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#1 21-11-2018 18:51:04

yoshi
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Résolution d'un système à inconnues complexes

Bonsoir à tous,


Cette discussion ne commence pas très proprement, j'en suis conscient, mais j'ai choisi de privilégier la rapidité...
[EDIT]j'ai commencé à 17 h 00...[/EDIT]

Elle fait suite à celle-ci, ouverte par zebulor  :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 800#p72800
Je commence par la réponse de Dattier au post #8:

Le 21/11/2018 à 10:47:32,Dattier a écrit :

Michel Coste a écrit :

    La méthode proposée par Dattier est inadaptée ici.

Si par inadapter tu dis plus longue : je suis d'accord.
Par contre si tu veux dire insoluble par cette méthode, là je ne suis plus d'accord.
__________________________________________________________________________________
Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

Le 21/11/2018 à 11:00:53, Michel coste a écrit :

Je sais bien qu'on peut travailler avec des systèmes polynomiaux (et pas vraiment avec des résultants ou ton "dgcd").
En Sagemath :
In

A.<x,y,z>=PolynomialRing(QQ,3)
I=A.ideal([x+y+z-11,x^2+y^2+z^2-49, x*y+y*z+z*x-x*y*z])
I.elimination_ideal([y,z])

Out
Ideal (x^3 - 11*x^2 + 36*x - 36) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Rational Field

---------------------

Le 21/11/2018 à 11:05:39, Dattier a écrit :

Ok, regarde un exemple ici, qui se résout avec le dgcd :

http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 428#p69428

PS : il y a pas de honte à ne pas savoir utiliser un outil (n'avoir pas conscience de son usage), le tout c'est de le reconnaître.

Dernière modification par Dattier (Aujourd'hui 11:07:07)
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Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Le 21/11/2018 à 11:12:53, Michel Coste a écrit :

Je t'ai déjà demandé d'expliciter ton calcul sur l'exemple de ce fil. Si tu veux le faire avec ton "dgcd", qu'attends-tu ?

---------------------

Le 21/11/21018 à 22:15:08, Dattier a écrit :

Pour que je mouille la chemise, il faut que tu reconnaisses ne pas savoir faire, si tu sais faire (avec le dgcd) aucun intêret (didactique) pour moi.

Dernière modification par Dattier (Aujourd'hui 11:15:28)
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Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Le 21/11/2018 à11:22:09 Michel Coste a écrit :

Je t'ai montré comment faire en considérant le système d'équations comme un système polynomial général, en éliminant les variables y et z.
Je vois que tu renonces à utiliser ton "dgcd". Pas grave, ça ne présente pas vraiment d'intérêt

---------------------

Le 21/11/2018 à, Dattier a écrit :
Michel Coste a écrit :

ça ne présente pas vraiment d'intérêt

Ok.

Sinon, cela donne quoi avec Sage pour :
$ \begin{cases} x+2y+3z+4t+3xy-2zt = 1 \\ 4x+y+2z+3t+2xy-4zt = 3 \\ 3x+4y+z+2t-xy+zt = -1 \\ 2x+3y+4z+t+4xy+2zt = 2 \end{cases} $

Dernière modification par Dattier (Aujourd'hui 11:26:49)
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Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Le 21/11/2018 à 11:59:29, Michel Coste a écrit :

Que voudrais-tu savoir sur ce système ?
Pourquoi ne le traites-tu pas avec ton "dgcd", en expliquant de quoi il s'agit ?

---------------------

Le 21/11/2018 à 12:22:58, Dattier a écrit :

C'est fait dans le lien que je t'ai donné. Par contre on dirait que Sage t'a laissé en plan.
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Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Le 21/11/2018 à 14:19:38, Michel Coste a écrit :

Non, dans le lien que tu donnes tu n'expliques absolument pas ce qu'est ton fameux "dgcd" ni comment il se calcule.

