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#1 09-10-2016 13:54:53

LINA MADANI
Invité

Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Bonjour je bloque sur cet exercice de maths, si vous pouviez bien m-aider...

Cet exercice utilise un repere orthonorme.
Demontrer que les points [tex]A (3\,;\,5)[/tex], [tex]B (5+2\sqrt{2}\,;\,3)[/tex],[tex] C (5\,;\,3-2\sqrt{2})[/tex] et [tex]D (7\,;\,1)[/tex] , sont cocycliques et donner les coordonees du centre O du cercle sur lequel ils se trouvaient.

Indication 1 > le centre O du cercle est ici le milieu de deux des 4 points nommes
Indicatios 2 > DES points sont cocycliques lorsqu-ils appartiennent tous  a un meme cercle

merciiiiiii de votre aide

Jai effectuer un graphique et je sais que je dois maintenant calculer
OA=OB=OC=OD avec avec la formule qui donne la distance entre deux points. mais je narrive pas a faire ce calcul ni a trouver les coordonnees de centre

Dernière modification par yoshi (09-10-2016 14:05:55)

#2 09-10-2016 14:05:40

Dlzlogic
Banni(e)
Inscription : 25-04-2016
Messages : 461

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Bonjour,
On vous a donné une indication importante : "le centre O du cercle est ici le milieu des 4 points nommée".
Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ?

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#3 09-10-2016 14:10:51

LINA MADANI
Invité

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

peut etre que O est le milieu du AD
DONC JE dois calculer AD, et puis son milieu !
estce cela ???

#4 09-10-2016 14:13:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Re,

Dlzlogic a écrit :

: "le centre O du cercle est ici le milieu des 4 points nommée".

Non, citation exacte :

LINA MADANI a écrit :

milieu de deux des 4 points nommes

@+


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#5 09-10-2016 14:17:40

LINA MADANI
Invité

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

JE NARRIVE PAS A CROMPRENDRE
lorsque je fais ce calcul j-obtent O (6;2), alors que sur le graphique j-ai (5;3)
quelqun pourrait maider
dautant plus que je nai pas compris comment demontrer que les points sont cocycliques

#6 09-10-2016 14:33:21

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Salut,

Si 4 points A,B,C,D sont sur un même cercle de centre I,  alors IA = IB = IC = ID (= rayon)
Oui, le le centre I est bien le milieu de [AD]
(5 , 3) est juste
Refais ce calcul (Aurais-tu soustrait ?) : [tex]\begin{cases}x_M&=\frac{x_A+x_D}{2}\\y_M&=\frac{y_A+y_D}{2}\end{cases}[/tex]

Calcul par exemple de la longueur MI :[tex]\sqrt{(x_A-x_I)^2+(y_A-y_I)^2}[/tex]

@+


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#7 09-10-2016 15:25:09

LINA MADANI
Invité

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Merci enormement yoshi ! mais le probleme c-est que OAnest pas egal a OB lorsque je fais le calcul

#8 09-10-2016 17:50:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
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Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Bonsoir,

Ton prof appelle O le centre du cercle, il ne devrait pas : O est l'origine des coordonnées et ses coordonnées sont (0 ; 0).
Alors,  oui, [tex]OA \neq OB[/tex].
Mais les coordonnées du centre I sont [tex]I(5\,;\, 3)[/tex] et [tex] A(3\,;\,5)[/tex],  [tex]B(5+2\sqrt 2\,;\,3)[/tex].
Donc bien sûr que si, IA = IB ! La preuve :
[tex]IA^2 =(x_A-x_I)^2+(y_A-y_I)^2 = (3-5)^2+(5-3)^2 = 8[/tex]

[tex]IB^2 =(x_B-x_I)^2+(y_B-y_I)^2 = (5+2\sqrt 2-5)^2+(3-3)^2 = (2\sqrt 2)^2+0= 4\times 2=8[/tex]
161009071448896307.jpg


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#9 10-10-2016 09:40:22

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Bonjour,


[Hors-sujet].
Mais pour ta culture personnelle...
Cette indication-là te fait gagner  du temps :

Indication 1 > le centre O du cercle est ici le milieu de deux des 4 points nommes

Sinon, comment aurais-tu fait ?
1. Le graphique te l'aurait montré. A partir de celui-ci, tu calculais les coordonnées du point I milieu de [AD] et tu calculais de la même façon IA², IB², IC², ID²...
2. Et supposons encore que le centre ne soit pas au milieu, ou que tu n'aies pas pensé au dessin ?
    Il faut que je te raconte une petite histoire... Il m'arrivait souvent; après la leçon de Géométrie sur la médiatrice d'un segment de placer mes ouailles devant le problème ouvert suivant ;
    Je prenais la corbeille à papiers (si pas trop pleine, je la tassais un peu) puis plaquait l'ouverture contre le tableau et traçait à la craie un arc de cercle en suivant le contour.
Puis je reposais la corbeille, et invitait tout mon petit monde à réfléchir à comment en n'utilisant que la règle et le compas, je pouvais retrouver le centre et compléter le cercle
Chacun était invité à procéder de même sur son brouillon avec un objet rond d'une taille suffisante.
La solution est de placer 3 points sur l'arc (fig.1), puis (fig 2)  tracer 2 segments et leurs médiatrices. L'intersection est le centre cherché.
161010104530239411.jpg.
L'idée dans le cas de l'hypothèse dans laquelle je me suis placée est voisine.
Je choisis 3 points disons A, B et D, je calcule les équations des 2 médiatrices, puis les coordonnées de leur point d'intersection I.
Puis je dois encore vérifier que le 4e point, ici C, est sur le cercle et donc calculer IA (par ex) et IC pour les comparer.

