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#1 03-02-2019 17:15:24
- Aethernalis
- Invité
matrice inversible
Bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour un exercice concernant les matrices qui me semble non-trivial, le voici :
"Soit a > 0 et M une matrice réelle carré de dimension (n x n) vérifiant :
pour tout entiers i et j tels que 0<i ≠ j<n+1, on a : (M)i,j = a et (M)i,i > a
montrer que M est inversible."
je sais deja que si M est inversible, alors :
1 - l'équation MX = 0 a une unique solution
2 - l'équation MX = B a au moins une solution
3 - l'équation MX = B a au plus une solution
4 - M est équivalent par ligne à la matrice identité
5 - rg(M) = n
(et réciproquement)
j'ai l'impression que la résolution de l'exo se base la dessus, mais à part ça...
merci d'avance pour votre aide !
#2 03-02-2019 19:15:29
- Michel Coste
- Membre
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Re : matrice inversible
Bonsoir,
Tu peux remarquer que $M$ est une matrice symétrique. Tu peux ensuite voir si elle est définie positive.
Pour cela il peut être commode d'introduire la matrice $A$ dont tous les coefficients sont égaux à $a$ (de sorte que $M$ est égal à $A$ plus une matrice diagonale à coefficients diagonaux tous strictement positifs).
J'ai peut-être dit des gros mots dans l'indication que j'ai donnée. Mais comme je ne connais pas exactement ton niveau et ce que tu as déjà vu ....
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#3 03-02-2019 19:46:13
- Michel Coste
- Membre
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 114
Re : matrice inversible
Une méthode plus au ras des pâquerettes : tu sais sans doute que les opérations élémentaires sur les lignes (ou sur les colonnes) ne changent pas le rang d'une matrice ? Une première étape : soustraire la première ligne de chacune des lignes suivantes. ...
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#4 03-02-2019 21:39:11
- Michel Coste
- Membre
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- Messages : 1 114
Re : matrice inversible
Oui, c'est plus direct que ce que je propose.
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