercice j'ai appelé M le milieu de [BC], là, je vais le faire à partir de M milieu de [AC]
Méthode :
Tracer un segment [AB] de longueur quelconque.
Placer un 3e point C en dehors du segment, joindre [AC] et [BC]...
Avec le compas, placer M milieu de [AC] et I milieu de [BM].
Tracer (CI) qui coupe [AB] en P.
Tracer la parallèle à (CI) passant par M qui coupe [AB] en N :
On a AN=NP=PB.

N-B
Pour tracer la parallèle, 2 méthodes
1. Avec règle non graduée et équerre
2. En traçant un angle $\widehat{AMx}$ égal à l'angle  $\widehat{ACI}$ en utilisant compas et règle non graduée...
   (théorème : si 2 angles sont en position d'angles correspondants et égaux, alors les côtés différents sont parallèles)

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#8 20-02-2019 19:37:37

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonsoir Yoshi, pour la 1) j'ai fait une faute d'intention dans mon raisonnement j'ai dit que (CI) =  (CN) parce que (CI) coupe [AB] en N et je n'ai pas réfléchi ,ici il faut dire (IN) = (CI) parce que c'est (IN) // (MP).

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#9 20-02-2019 20:54:02

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Re,

Etourderie...
Le problème n'est pas là : relis le théorème, relis ce que tu as écrit et compare avec ma conclusion truffée de passages en gras...

@+


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#10 21-02-2019 11:26:23

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonjour Yoshi,  j'ai relu plusieurs fois le corrigé et à chaque fois je me pose la question : mais pourquoi parle t-on de I milieu de [AM] dans les hypothèses ??) . Et il faut bien préciser : I est le milieu de [AM] dans les hypothèses,
Là, pour moi c'est ok, j'ai bien compris l'importance de mettre I milieu de [AM].
Merci beaucoup pour les 2 exercices. ( j'ai bien aimé…)

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#11 21-02-2019 11:54:25

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Salut,

Réponse simple à ton pourquoi :
- une fois, on choisit un triangle dont un côté est [BC] et la droite (MP) est la parallèle passant par le milieu M de [BC] et à l'autre bout il y a un milieu (c'est P),
- une autre fois, on choisit un triangle dont un côté est [AM] et la droite (IN) est la parallèle passant par le milieu I de [AM] et à l'autre bout il y a un milieu (c'est N),.


Maintenant, j'ai un problème (5 questions) à ta disposition (qui me servait de test pour apprécier la compétence en Géométrie... Puis j'en avais trouvé un autre bien plus costaud), où on parle
- de hauteurs dans le triangle,
- de médiatrice,
- de parallélogramme
- de triangles rectangles et de cercle...

En veux-tu ?

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#12 21-02-2019 15:12:24

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Oui !!!!!

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#13 21-02-2019 17:48:33

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Salut,

Bon, voilà...
Un triangle ABC quelconque, est inscrit dans un cercle de centre O. Soient H le point d'intersection des hauteurs du triangle du triangle, D le point diamétralement opposé à A sur le cercle et M le milieu de [BC].
1. Montrer que les triangles ABD et ACD sont des triangles rectangles.
2. Par le point D, on trace la perpendiculaire à (AH) : on obtient le point E. Montrer que le point E est sur le cercle.
3. Démontrer que BDCH est un parallélogramme (Pensez aux côtés parallèles).
4. En déduire que M est le milieu de [HD].
5. En déduire que (BC) est la médiatrice de [HE], puis que E est le symétrique de H dans la symétrie d'axe (BC).

Conseils pour le dessin :
- le compléter petit à petit
- Utiliser la même couleur pour toute la construction à faire avant le 1.
- Trace le triangle ABC de façon à ce que O le centre du cercle soit à l'intérieur du triangle: les tracés seront plus "simples".
- Tu ne dois pas tracer un triangle isocèle ou rectangle  : l'énoncé dit quelconque...

Rappel.
Leçon triangle rectangle et cercle.
Théorème 1 Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle.

Théorème 2 (Réciproque du précédent) : Si un triangle est tel qu'un de ses côtés est le diamètre d'un cercle et que le sommet opposé est aussi  sur le cercle, alors ce triangle est un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le diamètre du cercle.

Par curiosité : avais-tu oublié ?

@+


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#14 21-02-2019 18:13:42

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonsoir Yoshi, merci pour l'exercice, il s'agit de celui qui sert d'évaluation ou bien c'est celui qui le plus difficile ?

Les 2 théorèmes sur le triangle rectangle, ils sont vus aussi en classe de 4e ?

Dernière modification par yannD (21-02-2019 18:20:32)

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#15 21-02-2019 18:20:50

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Re,

Celui-ci c'est un peu de la rigolade par rapport à l'autre...
Réponse à ta 2e question : oui.

