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#1 20-10-2018 08:06:05

Lrdb@home
Membre
Inscription : 20-10-2018
Messages : 3

arcs tangents à 2 droites sur points imposés

Bonjour,
J’interviens sur ce site spécialisé afin d’avoir l’avis et une explication de « puriste ».
Le problème est de trouver 2 arcs (ou cercles) de même rayon tangents à 2 droites mais avec les points de tangence imposés.
Lorsque les droites sont parallèles, facile.
lignes parallèles
Mais lorsque elles ne le sont pas, c’est moins évident .. de retrouver le point B, il existe peut être une autre méthode
Ici, on donne A et C sur les droites  a et c uniquement


une piste sur les points de tangence des arcs entre eux

tous les points de tangence des arcs entre eux ( de différents rayons) sont placés sur un cercle

Cela fait suite à une discussion sur un autre forum dont la solution est trouvée, mais étant limité ,  je souhaiterais une démonstration avec des termes mathématiques
Merci d’avance
Laurent

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#2 20-10-2018 09:31:06

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 947

Re : arcs tangents à 2 droites sur points imposés

Bonjour,

Je ne vois pas de présentation très claire de la problématique (situation brute de départ)...
Peut-on avoir le lien vers cet autre forum qui ne t'a pas donné de termes mathématiques ? On gagnerait du temps.
Je ne vois pas le rapport entre le fait que tu sois limité (en quoi ? par quoi,  par le temps ?...) et le besoin de termes mathématiques.
Dans l'attente, ce lien est peut-être susceptible de t'intéresser :
http://debart.pagesperso-orange.fr/seco … ercle.html

@+


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#3 20-10-2018 09:48:43

Lrdb@home
Membre
Inscription : 20-10-2018
Messages : 3

Re : arcs tangents à 2 droites sur points imposés

Bonjour Yoshi,
C'est vrai que ce n'est pas clair
r8dp.jpg
Le but est de retrouver les 2 arcs en vert tangents entre eux, de même rayon et tangents respectivement aux points A et C
Le point de départ est les deux droites
limité car je le suis en géométrie et surtout que je n'arrive pas à en faire la démonstration

Merci pour le lien, je cherche

Dernière modification par Lrdb@home (20-10-2018 09:49:33)

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#4 20-10-2018 11:10:49

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 947

Re : arcs tangents à 2 droites sur points imposés

Re,

Impressionnant...
Donc la situation de départ est celle-ci, si j'ai bien compris :
181020115124904676.png
deux demi-droites $[Ax$  et  $[Cy$ non parallèles et tu veux tracer deux arcs de cercles consécutifs qui soient tangents en A et C aux deux demi-droites.

Je présume que tu souhaites une explication mathématique rigoureuse de la méthode répondant à la problématique ci-dessus ?
J'ai examiné le dessin fourni (ci-dessous) sur le site en lien : respect !
181020122425817159.png
Seulement voilà, je ne comprends rien à ton explication en forme de légende, je cite :
(...) l'ensemble des arcs (même si différents) se rejoignent et forment un arc de cercle. Il suffit de dessiner deux arcs tangents pour retrouver cet arc.
Je suis vraiment désolé mais là je ne comprends plus... Pour pouvoir dessiner l'arc dont tu as besoin, il suffit de tracer deux arcs tangents...
Deux arcs  tangents à quoi ? entre eux ? passant par où, A et C ? A et B (et comment obtiens-tu ton point B et pourquoi ?) ?

@+


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#5 20-10-2018 14:40:09

Lrdb@home
Membre
Inscription : 20-10-2018
Messages : 3

Re : arcs tangents à 2 droites sur points imposés

Re,
C'est moi qui suis désolé,

deux demi-droites [Ax  et  [Cy
non parallèles et tu veux tracer deux arcs de cercles consécutifs qui soient tangents en A et C aux deux demi-droites.
Je présume que tu souhaites une explication mathématique rigoureuse de la méthode répondant à la problématique ci-dessus ?

c'est exactement ça, la cerise est que les rayons doivent être égaux

Je travaille sur logiciel de dao… et donc ça aide beaucoup à trouver une solution mais quand à démontrer, il y  a un monde
Je dessine mon premier arc au pif, (arc tangent au point C , sur la perpendiculaire à [C,y) qui passe par C et donc tangent en C )  ensuite, j’ai la possibilité de tracer un arc tangent à la demi-droite [A x) en un point ( le point A) et tangent à un autre arc, celui que j’ai dessiné à l'instant au pif

Ce qui est assez surprenant, c’est que l’ensemble des points d’intersection des 2 arcs ( qui répondent à : tangents entre eux, l'un tangent à [A x) en A et l'autre tangent à [C y) en C  forment un cercle … , Pourquoi ?
0ns1.jpg
Arc capable ? je l’utilise en topographie

PS: en retrouvant le point B, cela permet de tracer les 2 arcs lorsque les demi droites sont parallèles

Dernière modification par Lrdb@home (20-10-2018 14:51:02)

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#6 20-10-2018 16:51:17

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 947

Re : arcs tangents à 2 droites sur points imposés

Salut,


Ton logiciel de DAO, est-il capable de de tracer une courbe régulière épousant au plus près une courbe tracée à la main ?
A part Autocad (exclu !), quel clone libre peut-on utiliser ? Je viens de télécharger et d'installer Freecad, mais c'est loin d'être intuitif. Je me sers souvent de geogebra, mais ce n'est pas la même chose...
Ca m'intéresse parce que depuis un moment, je me débats pour aider quelqu'un qui veut réaliser des courbes pour une descente de garage, pentue et pas très longue par rapport à sa voiture.
J'ai réussi sur papier à la main, puis à m'approcher mathématiquement des deux premières courbes, j'en suis à la dernière...