Et quant à Sage, rassure-toi, il n'a aucune difficulté sur cet exemple. On lui demande d'abord le nombre de solutions du système, comptées avec multiplicité : c'est 4. Pour décrire ces solutions, on calcule une base de Groebner pour l'ordre lexicographique (je peux donner des références, si tu veux). On obtient un polynôme de degré 4 en t à coefficients rationnels dont les racines sont les quatrièmes coordonnées des solutions du système, et des expressions des coordonnées x,y,z des solutions comme polynômes de degré 3 en t à coefficients rationnels. On voit qu'il y a deux solutions réelles et deux complexes conjuguées.
In:

A.<x,y,z,t>=PolynomialRing(QQ,'x,y,z,t',order='lex')
S=[x+2*y+3*z+4*t+3*x*y-2*z*t - 1, \
   4*x+y+2*z+3*t+2*x*y-4*z*t - 3, \
   3*x+4*y+z+2*t-x*y+z*t +1, \
   2*x+3*y+4*z+t+4*x*y+2*z*t - 2 ]
I=A.ideal(S)
print 'nombre de solutions :',I.vector_space_dimension()
G=I.groebner_basis()
print 'base de Groebner :',G
print 'coordonnées t des 4 solutions :'
for sol in SR(G[3]).roots(ring=CC) :
    print sol[0]

Out

nombre de solutions : 4
base de Groebner : [x + 73656/5941*t^3 + 292091/11882*t^2 + 594417/47528*t - 50497/23764, y + 147312/457*t^3 + 292091/457*t^2 + 621837/1828*t - 33131/914, z - 4566672/5941*t^3 - 9054821/5941*t^2 - 19211139/23764*t + 2091139/23764, t^4 + 9269/4752*t^3 + 18775/19008*t^2 - 79/528*t + 17/4752]
coordonnées t des 4 solutions :
0.0303695716548074
0.0946629569491505
-1.03778983332555 - 0.409114123197132*I
-1.03778983332555 + 0.409114123197132*I

On peut comparer avec les résultats que tu donnes sans explication.

PS. Le nombre 4 de solutions n'est absolument pas étonnant. On peut visiblement, par combinaisons linéaires, éliminer les termes du second degré xy et zt dans deux des équations. On se retrouve avec deux équations de degré 2 et deux de degré 1, et Monsieur Bézout nous dit que (pourvu qu'il soit fini) le nombre de solutions comptées avec multiplicité est 4.

Dernière modification par Michel Coste (Aujourd'hui 14:24:02)

---------------------

Le 21/11/2018 à 15:15:40, Dattier a écrit :

Je rappelle pour qui serait impressionné par la tchatche de M.Coste, savoir si un système polynomial (de 2 variables) a oui ou non des solutions entières est un problème indécidable :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Dixi%C3%A … de_Hilbert

PS : je redonne le lien qui définit ce qu'est le dgcd : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=909506#p909506

Dernière modification par Dattier (Aujourd'hui 15:23:46)
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Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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Le 21/11/2018 à 16:11:31, Michel Coste a écrit :

   

savoir si un système polynomial (de 2 variables) a oui ou non des solutions entières est un problème indécidable

Quel rapport avec la choucroute ?
   

je redonne le lien qui définit ce qu'est le dgcd

C'est le pgcd à un facteur constant près ? Il n'est défini que pour les polynômes à une variable à coefficients entiers ? Alors à quoi sert-il ici, que ce soit pour le problème posé au début du fil ou pour le système polynomial que tu as amené (et qui n'a rien à voir avec le sujet du fil) ?

Ça serait pas mal si pour une fois tu écrivais des choses précises et arrêtais de tout mélanger.  Qui tchatche ici ?

---------------------

Le 21/11/2018 à 17:26:16, Dattier a écrit :
Michel Coste a écrit :

Alors à quoi sert-il ici, que ce soit pour le problème posé au début du fil ou pour le système polynomial que tu as amené (et qui n'a rien à voir avec le sujet du fil) ?