Il y aurait d'autres méthodes, mais celle-ci est la plus basique (mais avec plus de calculs).
[Fin du Hors-sujet]

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#10 10-10-2016 13:06:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Salut,

Je voudrais ajouter que quelque chose me chagrine depuis que j'ai posté mon HS, la formulation de la question m'interpelle en effet :

Demontrer que les points A, B, C, D  sont cocycliques ET donner les coordonnées du centre O du cercle sur lequel ils se trouvaient.

Tu es parti bille en tête sur l'indication 1 et, moi, j'ai suivi bêtement...
Nous ne sommes pas les seuls d'ailleurs : http://www.ilemaths.net/sujet-exercice- … 09947.html. Au passage, je trouve ce procédé (le "cross posting") parfaitement insupportable.

C'est le ET qui m'interpelle : à quoi sert la précision : et donner les coordonnées du centre O du cercle (..) si on calcule les distances du centre I aux points A, B, C, D pour monter qu'ils sont cocycliques ? puisque, avec cette méthode, on les a forcément calculées ces cordonnées !!!
Il y a donc quelque chose d'étrange dans ce cas dans la formulation de la question.

Je réfléchis et je ne vois guère qu'une solution accessible avec les connaissances de ce niveau (même si, je vais voir ça, les angles orientés doivent pouvoir servir).
Je vois sur le dessin (et ça, ça m'embête) que [AD] est diamètre...
J'ai donc l'idée de montrer que [tex]\widehat{ACD}[/tex] (par exemple) est droit et d'utiliser ensuite un théorème de 4e : Tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle dont le diamètre est l'hypoténuse de ce rectangle.
Pour l'angle droit, deux méthodes :
1. Utiliser la condition d'orthogonalité de deux vecteurs [tex]\vec V(x\,;\,y)[/tex]  et  [tex]\vec V'(x'\,;\,y')[/tex], [tex]xx'+yy'=0[/tex]
     [tex]A (3\,;\,5)[/tex]  [tex]B (5+2\sqrt{2}\,;\,3)[/tex]  [tex] C (5\,;\,3-2\sqrt{2})[/tex] [tex]D (7\,;\,1)[/tex]

     [tex]\overrightarrow{AC}(5-3\,;\,3-2\sqrt 2 -5)[/tex]  soit  [tex]\overrightarrow{AC}(2\,;\,-2-2\sqrt 2)[/tex]
     [tex]\overrightarrow{DC}(7-5\,;\,1-3+2\sqrt 2-2\sqrt 2)[/tex]  soit  [tex]\overrightarrow{DC}(2\,;\,-2+2\sqrt 2)[/tex]
    d'où
    [tex] 2\times 2+(-2-2\sqrt 2)(-2+2\sqrt 2)=4+(-2)^2-(2\sqrt2)^2=4+4-8=0[/tex]
    Et on recommence avec [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]  et   [tex]\overrightarrow{DB}[/tex]
2. Utiliser la condition d'orthogonalité des deux droites de coefficients durecteurs m et m' : [tex]mm'=-1[/tex]
    [tex]m=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{3-2\sqrt 2-5}{5-3}=\frac{-2-2\sqrt 2}{2}=-1-\sqrt 2[/tex]

    [tex]m'=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{1-3+2\sqrt 2}{7-5}=\frac{-2+2\sqrt 2}{2}= -1+\sqrt 2[/tex]
    et :
   [tex] mm' =(-1-\sqrt 2)(-1+\sqrt 2)=(-1)^2-\sqrt 2)^2=1-2=-1[/tex]
   Et on recommence avec les droites (AB) et (DB).

Que ce soit l'une ou l'autre méthode, j'aurai montré que j'ai 2 triangles rectangles de même hypoténuse et donc inscriptibles dans un même cercle dont le diamètre est l'hypoténuse commune.
Le centre du cercle est le milieu du diamètre [AD] et maintenant, j'en calcule ses coordonnées...

@+


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#11 06-10-2018 10:31:13

Brook
Invité

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Bonjour,
Malgré toutes les choses que vous avez expliquer je n'arrive toujours pas a calculer le milieu du cercle

Aidez moi !

#12 06-10-2018 12:02:16

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 947

Re : Les points cocycliques et coodonnees d-un milieu

Bonjour,

Le centre du cercle est le point I milieu de [AD].
Coordonnées :
$A(3\,;\,5)$
$B(7\,:\,1)$
Par définition les coordonnes $x_I$ et $y_I$ du milieu de [AD] sont :
$\left(\dfrac{x_A+x_D}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_D}{2}\right)$

Soit
$I\;\begin{cases}x_I&=\frac{3+7}{2}=5\\y_I&=\frac{5+1}{3}=3\end{cases}$

Qu'est-ce que tu veux que je fasse de plus ?

@+


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