Bon, c'était hors sujet...
Revenons à nos moutons.
Tu traces la perpendiculaire (D) en A à $[Ax$ et (D') en C à  $[Cy$
Sur la droite (D) tu choisis arbitrairement un point I, et sur (D') un point I' qui seront les centres de deux arcs de cercle tangents en A et en C  aux demi-droites.
Tu as tracé la première en vert, la 2e en marron. ok !
J'appelle A1 l'intersection du cercle support de l'arc vert et de ton cercle noir, et C1 l'intersection du cercle support de l'arc marron et de ton cercle noir
Les médiatrices de [AA1] et [CC1] se coupent en O.
On a donc OA = OA1 = OC = OC1 = R
Mais là, j'enfonce une porte ouverte...
Je suis parti du  cercle noir existant...
Quels que soient les points A1 et C1 tels que (AA1) et (CC1) ne soient pas parallèles, les médiatrices de [AA1] et [CC1] se coupent...Et il y a une position de A1 ( ou de C1) à tel que le point O est le centre d'un cercle qui passe par A1, A, C, C1 (1).
(Et dans, ce cas, la médiatrice de [AC] passe aussi par O, ce qui se prouve facilement : de (1), j'extrais OA = OC qui suffit à le prouver
Cela veut dire qu'en utilisant les angles orientés (angles de vecteurs), une condition de cocyclicité des 4 points A1, A, C, C1 est :
[tex](\overrightarrow{A_1A},\overrightarrow{A_1C})=(\overrightarrow{C_1A},\overrightarrow{C_1C})[/tex]
cf http://www.capes-de-maths.com/lecons/lecon31.pdf
Il y a quelque chose à creuser là...

Mais comment traces-tu l'arc vert de A1 à C et l'arc marron de C1 à A ?
Si tu connais les points A1 et C ?
Si tu n'as ces points comment les trouves-tu ?
De ces réponses peut dépendre la preuve que ces angles sont égaux...

Arc capable... Pffffiou ! ça doit faire un bout de temps que ça ne s'enseigne plus en Lycée, ça remonte à ma jeunesse (et ça fait un bail...)
Mais à y réfléchir,  le lien présente (théorème 2) une version plus théorique et moderne que celle de l'arc capable (en moins directement utilisable par un non-matheux).

@+


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#7 30-11-2019 14:23:25

Lagrange J M
Invité

Re : arcs tangents à 2 droites sur points imposés

Bonjour
On peut construire le point de tangence des deux arcs sur une droite fixe et sur un cercle  fixe  centré  sur le segment joignant les points de tangence
Le rayon des cercles peut aussi se calculer
Niveau terminale

#8 30-01-2020 09:21:27

Lagrange J M
Invité

Re : arcs tangents à 2 droites sur points imposés

Lrdb@home a écrit :

Bonjour,
J’interviens sur ce site spécialisé afin d’avoir l’avis et une explication de « puriste ».
Le problème est de trouver 2 arcs (ou cercles) de même rayon tangents à 2 droites mais avec les points de tangence imposés.
Lorsque les droites sont parallèles, facile.
https://zupimages.net/up/18/42/egng.jpg
Mais lorsque elles ne le sont pas, c’est moins évident .. de retrouver le point B, il existe peut être une autre méthode
https://zupimages.net/up/18/42/ruep.jpg


une piste sur les points de tangence des arcs entre eux

tous les points de tangence des arcs entre eux ( de différents rayons) sont placés sur un cercle

Cela fait suite à une discussion sur un autre forum dont la solution est trouvée, mais étant limité ,  je souhaiterais une démonstration avec des termes mathématiques
Merci d’avance
Laurent

#9 30-01-2020 09:37:49

Lagrange J M
Invité

Re : arcs tangents à 2 droites sur points imposés

La construction mathematique existe elle fait intervenir une droite fixe qui porte le point de raccordement des deux arcs et un cercle fixe qui porte le même point et qui fait intervenir un barycentre fixe aux points de raccordements des deux droites
Les données fixes analytiques sont les coordonnées fixes des points de raccordements plus la pente fixe de la droite perpendiculaire à la droite inclinée ce qui permet de calculer les coordonnées du point cité de raccordement en fonction du rayon inconnu Il faut donc éliminer ce rayon pour avoir la droite fixe ou le cercle fixe

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