$P(x,y)=0$ et $Q(x,y)=0$

$\text{dgcd}_y(P(x,y),Q(x,y))$ dans $\mathbb Z[x]$

Alors le polynôme en $x$, ainsi obtenu donne en ses racines les solutions $x$, chercher.

Michel Coste a écrit :

Quel rapport avec la choucroute ?

Ta tchatche pouvait laisser penser que ce problème est résoluble par un algo.

Dernière modification par Dattier (Aujourd'hui 17:27:55)
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Le 21/11/2018 à  a écrit :

8:32:00, Michel Coste]
Zebulor a eu la réponse  à sa question.

Ce que raconte Dattier n'a aucune cohérence mathématique. Par exemple il prétend donner une définition d'un "dgcd" de deux polynômes de [tex]Z[X][/tex]

donc à une variable, qu'il met en lien, et maintenant il dit l'appliquer à deux polynômes à deux variables.
Bref, inutile de perdre son temps à essayer de discuter avec quelqu'un qui n'est pas cohérent et qui reste dans un flou artistique, sans rien de précis. C'est une perte de temps, et j'ai mieux à faire.

J'arrête sur ce fil.

Dernière modification par yoshi (21-11-2018 19:04:45)


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#2 21-11-2018 20:01:05

Dattier
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Citation M.Coste :  ...et maintenant il dit l'appliquer à deux polynômes à deux variables.

Ce n'est pas difficile pour le dgcd, on prend le degré le plus petit possible, avec le coeff dominant strictement positif le plus petit possible.

Aprés l'important c'est d'avoir un multiple du dgcd, aprés au pire on n'aura un peut plus de racine que ceux souhaité, mais on pourra faire facilement le tri.


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#3 21-11-2018 22:35:57

Michel Coste
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Encore une fois, si tu veux expliquer précisément et clairement ce que tu fais sur l'exemple de système polynomial, fais-le au lieu de tourner autour du pot. Je constate jusqu'ici que ce que tu annonces comme résultat est assez loin du résultat correct.

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#4 22-11-2018 08:58:07

Dattier
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Bonjour,

Je donne un exemple :

xy-1=0 et x^2+y^2-1=0

P(y)(x-1/y)-Q(y)(x^2+y^2-1)=y^2+1/y^2-1

On a les racines de y^4-y^2+1 comme solutions potentielles.

Aprés je ne vois pas ce que tu trouves de difficile dans le dgcd, il suffit d'appliquer l'algo d'Euclide, en n'oubliant de multiplier par le quotient à la fin.

Dernière modification par Dattier (22-11-2018 09:01:14)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#5 22-11-2018 10:07:27

Michel Coste
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Ton exemple est vraiment bidon : remplacer y par 1/x et chasser les dénominateurs !
Tu te gardes bien toujours d'expliquer ce que tu fais pour le système de quatre équations à quatre inconnues que tu as toi-même proposé, et comment tu arrives à tes polynômes de degré 8 et 9, alors que le calcul de base de Groebner (le grand classique pour les systèmes polynomiaux) donne sans problème du degré 4.

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#6 22-11-2018 12:30:29

Dattier
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Je suis désolé d'apprendre que tu ne sais pas appliquer l'algorithme d'Euclide (car ce n'est pas plus difficile que cela).

J'ajoute pour terminer ce sujet, que le dgcd permet de répondre aussi à des questions tel que celle-ci (73-74) :

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=897062#p897062

Je n'ai rien à ajouter sauf à répéter ce que j'ai déjà dit.


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#7 22-11-2018 13:47:54

Michel Coste
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Dattier a écrit :

Je suis désolé d'apprendre que tu ne sais pas appliquer l'algorithme d'Euclide.

Tu me fais bien rigoler. Et je constate que tu te refuses toujours à expliquer quoi que ce soit sur la production de tes polynômes de degré 8 et 9. En tout cas, le fait que tu aboutisses à plus que double le degré sur un exemple somme toute très simple montre que ton histoire (si elle tient debout) est complètement inopérante pour traiter les systèmes polynomiaux.

