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#1 15-02-2019 10:28:32

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Solution fondamentale et convolution

Bonjour
à la fin du cours du produit de convolution, on a la notion suivante sur la solution fondamentale. La définition d'une solution fondamentale est donnée par: soit $f \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$, et soit $A$ une distribution donnée. On dit d'une distribution $w \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ qu'elle est solution fondamentale de $A*w=f$ si $A*w=\delta$.
Puis une autre partie dit ceci: nous allons maintenant voir l'utilité de la notion de solution fondamentale en l'appliquant sur le Laplacien. Nous avons la proposition suivante: on définit la fonction $w$ sur $\mathbb{R}^n$ par les deux expressions suivantes:
1. pour $n =2$: $w(x)= \dfrac{1}{2 \pi} \ln||x||$ et pour $n \neq 2$ on a $w(x)= \dfrac{-1}{(n-2) w_n} . \dfrac{1}{||x||^{n-2}}$,
où $w_n$ désigne la surface de la sphére unité: $w_n= \dfrac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$.
cette fonction $w$ est la solution fondamentale du Laplacien.


Après tout ça, je ne réussi pas à voir l'utilité de la notion de solution fondamentale ni comment on calcule la solution fondamentale. Merci par avance pour toute aide.


Bien cordialement

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#2 15-02-2019 13:38:53

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Solution fondamentale et convolution

Bjr
Pourquoi c'est utile?  Et bien on a une formule explicite de la solution et  au moins on peut travailler avec.
Ensuite pour le calcul de la solution fondamentale c'est pas vraiment difficile.
Mais pour comprendre, le mieux est de commencer avec un exemple simple, i.e   Avec n=1, 
  Résoudre  [tex]u''+u=\delta_0.[/tex]

Dernière modification par aviateur (15-02-2019 13:39:23)

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#3 15-02-2019 17:09:28

mati
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Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Re : Solution fondamentale et convolution

Bonjour aviateur
pouvez vous me détailler la méthode du calcul de la solution fondamentale de l'équation $u'' +u=\delta_0$?

Bien cordialement

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