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#26 13-02-2019 13:02:38

Michel Coste
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Re : Une suite convergente ?

Une version terre à terre (je ne sais pas si elle convient pour des "petits premières") :

Pour $n>4$, on a $$R_n=\frac4{\prod_{k=4}^{n-1} \cos\left(\frac{\pi}k\right)}\;.$$ Les $R_n$ forment une suite croissante. On majore par $$\begin{aligned}R_n&\leq \frac4{\prod_{k=4}^{n-1} \left(1-\frac{\pi^2}{2k^2}\right)}\leq 4\prod_{k=4}^{n-1} \left(1+\frac{\pi^2}{k^2}\right)\leq 4\prod_{k=4}^{n-1} \exp\left(\frac{\pi^2}{k^2}\right)=4\,\exp\left(\pi^2\sum_{k=4}^{n-1}\frac1{k^2}\right)\\
&\leq 4\,\exp\left(\pi^2\sum_{k=4}^{n-1}\frac1{k(k-1)}\right)=4\,\exp\left(\pi^2\sum_{k=4}^{n-1}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)\right) = 4\,\exp\left(\pi^2\left(\frac13-\frac1{n-1}\right)\right)\\
&\leq 4\,\exp\left(\frac{\pi^2}3\right)   \;.\end{aligned}$$

Dernière modification par Michel Coste (13-02-2019 13:16:31)

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#27 13-02-2019 14:23:03

Zebulor
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Re : Une suite convergente ?

Bonjour,
Merci. Peu de chances qu'on fasse mieux comme majoration. Et pas évident en effet pour les "petits premières", d'autant qu'ils sont encore loin d'avoir vu les DL..

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#28 13-02-2019 14:53:26

Michel Coste
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Re : Une suite convergente ?

Il n'y a aucun DL dans l'histoire. ce dont on a besoin, c'est :
1°) Pour tout $x\geq 0$,  $\cos(x) \geq 1-\dfrac{x^2}2$ (classique, en commençant par $\sin(x)\leq x$ et en utilisant la variation des fonctions).
2°) Pour tout $x$ vérifiant $0\leq x \leq 1$,  $ \dfrac1{1-\dfrac{x}2}\leq 1+x$ (facile).
3°) Pour tout $x\geq 0$,  $1+x\leq \exp(x)$ (classique, en utilisant la variation des fonctions).

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#29 13-02-2019 15:18:58

Zebulor
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Re : Une suite convergente ?

Après avoir relu  tes inégalités. Oui.

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#30 13-02-2019 16:30:51

Michel Coste
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Re : Une suite convergente ?

Après vérification, les outils utilisés ici sont ceux de terminale S.

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#31 14-02-2019 08:23:00

Zebulor
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Re : Une suite convergente ?

CCEH a écrit :

En peux trouver depuis la formule que n=PI/arcos(Rn/Rn+1) Donc  Rn/Rn+1 est différent de 1 pour définir le n.
La suite est croissante Donc on a Rn+1/Rn>1 donc la suite est divergente.

Bonjour,

@CCEH : non! ta conclusion sur la divergence de la suite [tex]R_n[/tex] est fausse ! Et c'est toute la subtilité des suites ou séries numériques. Cette suite admet bien une limite finie, strictement positive, et inférieure ou égale à la valeur [tex]4*exp(\pi^2/3)[/tex]du post #26.

Dernière modification par Zebulor (14-02-2019 08:55:06)

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#32 14-02-2019 09:02:48

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Bah pourquoi ?
en math moderne il faut tout définir proprement .
j'ai fait que bien définir le n .

M.cost n'a pas chercher a bien défnir le n dans son démonstration.

#33 14-02-2019 10:04:26

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

En mathématique ou en informatique il faut bien définir les variables avant leur utilisation(n Rn x....)
Dans la démonstration de M.COST il jouent avec un indéterminé de n donc ça démonstration est fausse.

#34 14-02-2019 10:29:29

Michel Coste
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Re : Une suite convergente ?