Et si par hasard tu souhaites apprendre des choses sur l'élimination, le résultant et son rapport avec l'algorithme d'Euclide, tu peux regarder ce petit texte (et en particulier l'exercice 3).

Dernière modification par Michel Coste (22-11-2018 13:52:15)

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#8 22-11-2018 15:23:37

freddy
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Salut les gars,

vous me faites penser à feu les frères ennemis  dans un sketch des Inconnus "Les langages hermétiques" !

Ne voulez vous pas ouvrir un forum pour vous deux seulement, et vous disputer allègrement comme vous le faites depuis un moment ici sur des sujets certes intéressants, mais qui ne servent qu'à entretenir un échange un peu stérile entre vous deux et qui, en résumé, énonce ce que tout le monde a compris : il y en a un qui n'est pas très bon en maths mais continue à penser le contraire et un autre, nettement supérieur, qui n'a de cesse de lui rappeler qu'il est mauvais ? On se dirait dans une cour maternelle avec des petits de moyenne section en attendant la cantine :-) !

Comme ce forum est ouvert à ceux qui ont besoin d'un coup de main, et comme votre attitude consiste plutôt à échanger des coups avec les mains, je propose que vous alliez faire ça ailleurs ou alors, que vous entriez dans une logique plus pédagogique expliquant (et en codant avec Latex, svp), dans chaque cas et sans se renvoyer en permanence la charge de la preuve, en quoi vos méthodes différent (sans passer par des liens Wikipédia inutiles). Là, tout le monde en sortirait grandi, à commencer par le lectorat régulier du site.

Bon courage !

PS : j'ai cru comprendre que l'un des deux a enseigné (ou enseigne encore) dans le supérieur. Je suis alors en droit d'attendre de lui un niveau et une qualité d'intervention qui fassent honneur à la profession.

@yoshi : si tu penses que mon post va un peu trop loin, tu peux détruire ou modérer, mais tu auras compris qu'ils finissent pas m'agacer un peu, les deux zigotos !


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#9 22-11-2018 18:24:40

Dattier
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

@freddy : Je suis peut-être, selon toi nul en math, mais en tous les cas, je reste capable de répondre correctement à une "petite énigme de CM1".

Ceci étant dit, j'aimerais savoir également, pourquoi M.Coste m'a suivit sur ce forum et d'autres, avec comme but de me contredire systèmatiquement, même si des fois il frise le ridicule, comme ici : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=938332#p938332

Et d'autres fois il arrive à ses fins : http://forum.prepas.org/viewtopic.php?p=942805#p942805

Dernière modification par Dattier (22-11-2018 18:29:54)


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#10 22-11-2018 18:31:17

yoshi
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

RE,

@freddy. Je tempère tes propos...
Bin moi, je ne suis pas agacé par les deux ! Et je ne dis pas que Dattier est nul : je lui reconnais un niveau non négligeable... supérieur au mien.
Mais, moi, j'ai conscience de mes limites : il faut savoir raison garder.

A mon sens, si tu es mis en cause par quelqu'un qui prétend que tu ne sais pas faire certaines choses alors que vu ton niveau universitaire, il est évident (pas pour tout le monde, apparemment) que si, et que sont mis en cause ton niveau, voire ton honorabilité (puisque cela revient à suggérer que tu es un imposteur), tu ne peux faire autrement que de répondre sur le terrain...

Cela dit, si j'ai bien compris, nos deux amis sont des adversaires déclarés de longue date (ça ne date de leur présence sur notre forum).
J'approuvais la décision de Michel Coste de laisser son adversaire perché sur son palmier s'égosiller à son aise, mais en bon prof, je pense qu'il ne se sent pas de laisser quelqu'un dans l'erreur...
Mais je crois que c'est quasiment mission impossible...

