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#1 03-12-2018 17:41:15

mati
Membre
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Partition de l'unité

Bonjour
le théorème de la partition de l'unité dit ceci:
soit un compact $K$ de $\mathbb{R}^n$ et soit $(\Omega_j)_{j=1,...,n}$ une famille d'ouverts de $\mathbb{R}^n$ tels que $K \subset \cup_{j=1}^n \Omega_j= \Omega$. Alors il existe $\varphi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ avec $j=1,...,n$ tels que:
1. $\forall j=1,...,n: 0 \leq \varphi_j \leq 1$

2. $\sum_{j=1}^n \varphi_j=1$ au voisinage de $K$.

Ma question est: en pratique à quoi sert ce théorème de la partition d'unité?

Cordialement

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#2 03-12-2018 18:55:13

Michel Coste
Membre
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Messages : 1 095

Re : Partition de l'unité

À recoller des choses fabriquées sur chacun des ouverts $\Omega_j$.

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#3 03-12-2018 19:49:19

mati
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Messages : 133

Re : Partition de l'unité

Vous pouvez me donner un exemple? S'il vous plaît.

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#4 03-12-2018 22:13:20

mati
Membre
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Messages : 133

Re : Partition de l'unité

Je m’intéresse à la démonstration de ce théorème. Ça commence par ceci.
Soit $(\Omega_j)_j$ une famille d'ouverts de $\mathbb{R}^n$ et soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^n$ tel que $K \subset \bigcup_{j=1}^n \Omega_j$. Alors d'après un théorème du cours, il existe des compacts $(K_j)$ tels que $K_j \subset \Omega_j$ pour tout $j=1,\ldots,n$ et $K \subset \bigcup_{j=1}^n K_j$.
En appliquant le lemme d'Urysohn sur $K_j$, il existe $\psi_j \in\mathcal{D}(\Omega_j)$ telle que : $0 \leq \psi_j \leq 1$ et $\psi_j=1$ sur un voisinage $K'_j$ de $K_j$ (on choisit ce voisinage ouvert).
Jusque là c'est bon, après je ne comprends pas le reste de la démonstration.
D'un autre côté, on a $V= \bigcup_{j=1}^n K'_j$ un voisinage ouvert de $K$ et on remarque que $\sum_{j=1}^n > 0$ sur $V$.
Puis il existe $\theta \in \mathcal{D}(V)$ tel que $\theta=1$ sur un voisinage $W$ de $K$.
Remarque que $1-\theta(x)= \psi_0(x)= 1$ si $x \in \complement V$ et $0$ si $x \in W$. et que $1-\theta$ n'est pas une fonction test.
On pose maintenant $\varphi= \dfrac{\psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i} \in \mathcal{D}(\Omega_j),\  j=1,\ldots,n$.
On remarque que $\sum_{i=0}^n \psi_i > 0$ car pour $x \in V$ on a $\sum_{j=0}^n \psi_j = \sum_{j=1}^n \psi_j + \psi_0 > 0$ et si $x \in \complement V$ alors $\psi_0=1$ et donc $\sum_{j=1}^n \varphi_j = \dfrac{\sum_{j=1}^n \psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i}$ est bien défini.
On remarque que pour $x \in W$ on a $\psi_0 =0 \implies \sum_{j=1}^n \varphi_j =1$ en sachant que $W$ est un voisinage de $K$.

Je ne comprends pas pourquoi on a introduit la fonction $1-\theta=\psi_0$ pourquoi on l'a écrit sous la forme $1-\theta$ et je n'arrive pas à comprendre la suite logique de ce raisonnement.
Merci par avance de m'aider à démêler tout ça.
Cordialement.

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#5 04-12-2018 15:35:09

mati
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Re : Partition de l'unité

personne ne peut m'aider à comprendre cette preuve? svp

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#6 04-12-2018 20:11:24

mati
Membre
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Messages : 133

Re : Partition de l'unité

Pourquoi on ne peut pas s'en sortir sans $\psi_0$?
On peut dire que par Urysohn il existe $\psi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ tel que $0 \leq \psi_j \leq 1$ et $\psi_j=1$ au voisinage $K'_j$ de $K_j$ (on peut prendre ce voisinage ouvert). On remarque que $V= \bigcup_{j=1}^n K'_j$ est un voisinage ouvert de $K$ et on a alors $\sum_{j=1}^n \psi_j > 0$ sur $V$. Il suffit alors de poser $\varphi_j= \dfrac{\psi_j}{\sum_j \psi_j}$ qui satisfait que c'est une fonction test sur $\Omega_j$ et sa somme vaut 1 sur $V$ un voisinage de $K$. Donc pourquoi chercher à construire la fonction $\psi_0$ ?

Cordialement.

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