@+

Dernière modification par yoshi (21-02-2019 18:21:42)


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#16 21-02-2019 19:06:08

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonsoir Yoshi, j'aurais voulu revenir un chouïa sur le précédent exercice (#6) j'ai mis :  les hypothèses nous apprennent que la parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P donc P est un autre point et je peux donner un nom à cette droite or j'ai vu que dans votre corrigé, on dit directement (MP) // (IN)
C'est à dire sans démontrer que la droite (MP) c'est bien la droite (MP), donc dans une démonstration, on n'est pas obligé de tout détailler ?

Dernière modification par yannD (24-02-2019 16:52:31)

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#17 21-02-2019 20:16:08

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Moi, je fais partie des puristes, donc en général, je détaille le moindre point.
C'est bien de ça dont tu veux parler :

Par hypothèse (MP)//(CI) donc (MP//(IN)

Là, je ne l'ai pas fait et j'attendais la question...
Dans l'énoncé, on dit précisément deux choses :
1. Que (CI) coupe [AB] en N
2. Que la parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P...
Mes collègues considéraient que :
* le point n°1 annonce implicitement que (CI), (CN), (IN) sont une seule et même droite,
* le point n°2 entraîne donc que (MP) est parallèle à (CI), (CN), (IN)

Lors des DM ou des devoirs communs, en bon puriste, je faisais remarquer que l'énoncé ne disait pas explicitement que (MP)// (IN) ou (MP)//(CN) et que cela aurait mérité une ligne pour signaler que de l'énoncé, il résultait que les points C, I et N étaient alignés et donc que (CI), (CN), (IN) étaient une seule et même droite.
Mais je ne poussais pas le purisme dans la correction de mes DM jusqu'à sanctionner cet "oubli" et évidemment donc dans les Devoirs communs où les copies étaient réparties entre nous
Il faut savoir faire la différence entre ce qui est fondamental et ce qui relève du détail, d'un goût personnel...

Ça te va comme réponse ?

@+


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#18 22-02-2019 14:24:37

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonjour Yoshi, oui … merci pour toutes ces précisions mais c'est surtout, (enfin)
si dans l'énoncé, on dit :
La parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P
Moi (dans ma tête ) ça signifie :

1. la parallèle passant par M donc "cette fameuse parallèle dont on ne connait pas le non " a au moins un point P
2. la parallèle coupe [AB] en P donc il y a un 2e point sur cette parallèle
D'où , dans ma démonstration, je fais faire une phrase :
Les hypothèses nous apprennent que la parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P
donc le point P est placé sur cette droite
et je peux lui donner un nom :Ici, c'est (MP).

Voilà…

Alors, est-ce que cette phrase dans la démonstration est inutile ?
(ou carrément inutile)
je pense que oui
parce que dans le corrigé, il n'y a pas cette phrase.

Bon, maintenant je vais me concentrer sur l'exercice que vous m'avez proposé, je vais faire plusieurs brouillons avant de répondre pour pas dire trop de bêtises dans les réponses…
les démonstrations de 4e que je rendais, c'est avec beaucoup de phrases comme ça : le point fait bien partie de la droite parce que … (etc) c'est à dire des phrases et des phrases qui répètent x fois le même thème. la prof avait écrit (une fois en rouge) Et patati , et patata……

Dernière modification par yannD (22-02-2019 14:28:08)

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#19 22-02-2019 14:42:52

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Salut,

Ça, ce serait suffisant :
Les hypothèses nous apprennent que la parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P, donc on peut écrire :
(MP) //(CI).

Si vous écrivez beaucoup, ça devient saoulant pour vous... et c'est donc contre productif.

Maintenant que tu as les idées plus claires, tu peux resserrer les boulons et élaguer un peu ...^_^

@+


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#20 22-02-2019 15:21:54

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

ABC triangle.
M milieu de [AC] et I milieu de [AM]
La droite (CI) coupe [AB] en N.
La parallèle à (CI) et passant par M coupe [AB] en P.

1. Montrer que N est le milieu de [AP]

- > j'ai besoin de montrer que (MP) // (IN) pour avoir N milieu de [AP]

      a) l'énoncé ne me parle pas de (IN)
           donc pour avoir (IN) :

               (CI) coupe [AB] en N donc (IN) et (CN) sont 2 autres noms pour la même droite.

             b) l'énoncé ne me parle pas de (MP)
   
              La parallèle à (CI) passant par M coupe [AB] en P donc N et P sont sur la droite
              et je peux appeler (MP) la parallèle (CI)

              j'élague (un peu) et je mets cette dernière phrase barrée en rouge

je passe directement à :
(MP) // (CI) et (CI) = (IN) donc (MP) // (IN).