Tant que le terrain de jeux est le café mathématique, je peux espérer que celui qui est dans l'erreur finisse par aller à Canossa...Ou alors, on fermerait la discussion au bout d'une dizaine de pages :
n'a-t-on pas déjà 15 pages avec $\mathbb{R}$ est dénombrable, presque autant avec Majder alias le Prince des mathématiques qui n'a jamais voulu admettre que sa découverte sur les nombres premiers faisait Pschitt, ou les débats entre Dlzlogic (maintenant hébergé par Dattier) et Leon (qui l'y a rejoint) sur le TCL...

@+


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#11 23-11-2018 18:17:38

Michel Coste
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

@Freddy : j'ai expliqué que le traitement des systèmes polynomiaux se fait classiquement par le calcul d'un base de Groebner de l'idéal engendré par les équations, et j'ai montré ce que ça donnait sur l'exemple proposé par Dattier. Ça permet de voir que la réponse apportée par Dattier (sans aucune précision) est vraiment loin d'être satisfaisante.
J'ai proposé de donner des références (c'est un sujet classique).  Mais visiblement Dattier s'en fout complètement, et je n'ai pas non plus l'impression que ça t'intéresse vraiment. Si ça t'intéresse, dis-le, je peux expliquer en quelques paragraphes de quoi il retourne. Sinon, pourquoi ferais-je l'effort pédagogique que je fais quand j'ai à présenter cette notion à une audience a priori intéressée et venue pour ça ?

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#12 23-11-2018 18:24:42

Dattier
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Bonsoir,

Michel Coste a écrit :

j'ai expliqué que le traitement des systèmes polynomiaux se fait classiquement par le calcul d'un base de Groebner de l'idéal engendré par les équations...

J'ai expliqué que cette méthode ne marche pas tout le temps, en effet le problème est indécidable donc sans méthode générale.

PS : tu reprends tes mauvaises habitudes, n'oublie pas les traditionnelles salutations.

Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (23-11-2018 18:29:45)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#13 23-11-2018 18:28:49

Michel Coste
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Bonsoir,

Quel problème, Dattier ? As-tu remarqué que le fil parle d'un système à inconnues complexes ? Tu mélanges tout, encore une fois, et tu "expliques" complètement de travers.

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#14 23-11-2018 18:35:08

Dattier
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Moi de te rappeller, que ce problème avec les complexes, est NP-complet donc les méthodes générales dont on dispose ne sont pas beaucoup plus efficaces que la force brut, c'est plus clair maintenant ?

Dernière modification par Dattier (23-11-2018 18:35:57)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#15 23-11-2018 18:47:58

Michel Coste
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Peux-tu préciser quel problème est NP-complet, juste pour savoir de quoi tu parles exactement ? Vu que tu mélanges pas mal de choses,  ça ne serait pas inutile.
Qu'est-ce que la "force brute" ?
Pourrais-tu enfin expliquer comment tu arrives à tes fameux polynômes de degré 8 ou 9 sur l'exemple de système que tu as donné ?
La méthode "pas beaucoup plus efficace" des bases de Groebner a traité sans aucune difficulté ce système.

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#16 23-11-2018 18:55:27

Dattier
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Michel Coste a écrit :

1/ Peux-tu préciser quel problème est NP-complet, juste pour savoir de quoi tu parles exactement ? Vu que tu mélanges pas mal de choses,  ça ne serait pas inutile.
2/ Qu'est-ce que la "force brute" ?
3/ Pourrais-tu enfin expliquer comment tu arrives à tes fameux polynômes de degré 8 ou 9 sur l'exemple de système que tu as donné ?
4/ La méthode "pas beaucoup plus efficace" des bases de Groebner a traité sans aucune difficulté ce système.

1/ Le fait de savoir si un système polynomial admet ou non des solutions dans les complexes est un problème NP-complet (si tu ne vois pas pourquoi je développerais).

2/ La force brute se définit dans le cadre de systèmes polynomiales équivalents à un problème Sat, mais dans le cas général, je ne sais pas ce qu'est cet "force brute".

3/ Avec l'algorithme d'Euclide, comme je te l'avais déjà dit.

