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#1 23-11-2018 19:40:10

Nadaloi
Membre
Inscription : 23-11-2018
Messages : 3

Equation dans C

Bonjour, révisant pour un contrôle de mathématique je bloque sur une question

1)Factoriser e(z)=(4-i)(iz+5)-z(z-5i)²

J'ai fait e(z)=(4-i)(iz+5)+i²z(z-5i)(z-5i)=(4-i)(iz+5)+iz(iz+5)(z-5i)=(iz+5)(4-i+iz(z-5i))


2)En déduire les solutions de e(z)=0


La je bloque car je trouve un discriminant avec des i et je sais pas comment on fait.


Merci de votre aide

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#2 23-11-2018 20:29:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Equation dans C

Bonsoir,

Idée bonne, mauvaise réalisation !
[tex]e(z)=(4-i)(iz+5)-z(z-5i)²=(4-i)(iz+5)+i^2z(z-5i)=(4-i)(iz+5)+iz(iz+5)[/tex]
[tex]e(z)=(iz+5)(4-i+iz)=(iz+5)(iz+4-i)[/tex]

Puis, tu as résoudre :
[tex](iz+5)(iz+4-i)=0[/tex]
qui ne devrait pas te poser de pb particulier...

@+


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#3 23-11-2018 20:47:07

Nadaloi
Membre
Inscription : 23-11-2018
Messages : 3

Re : Equation dans C

MErci pour votre réponse mais je ne vois pas où est passé le carré dans la démo

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#4 23-11-2018 21:51:24

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Equation dans C

Arf ! zut...
Mes excuses...
Cela dit, tu es bien sûr que ton carré est dans l'énoncé ?
Je refais.

[tex]e(z)=(4-i)(iz+5)-z(z-5i)²=(4-i)(iz+5)+i^2z(z-5i)^2=(4-i)(iz+5)+z[i^2(z-5i)^2][/tex]
[tex]e(z)=(4-i)(iz+5)+z[i(z-5i)]^2=(iz+5)[4-i+z(iz+5)=(iz+5)(iz^2+5z+4-i)[/tex]

Et c'est cela qui te tourmente :
[tex]iz^2+5z+4-i=0[/tex]
[tex]\Delta = 25-4i(4-i)=25-16i-4=21-16i[/tex]
Alors je comprends et ça me surprend aussi.
Je ne vois pour l'instant pas d'autre solution que de chercher les réels a et b tels que [tex](a-ib)^2 =21-16i[/tex]
[tex](a-ib)^2=a^2-b^2-2i\times ab =21-2i\times 8[/tex]
En identifiant je trouve ;
$\begin{cases}a^2-b^2&=21\\ab&=8\end{cases}$
J'en tire avec a et b $\neq 0$ :  $b=\frac 8 a$ que je reporte dans la première ligne :
[tex]a^2-\left(\frac 8 a\right)^2=21[/tex]
Soit [tex]a^4-21a^2-64 =0[/tex] équation appelée bicarrée...
Normalement arrivé là , on pose [tex]A=a^2[/tex] :
[tex]A^2-21A-64=0[/tex]
Tu vas obtenir 2 solutions réelles A1 et A2comprenant une racine carrée...
Puis tu résous [tex]a^2=A_1[/tex]  et [tex]a^1=A_2[/tex] en prenant garde que A1 ou A2 ne soit pas négatif et tu vas aboutir pour a et b à des solutions avec une racine sus la racine...

Et ça me paraît bien "tordu"... et très inhabituel.

Soit il n'y a pas de carré dans l'énoncé, soit je n'emploie pas la bonne méthode.

Je verrai ça demain ou qq va passer qui aura les idées claires (passage à la forme trigonométrique où à la notation exponentielle ?)
Pour ce soir, je ne suis plus bon à rien...

Je ne crois pas avoir fait de nouvelles erreurs de calcul, mais sait-on jamais !