Dernière modification par yannD (22-02-2019 15:31:51)

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#21 26-02-2019 14:10:52

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Bonjour Yoshi, comment allez-vous ? je n'ai pas répondu tout de suite aux questions de l'exercice que vous m'avez proposé parce que j'ai mon ordinateur qui bloque un peu et ce sont les vacances et je voulais en profiter un peux…
Aussi j'ai recopié l'énoncé pour mieux le comprendre :

Un triangle ABC quelconque est  inscrit dans un cercle de centre O. Soient H le point d'intersection des hauteurs de ce triangle
et le point D diamétralement opposé à A sur le cercle et le point M est le milieu de [BC]

Pour la construction de la figure :
        a) Le point D est diamétralement opposé au point A sur le cercle et M est le milieu de [BC]
        avec l'outil Symétrie centrale (dessin de trois points alignés) j'ai placé D tel que O soit le milieu de [AD].
         b) Pour le 2e triangle : avec l'outil Polygone, en partant de A, puis en passant par le point d'intersection de [AD] avec le cercle puis par le point C du 1er triangle ABC et je referme  en terminant sur le le point A par un clic
      Voilà, j'ai un 2e triangle ABD.
         J'ai fait pareil pour le  3e triangle.

1. Montrer que les triangles ADC et ADB sont des triangles rectangles.
Tout triangle rectangle inscrit dans un cercle a pour coté l'hypoténuse et le segment [AD] est le diamètre du cercle

2. Par le point D, on trace la perpendiculaire à (AH) : on obtient le point E. Montrer que le point E est sur le cercle
Par hypothèse, la droite passant par le point D est perpendiculaire à (AH)
Par hypothèse, le point E est le point d'intersection de (AH) et de la perpendiculaire passant par D
Donc (DE) est perpendiculaire à (AH)
Il me manque un truc (que je ne trouve pas) pour prouver que E est bien sur le cercle.

3. Démontrer que BDCH est un parallélogramme
Sur le dessin (enfin j'ai refait un autre dessin avec le point D un peu au dessus ),  et je vois bien que le quadrilatère BDCH est un parallélogramme mais je n'arrive pas à prouver (BD) // (CH) et BD = CD

4. En déduire que M est le milieu de [HD]


190226021210467939.png

Dernière modification par yannD (26-02-2019 14:32:18)

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#22 26-02-2019 15:10:57

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Re,

Tu n'as pas eu de chance : modifie ton dessin, ça ne va pas...
Tu n'as pas été surpris par cette phrase : "Par le point D, on trace la perpendiculaire à (AH)" ? tu n'as pas sursauté ?
Avec ton dessin A, D et H sont alignés, tu ne peux pas trouver E...

Laisse B et C en place (et aussi les autres tracés si tu as utilisé Geogebra) et déplace A vers le bas ou vers le haut pour que H ne soit pas sur [AD]...

Tout triangle rectangle inscrit dans un cercle a pour coté l'hypoténuse et le segment [AD] est le diamètre du cercle.

Ce n'est là ni l'un, ni l'autre des deux théorèmes que je t'ai cités...
1. Cela aurait pu être le 1er, s'il ne manquait pas 3 mots qui ont leur importance et un en trop... Lesquels ?
2. Et même si les trois mots étaient là, ta réponse à la question 1 serait fausse...
    On ne t'a donc jamais dit qu'un théorème comporte 2 parties : d'abord les hypothèses, puis la conclusion ?
    Tu commences par : "Tout triangle rectangle..." donc cela veut dire que dans les hypothèses utilisées dans la 1ere question figurent la mention : ABD et ACD sont des triangles rectangles..
    Or si je lis la question posée, je vois : "Montrer que les triangles ABD et ACD sont des triangles rectangles", donc on te demande le prouver, donc tu ne le sais pas, donc tu ne peux pas dire : Tout triangle rectangle....

Question 2. Tu termines par : Donc (DE) est perpendiculaire à (AH)
As-tu répondu à la question ?
Réponse : non.
La question est : Montrer que le point E est sur le cercle.
Sans le point E comment veux-tu faire ?

Question 3. Tu ne peux pas ? Alors relis la question et essaie autre chose...

Pour l'instant reste donc sur la 1ere question et fais quelque chose de correct...

@+


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#23 26-02-2019 15:25:32

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

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#24 26-02-2019 16:03:53

yoshi
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

Salut,

Ça peut aller...
Mais je trouve ABC dangereusement proche d'un triangle isocèle en B :  la hauteur (BH) est un trop près du centre O. Déplace B un peu  vers la gauche en laissant A, C, D où ils sont (veille à ce que H ne soit pas non plus trop près de O)...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#25 26-02-2019 16:22:35

yannD
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Re : Démontrer le théorème :les médianes se coupent aux 2/3 de leurs longue

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Voilà…
J'ai suivi vos conseils.
La hauteur (BH) n'est pas trop proche du centre O
et le centre 0 est assez éloigné du point d'intersection des hauteurs…

Dernière modification par yannD (26-02-2019 16:31:47)

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