4/ Le dgcd peut le faire également.

Dernière modification par Dattier (23-11-2018 18:57:01)


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#17 23-11-2018 18:57:34

freddy
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Michel Coste a écrit :

@Freddy : j'ai expliqué que le traitement des systèmes polynomiaux se fait classiquement par le calcul d'un base de Groebner de l'idéal engendré par les équations, et j'ai montré ce que ça donnait sur l'exemple proposé par Dattier. Ça permet de voir que la réponse apportée par Dattier (sans aucune précision) est vraiment loin d'être satisfaisante.
J'ai proposé de donner des références (c'est un sujet classique).  Mais visiblement Dattier s'en fout complètement, et je n'ai pas non plus l'impression que ça t'intéresse vraiment. Si ça t'intéresse, dis-le, je peux expliquer en quelques paragraphes de quoi il retourne. Sinon, pourquoi ferais-je l'effort pédagogique que je fais quand j'ai à présenter cette notion à une audience a priori intéressée et venue pour ça ?

Salut,

bien sûr que ça m'intéresse, ça peut même en intéresser plus d'un ici. T'es une pointure dans ton domaine, je ne comprends pas pourquoi tu perds ton temps avec un gars qui ne veut rien entendre et qui ne comprend pas la moitié de ce qu'il dit.
Donc au lieu de t'emm.... avec lui, explique nous, ça va faire remonter le niveau de la file.
Up to you !


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#18 23-11-2018 18:59:47

Michel Coste
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

@Dattier :
"Il peut le faire". On est en plein sketch de Pierre Dac et Francis Blanche. Je rappelle que malgré mes demandes répétées, on n'a vu jusqu'à présent que tes polynômes de degré 8 ou 9 sortis du chapeau, bien loin de la réponse correcte que le problème est de degré 4.
Je constate aussi que tu n'es absolument pas intéressé par savoir ce qu'est une base de Groebner.

Dernière modification par Michel Coste (23-11-2018 19:00:32)

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#19 23-11-2018 19:00:03

Dattier
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

@freddy : ok, je sors.

Dernière modification par Dattier (23-11-2018 19:00:41)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#20 24-11-2018 00:40:27

Michel Coste
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Re : Résolution d'un système à inconnues complexes

Ce qui suit est extrait de transparents d'une présentation. J'espère qu'il n'y a pas trop de coquilles.

Calculs sur les idéaux

Savoir diviser par les générateurs d'un idéal

$I$ idéal de $\mathbb R[X]$ (une variable !), engendré par $P$. Pour savoir si un polynôme $Q\in \mathbb R[X]$ appartient à $I$ : faire la division euclidienne de $Q$ par $P$, si reste nul OK.
$I$ idéal de $\mathbb R[X_1,\ldots,X_n]$ (plusieurs variables !), engendré par $P_1,\ldots,P_m$. Comment tester $Q\in \mathbb R[X]$ appartient à $I=\langle P_1,\ldots,P_m\rangle$ ? (Ça permettrait par exemple de savoir si $\langle P_1,\ldots,P_m\rangle=\langle Q_1,\ldots,Q_r\rangle$.)
Faire des divisions? Par où commencer? Quel est le terme dominant (de "plus haut degré") de $X^2-3XY+2Y^2-4X+5$ ?


Ordre monomial

Monôme : $X^\alpha=X_1^{\alpha_1}\cdots X_n^{\alpha_n}$ avec $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{N}^n$ (degré total $|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$). Ordre monomial $T$ : ordre total $\leq_T$ sur $\mathbb{N}^n$ tel que
1) $\alpha\leq_T \beta \Rightarrow \alpha+\gamma \leq_T \beta+\gamma$,
2) toute partie non vide de $\mathbb{N}^n$ a un plus petit élément pour $\leq_T$. ou : il n'y a pas de suite infinie strictement décroissante.

