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#1 23-11-2018 15:24:28

yannD
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Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Bonjour

J'ai refait le dessin du poly que l'on nous a donné, puisque les autres forums exigent que tout l'énoncé soit recopié y compris la figure, alors je fais pareil ici et je n'ai pas fait un simple scan.
donc voici l'énoncé :

Voici trois figures dans un repère orthonormé du plan :

181123031417198565.png

1. Donner les coordonnées des points de chacune des figures.
2 . Démontrer que   le triangle ABC est rectangle isocèle.
3. Démontrer que DEFG est un carré et en déduire les coordonnées de H.
4. Déterminer les coordonnées de I centre du cercle de diamètre [JK] et
démontrer de deux façons différentes que JKM est un triangle rectangle.
figure 1
A = (-5;-1) ; B = (-4;4) ; C = (-1;3)

figure 2

D = (-3;3) ; E = (0;5) ; F = (2;2) et G = (-1;0)

pour le cercle

I = (2;3) J = (4;5) et K = (5;4)



2. Montrer que ABC est isocèle rectangle

Un triangle isocèle a deux cotés équidistants donc de même longueur, avec la formule vu en cours, je vais pouvoir
calculer deux longueurs de ce triangle et les comparer pour montrer que celles-ci sont bien égales

calcul de la distance de BC = racine carré ( xB - xC) - (yB + yC) = racine carré ( -4 - (-1) - ( 4 + 3)

calcul de la longueur de BA = racine carré ( xB - xA) - (yA +yC) = raciné carré ( -4 - (-5) - (1 + -1)
et arrivé là, je bloque un peu au niveau du calcul de la racine carré



3. Montrer que DEFG est un carré

Bon là, c'est encore plus simple, je calcul toutes les longueurs, par exemple la longueur DE, la longueur EF
la longueur FG et la dernière longueur
puis je compare les longueurs et si toutes les longueurs sont égales et bien c'est Ok.

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#2 23-11-2018 17:27:43

yoshi
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Re,

Coordonnées : ok, à ceci près que sur le dessin figurent les points J, M et K et tu me donnes les cordonnées des points I, J et K
I --> J, J --> M, K d'accord...

calcul de la distance de BC = racine carré ( xB - xC) - (yB + yC) = racine carré ( -4 - (-1) - ( 4 + 3)

La bonne formule est :
[tex]BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}[/tex]

Pour t'en souvenir, ce n'est rien d'autre que l'utilisation du théorème de Pythagore...
Regarde :
depuis B tu traces la parallèle à l'axe des ordonnées et depuis C la parallèles à l'axe des abscisses. Elle se coupent en R.
Le triangle BRC est rectangle en R. D'après le théorème de Pyhagore :
[tex]BC^2=ZC^2+ZB^2[/tex]  et [tex]ZC^2=(x_B-x_C)^2\;;\; ZB^2=(y_B-y_C)^2[/tex]
Alors [tex]BC^2=(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2[/tex]
Enfin :
[tex]BC=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}[/tex]...
Donc tous tes calculs sont à refaire. Désolé...
[tex]BC=\sqrt{(-4-(-1))^2+(4-3)^2}=\sqrt{(-4+1)^2+1^2}=\sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}[/tex]
Cela dit pourquoi t'embêter avec les racines carrées ?
Tu calcules AB², AC², BC²...
Puis pour H : c'est le centre du carré donc le milieu des diagonales.
Puis
1. Tu vérifies que AB² = BC²  ---> ABC isocèle de base [AC]
2. Tu compares AB²+BC² avec AC², tu dis que c'est égal et que d'après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est rectangle en B.

Le carré, je te renvoie à "l'arbre généalogique" que je t'avais fait : 4 côtés de même longueur, c'est seulement un losange !
Tu dois encore vérifier : diagonales de même longueur ou un angle droit (par ex $\widehat{EDF}$) avec la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle DEF (par ex) .
Je te conseille la 2e solution (1 calcul de moins puisque tu as déjà calculé DE² et EF²)

Quant aux coordonnées de H : il y a une formule pour ça, celle qui donne les coordonnées du milieu d'un segment.