CCEH, pourquoi t'obstines-tu à polluer ce fil en racontant n'importe quoi ? Il est bien évident depuis le début que $n$ est une variable entière.

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#35 14-02-2019 10:35:10

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Oui il est évident que n soit un variable entier mais il n'est pas évident de voir que si en calcule n ça forme serais indéterminé en Rn/Rn+1 donc ta démonstration est fausse.

#36 14-02-2019 11:03:38

Zebulor
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Re : Une suite convergente ?

@CCEH, je t'inviterais bien à méditer sur le dernier paragraphe de mon post #7 mais je crois que c'est peine perdue .. et que la terre va rester plate, ou devenir un cylindre sans bases d'ici peu de temps.

Dernière modification par Zebulor (14-02-2019 16:52:49)

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#37 14-02-2019 11:06:21

yoshi
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Re : Une suite convergente ?

Re,

donc ça démonstration est fausse.

Ridicule ?
Qui es-tu pour te permettre des affirmations pareilles sans apporter de preuve ?
Lorsque tu pourras présenter des diplômes universitaires équivalent à ceux de M. COSTE, tes affirmations sans preuve mériteront peut-être qu'on s'y attarde...
Ça, c'est du vent :

M.cost n'a pas chercher a bien définir le n dans son démonstration.

et ça aussi :

Dans la démonstration de M.COST il jouent avec un indéterminé de n donc ça démonstration est fausse.

Au passage, il n'y a pas de n dans sa démonstration.

il jouent avec un indéterminé de n

Et ça, c'est quoi ? C'est "jouer avec un indéterminé de n" ?

1. $\forall x\geq 0$
2. $\forall x$ vérifiant $0\leq x \leq 1$,
3. $\forall x\geq 0$,

Après calculs :
$r_{10000}\approx 17.39148920580439$
$r_{1000000}17.399987384754215$
$r_{100000000}\approx 17.400072396469145$
$4e^{\frac{\pi^2}{3}}\approx 107.35729688025171$

Je sais, cela ne constitue pas une preuve, juste une "tendance"...

@+


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#38 14-02-2019 11:14:02

yoshi
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Re : Une suite convergente ?

Re,

Michel Coste a écrit :

CCEH, pourquoi t'obstines-tu à polluer ce fil en racontant n'importe quoi ?

Simple...
Parce que contrairement à nous, il tient ses informations de super mathématiciens extraterrestres qui ont 10000 ans d'avance sur nous !

@CCEH : ou tu tu arrêtes de troller et de nier l'évidence ou, non seulement je vais fermer cette discussion, mais je fermerai systématiquement toute discussion que tu ouvriras et je caviarderai systématiquement tes intervention s dan s toute discussion à laquelle tu participerais...
C'est clair pour toi ? Rien d'indéterminé là-dedans, n'est-ce pas ?

      Yoshi
- Modérateur -


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#39 14-02-2019 11:39:16

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

yoshi a écrit :

Re,

donc ça démonstration est fausse.

Ridicule ?
Qui es-tu pour te permettre des affirmations pareilles sans apporter de preuve ?
Lorsque tu pourras présenter des diplômes universitaires équivalent à ceux de M. COSTE, tes affirmations sans preuve mériteront peut-être qu'on s'y attarde...
Ça, c'est du vent :

M.cost n'a pas chercher a bien définir le n dans son démonstration.

et ça aussi :

Dans la démonstration de M.COST il jouent avec un indéterminé de n donc ça démonstration est fausse.

Au passage, il n'y a pas de n dans sa démonstration.

il jouent avec un indéterminé de n

Et ça, c'est quoi ? C'est "jouer avec un indéterminé de n" ?

1. $\forall x\geq 0$
2. $\forall x$ vérifiant $0\leq x \leq 1$,
3. $\forall x\geq 0$,

Après calculs :
$r_{10000}\approx 17.39148920580439$
$r_{1000000}17.399987384754215$
$r_{100000000}\approx 17.400072396469145$
$4e^{\frac{\pi^2}{3}}\approx 107.35729688025171$

Je sais, cela ne constitue pas une preuve, juste une "tendance"...

