definition convergence d'une suite

Michel Coste · 27-01-2019 23:58:32

OK pour le #15.

Quant au "Soit $a>0$ fixé, je ne savais pas trop ce que tu avais en tête. Quand on rencontre ce genre de phrase dans un texte mathématique, il y a souvent (pour ne pas dire toujours) quelque chose qui précède et qui explique où on va. Typiquement, on veut démontrer "Pour tout $a>0$, il se passe machin". On dit "Soit $a>0$", et on démontre qu'il se passe machin sans faire aucune autre hypothèse sur $a$.

Dernière modification par Michel Coste (28-01-2019 08:45:44)

Zebulor · 28-01-2019 08:01:55

En écrivant "Soit [tex]a>0[/tex]", j'avais en fait en tête "Soit [tex]a>0[/tex] quelconque fixé".

Merci pour ce précieux éclairage du post #26...susceptible d'intéresser du monde..

Dernière modification par Zebulor (28-01-2019 08:26:31)

Zebulor · 28-01-2019 10:41:41

J'ai en tête, depuis mon post #1 une variante de la définition d'une suite convergente, dont l'esthétique est certes contestable, dans un seul but de réflexion :

On dit qu'une suite [tex](u_n)[/tex] tend vers [tex]l[/tex], si à tout nombre [tex]\varepsilon[/tex] [tex] \in]0;10^{-450}[[/tex] on peut faire correspondre un entier [tex]N[/tex] tel que :

[tex]n \ge N[/tex] [tex]\Longrightarrow |u_n -l|\le \varepsilon[/tex].

Dernière modification par Zebulor (28-01-2019 11:26:11)

Michel Coste · 28-01-2019 11:07:32

Je suppose que le "que" est en trop ?
C'est bien équivalent à la définition de "la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$".

Zebulor · 28-01-2019 11:26:52

Rebonjour,

je viens d'enlever le "que" pour une meilleure lecture..

Zebulor · 28-01-2019 15:45:02

Pour creuser encore le sujet je médite sur une autre variante qui fait apparaître les quantités infiniment petites et infiniment grandes, qui peut faire s'interroger sur la nature de la correspondance entre [tex]N[/tex] et [tex]\varepsilon[/tex]:

On dit qu'une suite [tex](u_n)[/tex] tend vers [tex]l[/tex], si pour tout [tex]\varepsilon[/tex] [tex] \in]0;10^{-450}[[/tex]

[tex]n \ge N[/tex] [tex]\Longrightarrow |u_n -l|\le \varepsilon[/tex], dès que [tex]N>10^{300}[/tex]

Dernière modification par Zebulor (28-01-2019 15:55:17)

Michel Coste · 28-01-2019 16:48:20

Là, ça ne va plus.

Zebulor · 28-01-2019 18:40:32

En effet… la suite de terme général [tex]u_n=\frac{1}{n}[/tex] en est un contre exemple..

Zebulor · 29-01-2019 13:47:23

Bonjour,

Rebonjour, après avoir relu l'ensemble de ces posts je reviens au premier:

On dit qu'une suite [tex](u_n)[/tex] tend vers [tex]l[/tex], si à tout nombre [tex]\varepsilon >0[/tex] on peut faire correspondre un entier [tex]N[/tex] tel que :
[tex]n \ge N[/tex] [tex]\Longrightarrow |u_n -l|\le \varepsilon[/tex].

A la première lecture j'ai interprété cette phrase ainsi : "Soit [tex]\varepsilon >0[/tex] quelconque fixé. Alors on peut faire correspondre un entier [tex]N[/tex] tel que : [tex]n \ge N[/tex] [tex]\Longrightarrow |u_n -l|\le \varepsilon/2[/tex].

Michel Coste · 29-01-2019 13:58:57

"quelconque fixé" : quel sens ? "Soit $\epsilon$ un réel strictement positif" ne suffit-il pas ?
"on peut faire correspondre" : quel sens ? "Correspondre" me semble porter l'idée de plusieurs valeurs de $\epsilon$ et de valeurs de $N$ correspondantes, l'idée d'une fonction qui à $\epsilon$ fait correspondre $N$. Mais tu as fixé $\epsilon$.

C'est ça le problème : dans la phrase originale, $\epsilon$ est une variable muette, liée par la quantification universelle. Tu retires la quantification universelle, et on perd le sens.

Zebulor · 29-01-2019 15:52:58

"Soit [tex]\varepsilon [/tex] un réel strictement positif" : n'est ce pas équivalent au point de vue du sens à : "soit [tex]a>0[/tex] fixé" de mon post #12 dont tu me dis au post #13 que c'est une quantification peu claire ?