Triangle JMK (dans le cercle).
1ere méthode : réciproque de Pythagore.
Calcul de JK²
Calcul de JM² et KM² puis de JM²+MK²
Comparaison de JM²+MK² avec JK²
Conclusion : égalité.
Donc d'après la réciproque...

2e méthode : il y en a plus que 2, je vais te donner la plus économique (+courte, moins de calculs donc moins de risques d'erreur).
Qu'est-ce qu'un cercle ?
C'est l'ensemble des points équidistants d'un même point appelé centre
Cette distance commune est le rayon, la plus grande corde se nomme diamètre. le centre est le milieu du diamètre.
Diamètre et rayon ont deux sens ; celui du segment et celui de sa longueur.

Bon revenons à nos moutons.
Appelle S (par ex) le milieu de [JK]. La position des points et la forme de l'exercice font que je suis sûr que [JK] est un diamètre.
Tu vas calculer les coordonnées de S, puis la longueur JK (même si tu l'as déjà fait en méthode 1 : tu feras un copier/coller) et enfin des longueurs SJ, SK et SM : tu pourras vérifier alors que S est le centre du cercle et [JK]un diamètre.
Et là, tu as un théorème (encore de 4e) qui dit  (adapté à ta figure) :
si un point M appartient à un cercle de diamètre [JK], alors le ttriangle JMK est un triangle rectangle en M.

@+


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#3 23-11-2018 17:52:10

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Bonjour et merci de répondre si viiiiiiiiiiiite !!!!!!!!!

oui, l'énoncé explique que la première figure est tracée avec les points A, B et C puis c'est la 2e figure, le carré, avec les points D,E,F,G et H le milieu des diagonales, puis, sur le dessin, c'est bien le point J, le point K et  le point M pour les 3 points du cercle d'ailleurs pour faire le dessin avec géogebra j'ai pris l'icône cercle passant par 3 points : dessin d'un cercle avec 3 points dessus, je sais pas si c'est ce qu'il fallait faire pour le dessine .
le prof passe de D,E,F, G, H à  J,K,M et pas de D,E,F, G à I, J, K
en fait on saute une lettre de l'alphabet, et c'est ce qui explique mon erreur d'interprétation, j'ai mis I = (2;3) alors qu'en fait I n'existe pas, ici
et je dois lire J = (2;3) puis K = (4,5) et M (5;4) c'est sans doute un piège tendu par le prof ...

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#4 23-11-2018 19:07:51

yoshi
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Re,


je dois lire J = (2;3) puis K = (4,5) et M (5;4) c'est sans doute un piège tendu par le prof ...

Pourquoi donc un piège ?

Pour le dessin avec Geogebra, je ne suis pas allé voir ce que tu as fait exactement...
J'aurais :
* Placé J, K, M
* Sélectionné point milieu ou centre et placé le milieu de [JK]
* sélectionné  l'outil cercle (Centre-point) = cliqué sur le milieu ci-dessus, puis sur un point (J, K, ou M n'importe lequel).

Apparemment tu as dû utiliser l'option ellipse ; le cercle n'est qu'un cas particulier d'ellipse.

Bon, ce n'est pas tout ça...
Tu dois corriger tes calculs et faire ce que je t'ai dit (sauf si tu as une idée que tu penses meilleure).
En résumé, exercice avec beaucoup de calculs (toujours le même ; calcul de longueur...)

@+


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#5 23-11-2018 19:34:05

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

je n'arrive toujours pas à corriger mon calcul, et j'ai beau cherché mais je ne sais pas comment placer le point Z pour avoir BC.

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#6 23-11-2018 20:35:43

yoshi
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Re,

Normal, c'est de ma faute :
j'avais d'abord Z, puis je me suis ravisé et je l'ai nommé R et je n'ai pas tout corrigé : :-(
Donc tu lis :
[tex]BC^2=RC^2+RB^2[/tex]  et [tex]RC^2=(x_B-x_C)^2\;;\; RB^2=(y_B-y_C)^2[/tex]

Toutes mes excuses.

