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#1 11-02-2019 16:51:44

Aethernalis
Invité

PGCD de polynomes

bonjour,

dans un exercice, j'ai besoin de calculer le pgcd de deux polynômes :

X^n - 1 et (X -1)^n

Je bloque la dessus, je vous remercie d'avance pour votre aide !

#2 11-02-2019 17:48:01

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 133

Re : PGCD de polynomes

voir la réponse

Dernière modification par aviateur (11-02-2019 17:51:01)

Hors ligne

#3 11-02-2019 17:50:18

Aethernalis
Invité

Re : PGCD de polynomes

est ce interdit de poster une question sur plusieurs forums ?

#4 11-02-2019 17:55:21

Aethernalis
Invité

Re : PGCD de polynomes

je pense que la solution est X-1

en développant (X-1)^n on a uniquement des diviseurs polynomiaux de la forme (x-1)^k avec 0<k<n+1
or x^n -1 = x^n -1^n = (x-1)(1+x+...x^(n-1))

donc j'ai l'impression que X-1 se simplifie mais que l'on ne peut pas diviser le second membre par (X-1)^k


mais comment est ce que je prouve que (x-1)^k ne divise pas (1+x+...x^(n-1) pour k>1 ?

#5 11-02-2019 17:55:41

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 133

Re : PGCD de polynomes

Il y des spécialistes qui postent simultanément la même question sur des forums différents. Il m'est déjà arrivé plusieurs fois de passer 1/4h ou 1/22 h pour répondre alors que plusieurs autres personnes ont passés du temps aussi à fournir la même réponse.
Bref on n'est pas des prestataires de services.!

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#6 11-02-2019 18:33:16

Aethernalis
Invité

Re : PGCD de polynomes

rien de vous oblige a me répondre, et de plus, je ne vais pas laisser une question sur un forum si je réussi a l'obtenir, je fais juste en sorte d'avoir plus de visibilité, je ne comprends pas la raison de votre mécontentement...

la question ne vous est pas spécifique, même sur ce forum les gens peuvent chercher simultanément, il se pourrai que vous cherchiez 1/2h et qu'une autre personne poste un message avant vous, donc je suis un peu surpris de votre réaction...

#7 11-02-2019 18:42:06

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 133

Re : PGCD de polynomes

Si tu ne comprends pas ça prouve que tu ne comprends rien.

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#8 11-02-2019 18:44:15

Aethernalis
Invité

Re : PGCD de polynomes

bon, j'ai trouvé !

je ne vous remercie pas, je pensais trouver ici des gens plus aimables...

bonne soirée à vous

#9 11-02-2019 18:52:51

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 133

Re : PGCD de polynomes

Aethernalis a écrit :

bon, j'ai trouvé !

je ne vous remercie pas, je pensais trouver ici des gens plus aimables...

bonne soirée à vous

Elle  est bonne celle là.

Dernière modification par aviateur (11-02-2019 18:54:52)

Hors ligne

#10 12-02-2019 19:47:06

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 7

Re : PGCD de polynomes

bonjour,
Il est clair que  [tex]x-1[/tex]  divise à la fois  [tex] (x-1)^n[/tex]  et  [tex] x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1) .[/tex]
Pour montrer que  [tex] x-1 [/tex] est bien le pgcd cherché , il suffit de prouver que  [tex] x-1 [/tex] ne divise pas
[tex] x^{n-1}+x^{n-2}+...+ x+1[/tex], ce qui s'obtient en faisant la division euclidienne de [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex]
par [tex]x-1[/tex], dont le résultat est donné par :
[tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = (x-1)(x^{n-2}+2x^{n-3}+3x^{n-4}+4x^{n-5}+...+(n-3)x^2+(n-2)x+n-1) + n [/tex],
(formule qui se vérifie facilement en développant) .
Le reste de la division étant le terme constant non nul n, on a bien le résultat voulu .

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#11 14-02-2019 18:03:57

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 7

Re : PGCD de polynomes

bonjour,
Voici une autre façon de prouver que  [tex]x-1[/tex] ne divise pas  [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex], par la méthode des coefficients indéterminés .
Par l'absurde, supposons que [tex]x-1[/tex] divise [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex] :  il existe alors un polynôme de la forme :
[tex]x^{n-2}+k_{n-3}x^{n-3}+k_{n-4}x^{n-4}+...+k_1x+k_0[/tex]    tel que :
[tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = (x-1)(x^{n-2}+k_{n-3}x^{n-3}+k_{n-4}x^{n-4}+...+k_1x+k_0)[/tex] .
En développant, on obtient :
[tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = x^{n-1}+(k_{n-3}-1)x^{n-2}+(k_{n-4}-k_{n-3})x^{n-3}+...+(k_1-k_2)x^2+(k_0-k_1)x-k_0 .[/tex]
Par identification des coefficients, on a d'abord:  [tex]k_{n-3}-1 = 1[/tex]  d'où  [tex]k_{n-3}=2[/tex],  puis  [tex]k_{n-4}-k_{n-3} = 1[/tex] d'où  [tex]k_{n-4} = 3[/tex];
par itérations on obtient finalement  [tex]k_1=n-2[/tex] et enfin  [tex]k_0=n-1[/tex];  mais on arrive à une contradiction,
puisque, d'après le développement, le coefficient [tex]k_0[/tex] doit valoir [tex]-1[/tex] .

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#12 14-02-2019 23:12:42

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 7

Re : PGCD de polynomes

bonsoir,
Encore un procédé pour prouver que  [tex]x-1[/tex] ne divise pas  [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex] :
si c'était le cas, alors  [tex]x-1[/tex] diviserait aussi  [tex](x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)  +  (x-1) =[/tex]
[tex]=x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+2x = x(x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2)[/tex],  d'où  [tex]x-1[/tex] diviserait
[tex]x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2[/tex] ;
ensuite,  [tex]x-1[/tex] diviserait aussi  [tex](x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2)+2(x-1)=[/tex]
[tex]=x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^2+3x = x(x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+3)[/tex],  d'où [tex]x-1[/tex] diviserait
[tex]x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+3[/tex] ;
en continuant ainsi, on arrive à ce que  [tex]x-1[/tex] doive diviser  [tex]x+n-1[/tex] : absurde .

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#13 Hier 17:19:44

Deugard
Membre
Inscription : 28-12-2018
Messages : 7

Re : PGCD de polynomes

bonjour,
en fait, en théorie élémentaire des polynômes,  [tex]x-1[/tex]  divise le polynôme   [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex]
si et seulement si  1  est racine de ce polynôme;  or :   [tex]1^{n-1}+1^{n-2}+...+1^1+1 = n \neq 0[/tex] ,
on peut alors conclure .

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