Pour le mot "correspondre" :j'y attribue le même sens que toi.

"Soit [tex]\varepsilon>0 [/tex] quelconque fixé" : ça aussi on peut le lire en entête de certains exercices. Même si je pense avoir bien compris ce que tu m'écris dans ton post #26. Au moins [tex]\varepsilon>0 [/tex] est fixé et on sait qu'il ne bouge pas!!

L'essentiel est en effet de bien s'entendre sur le sens qu'on donne aux mots, et de choisir une fois pour toutes le formalisme qui convient.

Je retiens [tex]\varepsilon[/tex] est une variable muette qui ne dépend de personne y compris [tex]n[/tex], que par conséquent [tex]\varepsilon/2[/tex] l'est aussi, que ces deux variables peuvent prendre n'importe valeur strictement positive, dans la définition d'une suite convergente de ton post #2.

Dernière modification par Zebulor (29-01-2019 16:29:01)

Michel Coste · 29-01-2019 16:27:50

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ce que tu écris.

"Pour tout $\epsilon >0$ ... " : la variable $\epsilon$ est liée (donc muette) dans toute la portée du quantificateur "Pour tout".

"Soit $\epsilon >0$. ..." : la variable $\epsilon$ est une variable libre dans le paragraphe ouvert par cette déclaration.

Zebulor · 29-01-2019 16:31:20

Variable libre... variable liée.. oula. Je vais regarder ça de plus près. Je ne pensais pas qu'on pouvait distinguer entre 2 types de variables..

Dernière modification par Zebulor (29-01-2019 16:37:00)

Zebulor · 30-01-2019 09:13:26

Pour essayer de mieux faire comprendre ce que j'ai écrit dans mon post #36 :

Je regardais la proposition de ton post #2 qui donne une définition d'une suite convergente vers [tex]l[/tex].

Dans cette proposition, il n'y a pas de relation de dépendance entre la variable muette [tex]\varepsilon[/tex] et la variable elle aussi muette [tex]\varepsilon/2[/tex] qui majore le terme [tex]|u_n-l|[/tex] : à la place de [tex]\varepsilon/2[/tex], on pourrait choisir une variable muette [tex]\alpha[/tex] positive quelconque.

Et toujours dans la proposition de ton post #2, on peut remplacer [tex]\varepsilon/2[/tex] par [tex]\varepsilon/2^n[/tex], ou choisir une variable muette [tex]\alpha[/tex] positive qui dépend de [tex]n[/tex].

Dernière modification par Zebulor (30-01-2019 09:24:54)

Michel Coste · 30-01-2019 11:21:05

Zebulor a écrit :

Dans cette proposition, il n'y a pas de relation de dépendance entre la variable muette [tex]\varepsilon[/tex] et la variable elle aussi muette [tex]\varepsilon/2[/tex]

$\epsilon/2$ n'est pas une variable ; c'est un terme où figure la variable $\epsilon$.

Zebulor a écrit :

Et toujours dans la proposition de ton post #2, on peut remplacer [tex]\varepsilon/2[/tex] par [tex]\varepsilon/2^n[/tex], ou choisir une variable muette [tex]\alpha[/tex] positive qui dépend de [tex]n[/tex].

Sûrement pas !!

J'ai l'impression que c'est la confusion complète dans ta tête, et je crains d'y avoir contribué.

Zebulor · 30-01-2019 11:26:26

Etrangement cette définition ne me posait pas de question quand j'étais étudiant..

Zebulor · 31-01-2019 10:45:04

Rebonjour,
confusion mentale partielle il est vrai, qui ne serait que momentanée, suite à la lecture du post #37, sur lequel je méditerai plus tard. Je ne peux te laisser dans cet inconfort psychologique car d'une part tu crains d'y avoir contribué, ce sont les risques du métier; et d'autre part tu as fait preuve d'une patience de Sioux. Alors je poursuis :

Donc OK pour ton post #40, pour l'emploi du mot "terme" plutôt que "variable" par souci du respect du formalisme mathématique. Et sutout OK pour ce [tex]\varepsilon/2^n[/tex].

Toujours dans la définition d'une suite convergente de ton post #2, on peut par contre majorer [tex]|u_n-l|[/tex] par [tex]\varepsilon/M[/tex], où [tex]M[/tex] est une constante strictement positive. Et à chaque constante [tex]M[/tex] correspond une constante [tex]N[/tex] de cette définition.

Merci à toi!

Dernière modification par Zebulor (03-02-2019 11:30:36)

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