@+


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#7 23-11-2018 21:30:37

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

oui, je vois
vous êtes parti d'un exemple avec R, plutôt une démonstration avec R :  on trace une parallèle à l'axe des ordonnées et une parallèle à l'axe des abscisses et l'intersection donne R
et après , en pensant à autre chose, on ne se rappelle plus que l'on a choisi R, ça m'arrive très souvent ce genre d'erreurs, et je perds souvent des points.
mais ça me rassure , parce que j'ai cherché pas mal de temps , mais pourquoi ce point Z ?
je ne comprenais plus rien au truc ....

Dernière modification par yannD (23-11-2018 21:35:43)

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#8 23-11-2018 21:38:25

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

en fait, je comprends rien à cette formule , je vois pas pourquoi fait-on xB - xC au carré

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#9 23-11-2018 22:17:01

yoshi
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

[tex]x_B=-4[/tex]
[tex]x_C=-1[/tex]
Alors le carré de la distance entre $x_B$ et $x_C$ est [tex](x_B-x_C)^2=(-4-(-1))^2=(-4+1)^2=(-3)^2=9[/tex] : ça, c'est ce que j'ai appelé $RC^2$

[tex]y_B=4[/tex]
[tex]y_C=3[/tex]
Alors le carré de la distance entre $y_B$ et $y_C$ est [tex](y_B-y_C)^2=(4-3)^2=1^2=1[/tex] : ça, c'est ce que j'ai appelé $RB^2$...
Et si tu fais le dessin avec le point R tu vois bien BRC est rectangle en R, que [BC] est l'hypoténuse donc que pour trouver BC on utilise le théorème de Pythagore :
[tex]BC^2=RC^2+RB^2=9+1 = 10[/tex]
La formule vient de là : on l'utilise pour ne pas avoir à refaire tout ça : gain de temps.
On calcule simplement :
[tex]BC^2=(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2[/tex] sans avoir à utiliser un point supplémentaire....


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#10 24-11-2018 16:27:01

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Bonjour

Bien du mal à comprendre …… (soupir)

BRC est rectangle en R,ainsi [BC] est l'hypoténuse donc pour trouver BC, j'utilise le théorème de Pythagore $BC^2 = RB^2+ RC^2$

alors c'est $RC = x_R - x_C $  $=>$ $RC² = (x_R - x_C)^2$ et c'est $RB = y_B - y_C$  $= >$  $RB^2 =  (y_R - y_C)^2$

j'ai besoin du carré de la distance entre $x_R$ et $x_C$ et pas du carré de la distance entre $x_B$ et $x_C$

Dernière modification par yannD (24-11-2018 18:04:05)

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#11 24-11-2018 16:35:37

yoshi
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Re,

R et B étant sur la parallèle  à l'a


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#12 24-11-2018 16:41:18

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

je trace une parallèle à l'axe des ordonnée passant par le point  B puis je trace une parallèle à l'axe des abscisse par le point C, ces deux droites se coupent en R
Ainsi, BRC est un triangle rectangle
je cite le théorème de Pytagore , la somme des cotés de l'angle  = hypoténuse
et [BC] est l'hypoténuse
donc pour avoir BC
je fais $RC$ = $x_R$ - x_C
et je fais $RB$ = $y_B$ - y_C par ce que c'est le sens du haut vers le bas ( lancer de balle )

Dernière modification par yannD (24-11-2018 16:42:53)

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#13 24-11-2018 16:44:29

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

ah… à moins de prouver que $x_B$  = $x_R$
et là, je peux utiliser $x_B$ pour $x_R$

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#14 24-11-2018 17:09:21

yoshi
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Re,

R et B étant sur la parallèle  à l'axe des ordonnées, n'as-tu pas l'impression  que [tex]x_R=x_B[/tex] ?
R et C étant sur la parallèle  à l'axe des abscisses, n'as-tu pas l'impression  que [tex]y_R=y_C[/tex] ?
Et donc que les coordonnées de R sont donc [tex]R(x_B\;;\;y_C)[/tex]  ?
Alors
$RC = x_R - x_C = x_B-x_C$
$RB = y_R - y_C = y_B-y_C$
181124050527506346.png


@+
[EDIT] Tu as trouvé plus vite que je n'ai pu poster...

