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#1 31-01-2019 11:07:22

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Sobolev et continuité

Bonjour
Soit $m \in \mathbb{N}^\star$. Je souhaite montrer que l'opérateur différentiel
$$
\begin{align*}
A: \sum_{|\alpha| \leq m} (-1)^{|\alpha|} D^{2 \alpha}: H^m(\mathbb{R}^n) & \to H^{-m}(\mathbb{R}^n)\\
u &\to Au
\end{align*}
$$
est une isométrie bijective.

Dans le cours que je lis, on commence par montrer la continuité de $A$. Cela revient à montrer que
$$
\exists C>0, ||Au||_{H^{-m}} \leq C ||u||_{H^m}.
$$
On a $||Au||_{H^{-m}} = \sup_{v \neq 0} \dfrac{|\langle Au,v\rangle_{H^{-m},H^m}|}{||v||_{H^m}}$.
D'où vient cette égalité? Je sais bien que par l'identité canonique: $H^{-m}$ est identique à l'espace dual $(H^m)'$. Donc $Au$ est une application linéaire continue sur $H^m$. On sait aussi que si $f \in \mathcal{L}(E,F)$ alors $||f||_{\mathcal{L}(E,F)}= \sup_{x \neq 0} \dfrac{||f(x)||_F}{||x||_E}$. Mais pourquoi $<Au,v>_{H^{-m},H^m}$ dans la formule de $||Au||_{H^{-m}}$?

Cordialement

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#2 31-01-2019 19:24:35

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Sobolev et continuité

Bonjour
Autant utiliser la transformée de Fourier.

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#3 01-02-2019 17:48:32

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Re : Sobolev et continuité

Bonjour Aviateur, on n'a pas encore vu la transformée de Fourier.

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