Exemples:
1) $T=plex$ (lexicographique pur): $\alpha<_{plex} \beta$ quand pour le premier indice $i$ où $\alpha$ et $\beta$ diffèrent on a $\alpha_i<\beta_i$.
2) $T=deglex$: $\alpha<_{plex} \beta$ quand $|\alpha|< |\beta|$ ou $|\alpha|= |\beta|$ et $\alpha <_{plex} \beta$.

Monôme dominant de $x_1^2x_2+2x_1x_2^3$ pour plex, pour deglex ?


Réduction

Si $T$ est un ordre monomial, On peut diviser $F\in\mathbb R[X_1,\ldots,X_n]$ par $G$. On peut même diviser $F$ par une liste $(G_1,\ldots,G_m)$ (réduire $F$ par $(G_1,\ldots,G_m)$) :
$$ F=A_1G_1+\cdots+A_mG_m+R\;,$$
où $R$ est nul ou bien a un monôme dominant qui n'est divisible par aucun des monômes dominants des $G_i$.

Si le réduit de $F$ par $(G_1,\ldots,G_m)$ est nul, alors $F\in \langle G_1,\ldots,G_m\rangle$.

MAIS : on peut avoir un réduit non nul alors que $F\in \langle G_1,\ldots,G_m\rangle$ !

Exercice : $G_1=X_1X_2+1,\; G_2=X_2^2-1$, $T=plex$, $F=X_2G_1+X_1G_2$. Reduire $F$ par $(G_1,G_2)$


Base de Groebner

Définition : une base $(G_1,\ldots,G_m)$ de $I$ ($=\langle G_1,\ldots,G_m\rangle$) est une base de Groebner pour l'ordre monomial $T$ quand l'idéal engendré par les monômes dominants de $G_1,\ldots,G_m$ contient les monômes dominants de tous les polynômes de $I$ (autrement dit, si $F\in I$, alors son monôme dominant est divisible par le monôme dominant d'un moins un des $G_i$).


Théorème : si $(G_1,\ldots,G_m)$ est une base de Groebner de $I$ (pour $T$), alors $F\in I$ si et seulement le réduit de $F$ par $(G_1,\ldots,G_m)$ (pour $T$) est nul.


Tout idéal a une base de Groebner. Fabrication d'une base de Groebner à partir d'une base quelconque : Syzygies
(terme dominant de $G_i) \times G_j -{}$(terme dominant de $G_j) \times G_i$.
Réduire et ajouter à la base si ça ne se réduit pas à $0$.


Élimination avec Groebner

Problème : $I$ un idéal de $\mathbb R[X_1,\ldots,X_n]$. Calculer $I\cap \mathbb R[X_{\ell+1},\ldots,X_n]$ (élimliner les $\ell$ premières variables). Correspond à la projection de l'ensemble des zéros de l'idéal sur l'espace des $n-\ell$ dernières variables.


Recette : calculer une base de Groebner de l'idéal $I$ pour l'ordre plex, et jeter tous les éléments de la base de Groebner dont le monôme dominant contient une des variables $X_1,\ldots,X_\ell$. Ce qui reste est une base de Groebner de $I\cap \mathbb R[X_{\ell+1},\ldots,X_n]$ pour l'ordre lexicographique.

Escalier, quotient

Les monômes dominant des polynômes de l'idéal $I$ de $\mathbb R[X_1,\ldots,X_n]$ forment un "escalier" $E$ dans $\mathbb N^n$ (pour tout $\alpha\in E$, on a $\alpha + \mathbb N^n\subset E$). Cet escalier a un nombre fini de "coins" qui sont les monômes dominants de polynômes de la base de Groebner.

Les monômes sous l'escalier forment une base (comme espace vectoriel) du quotient $\mathbb R[X_1,\ldots,X_n]/I$ et la base de Groebner permet de donner la classe de n'importe quel polynôme comme combinaison linéaire de ces monômes.

Accès a des informations très utiles : dimension comme espace vectoriel du quotient, dimension de l'idéal, degré, ...

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