Dernière modification par yoshi (24-11-2018 17:10:27)


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#15 24-11-2018 17:39:33

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

c'est aussi une solution pour trouver les coordonnées d'un point sachant que … …

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#16 24-11-2018 17:48:02

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Voyons si j'ai compris …

Je pars de mon  triangle ABC et je veux calculer BC

Pour cela, je trace une droite parallèle à l'axe des ordonnées (∆) et passant par le point B, je trace une droite  (∆') paralléle à l'axe des abscisse mais passant par le point C, de façon à obtenir un angle droit par ce que j'ai dans l'idée d' utiliser le th de Pythagore …


Non, ça va pas, je vais plutôt dire :

je pars de mon triangle ABC et je veux calculer BC

et là, je me dis : et bien je connais le théorème de Pythagore
et comment pourrais-je l'utiliser , ici ?

si je trace une droite ∆ paralléle à l'axe des ordonnées et passant par le point B et une droite ∆' parallèle à l'axe des abscisse , l'intersection me donne un point et ....

Dernière modification par yannD (24-11-2018 17:59:09)

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#17 24-11-2018 18:13:38

yoshi
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Re,

Non, ça va pas, je vais plutôt dire :

Je veux calculer BC, je vais donc utiliser la formule donnée en, cours :
[tex]BC =\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}[/tex]
Cette formule résulte de l'utilisation du théorème de Pythagore, voilà pourquoi il y a des carrés.

Maintenant que tu le sais, tu n'as plus qu'à la savoir par cœur, pour pouvoir l'appliquer : je te montre  chaque fois que c'est profitable, ce qu'il y a derrière les formules : moi, lorsque j'étais Lycéen, c'est ce que je cherchais systématiquement à savoir, parce que j'avais remarqué qu'il était plus facile de savoir comment faire, si on savait le pourquoi de ce comment...
Ce que Rabelais disait déjà en écrivant :
Science sans conscience n'est que ruine de l'âme...

@+


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#18 24-11-2018 19:28:58

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

oui, il y a Montaigne aussi, j'aime bien aussi… nous avons lu des textes de Gargantua de François de Rabelais, ouvrage en cinq livres et le premier se nomme Gargantua et les autres Pentagruel.

ma prof de math nous a fait cette démonstration que je n'avais pas compris jusqu'à cet après-midi181124064124304097.png

Démonstration :

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$BC = x_B - x_A$ et $BC^2 = (x_B - x_A)^2$.

$AC = (y_A - y_B )^2  = (y_B - y_A)^2$.

On a bien $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$


ce que je remarque :

ici, on a calculé $AB = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$ c'est à dire la longueur AB mais abscisse de en premier, soit de la gauche vers la droite.

et  le post #2 ( triangle BRC rectangle en R ) on a pris $RB^2$ et $RC^2$ et $RB^2$ : c'est le carré de la distance de $x_B$  à  $x_C$ donc abscisse de B en premier

en remplaçant  $RB^2$ par $(x_B - x_C)^2$ : $BC^2 = (x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2$ et c'est  l'abscisse de B en premier

La démonstration du prof c'est l'abscisse de B en premier puis abscisse de A pour la longueur AB) et l'autre démonstration et bien l'inverse, au final, je ne sais pas quel ordre prendre, si j'ai un segment AB qui se lit de la droite vers la gauche , dois-je faire le calcul avec l'abscisse du point qui est à gauche ? ou l'inverse ?

Dernière modification par yannD (24-11-2018 23:30:51)

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#19 25-11-2018 14:26:05

yannD
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Re : Démontrer que ABC est isocèle rectangleet démontrer que DEFG

Bonjour,

La démonstration vue en classe c'est dire que $AB^2 = BC^2 + AC^2$ ainsi la lecture se fait de gauche à droite pour le segment $BC$ et pour le segment $AC$ la lecture se fait du haut vers le bas, on descend de y_A à y_B et pour avoir une formule $BC^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_A+y_B)^2 $

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