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#1 13-01-2019 19:52:42

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

inégalité et norme

Bonjour
Soit $K$ un compact et soit $\varphi \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R})$. Soit $m \in \mathbb{N}$. Je cherche à montrer que
$$
||\varphi||_{H^m(K)} \leq C P_{K,m}(\varphi).
$$
Par définition, $||\varphi||_{H^m}= \sqrt{\sum_{|\alpha| \leq m} ||D^{\alpha} \varphi||^2_{L^(K)}}$.
On a
$$
||D^\alpha \varphi||^2_{L^2}= \displaystyle\int_K |D^{\alpha} \varphi|^2 dx \leq mes(K)(\sup_{x \in K} |D^{\alpha} \varphi|)^2
$$
donc
$$
\sum_{|\alpha| \leq m} ||D^{\alpha} \varphi||^2_{L^2} \leq \sum_{|\alpha| \leq m} mes(K) (\sup_{x \in K} |D^{\alpha} \varphi|)^2.
$$
Que faire avec cette somme? Elle me perturbe.

Bien cordialement

Dernière modification par mati (13-01-2019 19:54:07)

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#2 13-01-2019 22:04:35

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : inégalité et norme

Bonsoir,

Qu'est ce que $P_{K,m}$ et $C$ ?
Soit bien précis car sinon, on ne peut pas te répondre...

Roro.

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#3 13-01-2019 22:17:51

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Re : inégalité et norme

$P_{K,m}(\varphi)= \sup_{x \in K, |\alpha| \leq m} |D^{\alpha} \varphi(x)|$ et $C$ est une constante positive strictement. Merci de m'aider s'il vous plaît.

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#4 13-01-2019 22:30:48

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : inégalité et norme

Re-bonsoir,

Si $P_{K,m}$ est défini comme tu le dis, je ne vois pas trop où tu vois une difficulté. La somme est une somme finie, tu peux donc majorer chacun de ces termes à l'aide de $P_{K,m}$...

Roro.

Dernière modification par Roro (13-01-2019 22:33:35)

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#5 13-01-2019 22:47:56

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Re : inégalité et norme

Mais donc ça nous donne combien de termes? S'il vous plaît.

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#6 13-01-2019 22:56:12

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : inégalité et norme

Si tu comprends ce que tu écris, c'est évident :
D'après ce que je lis, tu es en dimension $1$ puisque tu écris $\varphi \in \mathcal D_K(\mathbb R)$.
Que signifie donc pour toi $\sum_{|\alpha|<m}$ ?
Si tu sais répondre alors tu auras ton résultat...

Roro.

Dernière modification par Roro (13-01-2019 22:56:32)

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#7 13-01-2019 23:12:38

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Re : inégalité et norme

Non je n'arrive pas à comprendre par quoi majorer cette somme. C'est une somme sur $\alpha$ où$\alpha$ est un entier naturel et $m$ doit être fixe par exemple $m=2$. Donc $\sum_{|\alpha| \leq m} (\sup_x |\D^{\alpha} \varphi|)^2 = (\sup|\varphi'| + \sup|\varphi'| + \sup|\varphi'')^2$. C'est ça?

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#8 14-01-2019 07:41:56

Roro
Membre expert
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Messages : 1 552

Re : inégalité et norme

Oui. Si $m=2$ tu as donc $3$ termes...

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