@+

Voici la preuve
n=PI/arcos(Rn/Rn+1) je ne peux pas définir n pour Rn/Rn+1=1 car n=PI/arocos(1)=PI/0=+infini .

1. $\forall x\geq 0$
2. $\forall x$ vérifiant $0\leq x \leq 1$,
3. $\forall x\geq 0$

Pour un n=x entier >0 on a jamais  $0\leq x \leq 1$

#40 14-02-2019 11:43:51

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Pardon n=x>1

#41 14-02-2019 12:30:28

yoshi
Modo Ferox
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Re : Une suite convergente ?

Salut,

si en calcule n ça forme serais indéterminé en Rn/Rn+1

1. Pourquoi calculer n ? n est un indice qui un entier naturel >3 aussi grand que tu veux, donc on peut le faire tendre vers l'infini.
2. La suite (Rn) est croissante
3. La suite (Rn) est majorée
4. Toute suite croissante majorée converge
5. Qui a dit que n = x ?
6. [tex]\forall n\in\,\mathbb{N},\; n>4[/tex], $R_n$ n'est plus un rationnel et $R_{n+1}$ non plus
7. Et le rapport [tex]\dfrac{R_n}{R_{n+1}}[/tex] ne fait que tendre vers 1, qui a dit [tex]\dfrac{R_n}{R_{n+1}}[/tex] serait égal à 1 ? tendre vers une limite, ne veut pas dire égal à cette limite.
Si je prends la fonction f telle que [tex]f(x)=\dfrac{x+2}{x}[/tex] définie sur [tex]\mathbb{R}^*[/tex] elle tend vers vers 1 lorsque [tex]x[/tex] tend vers [tex]+\infty[/tex]. Avec ton raisonnement tu prétendrais que c'est faux parce que je ne peux pas trouver $x$ pour $f(x)=1$

@+


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#42 14-02-2019 13:16:48

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Le calcule de n c'est pour voir ou il serais indeterminé .
En informatique qui basé sur des mathematiques en ne peux pas utiliser un variable sans le definir correctement.
En vois bien ici que n n'est pas defini pour Rn/Rn+1 donc Rn/Rn+1#1.

#43 14-02-2019 13:23:38

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Peut etre le probleme viens de la.

Une suite est un peux différente d'une fonction car une fonction peux être continue mais une suite ou l'indice est un entier ne peux jamais être continue.

#44 14-02-2019 13:54:03

yoshi
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Re : Une suite convergente ?

Re,

Et bien vois-tu, ma fonction n'est autre que :
[tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}[/tex] avec [tex]u_n=\dfrac {n(n+1)}{2}[/tex]

TON problème est dans la notion de limite...

@+


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#45 14-02-2019 14:21:02

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Je n'ai pas un probleme pour définir n depuis Un(equation deuxieme degré pour trouver n)donne n bien défini pas comme  le cas de Rn.

#46 14-02-2019 14:26:39

Michel Coste
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Re : Une suite convergente ?

Troll ou bouché à l'émeri ?

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#47 14-02-2019 14:43:06

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Dans un échange d'idée est de contrer l'idée par l'idée pas d'attaquer le personne.
M.cost alors vasy contre mon idee retourne au but d'un echange.

#48 14-02-2019 14:48:30

Michel Coste
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Re : Une suite convergente ?

Où ça une idée ? Ce que tu racontes n'a ni queue ni tête.

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#49 14-02-2019 14:48:48

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Je resume ton demonstration est fausse car ta utiliser un variable n sans definir ses cas indeterminés.

Si ta une idee qui te permet d'utiliser un variable sans voir ca definition aller montre la?

#50 14-02-2019 14:51:51

Michel Coste
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Re : Une suite convergente ?

Je répète, $n$ est une variable entière. Ton discours n'a aucun sens. Alors je répète ma question : troll ou bouché à l'émeri ?

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