@°+


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#5 24-11-2018 08:35:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Equation dans C

RE,

On peut faire un poil plus simple et plus court.
Je reprends et je précise...
Je cherche [tex]Z=a+ib[/tex] tel que [tex]Z^2=21-16i[/tex]
J'avais écrit :
$\begin{cases}a^2-b^2&=21\\ab&=-8\end{cases}$
Si je veux absolument trouvez a et b, j'ajoute une égalité : $a^2+b^2=\sqrt{21^2+16^2}=\sqrt{697}$
Mais je confirme qu'il n'y a pas de solution simple...
Le système devient :
$\begin{cases}a^2-b^2&=21\\ab&=8\\a^2+b^2&=\sqrt{697}\end{cases}$

D'où [tex]2a^2=21+\sqrt{697}\; \Leftrightarrow\; a=\pm\dfrac{\sqrt{21+\sqrt{697}}}{\sqrt 2}=\pm\dfrac{\sqrt{42+2\sqrt{697}}}{2}[/tex]

Etc...

Donc je repose ma question  : l'énoncé est-il le bon ?


@+


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#6 24-11-2018 08:58:47

Nadaloi
Membre
Inscription : 23-11-2018
Messages : 3

Re : Equation dans C

Sujet











Je me suis effectivement trompé dans l'énoncé, mais le problème reste toujours là(Exercice 3 1)a))

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#7 24-11-2018 14:44:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Equation dans C

Salut,

Bon, ma foi..., on va faire avec.
Donc, RAS jusqu'à[tex] \Delta=21-16i[/tex]
Là tu as deux solutions...
Soit tu poursuis en écrivant :
[tex]z_1,\;z_2=\dfrac{-5\pm\sqrt{21-16i}}{2i}[/tex]
Et tu ajoutes la solution de [tex]5+iz=0[/tex]

Soit tu t'acharnes (ce que j'ai fait) en cherchant le complexe Z (mais il n'a rien de simple) tel que :
[tex]Z=a+ib[/tex] et tel que [tex] Z^2 = 21-16i[/tex]
[tex](a+ib)^2=a^2-b^2+i\times 2ab=21-16i[/tex]
D'où
[tex]Re(Z^2)=a^2-b^2=21[/tex]
[tex]Im(Z^2)= 2ab=-16\;  \Leftrightarrow\; ab=-8[/tex]
Puis on a
[tex]|Z^2|=|21-16i|\;  \Leftrightarrow\;  |Z|^2= |21-16i|\;  \Leftrightarrow\; |Z|^2=a^2+b^2= |21-16i|\;  \Leftrightarrow\;a^2+b^2=\sqrt{21^2+16^2}=\sqrt{497}[/tex]

D'où le système :
$\begin{cases}a^2-b^2&=21\\ab&=-8\\a^2+b^2&=\sqrt{497}\end{cases}$
Tu additionnes les lignes 1 et 3 :
[tex]2a^2=21+\sqrt{497}[/tex]
D'où [tex]a^2=\dfrac{21+\sqrt{497}}{2}[/tex]
Et [tex] a = \pm\dfrac{42+2\sqrt{497}}{2}[/tex]
idem pour b avec ligne 1 - ligne 3.
Tu vas aussi trouver 2 valeurs...
Ce qui fait 4 complexes Z tel que [tex]Z = a+ib[/tex]
Tu vas pouvoir en éliminer 2 : sachant que ab <0, a et b sont de signes opposés...

Plus la solution de [tex]iz+5=0[/tex]

C'est clair, cette fois ?

@+


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#8 24-11-2018 19:31:46

Black Jack
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Messages : 470

Re : Equation dans C

Bonjour,

Tu as bien fait une erreur de recopie d'énoncé.

Dans l'énoncé photocopié, il y a un terme (4i - 1) ... et toi tu as écrit (4-i)

Mais cela ne donne quand même pas de "jolies" solutions.

En plus de la solution triviale z = 5i ...

Je trouve [tex]\Large{ z = \frac{-5\pm \Delta}{2i}}[/tex] avec [tex]\Delta^2 = 41 + 4i[/tex]

Et donc il faut aussi trouver les racines carrées de 41 + 4i ... c'est sans difficulté mais ne donne pas des valeurs "rondes".

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