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#1 05-10-2018 13:40:50

leo0
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Produit des racines

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire la deuxième partie de mon exercice

intitulé : SOMME DES RACINES D ' UN TRINOME

on considère un trinôme de degré 2 a x² + bx + c et son descriminant $\Delta = b² - 4 ac$
on suppose que $\Delta > 0 $ et on note $x_1$ et $x_2$ les deux racines du trinôme.

1 ) Calculer $x_1 + x_2$

j'ai trouvé -b/a en additionnant les formules $\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} $ et $ \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} $

2 ) Calculer $x_1 \times x_2$

3 ) Johan affirme qu'il a trouvé la réponse sans additionner les racines. Comment a t-il fait ?

si le trinôme admet deux racines alors il se factorise

donc $ax² + bx + c = a \left(x - x_1\right)\left(x - x_2\right) = a \left(x² - x\times x_2 - x_1 \times x + x_1 \times x_2\right)$
$ax² + bx + c = a \left(x - x_1\right)\left(x - x_2\right) = a \left(x² - (x_2 + x_1) x + x_1 \times x_2\right) = ax² - a (x_2 + x_1) x + a x_1x_2$
les 2 polynômes $ax² + bx + c $ et $ ax² - a (x_2 + x_1) x + a x_1x_2$ sont égaux, leurs coefficients aussi.

pour $x$ 
l'équation $b = (x_1 + x_2) x$ me donne $x_1 + x_2= \frac{b}{a}$


je bloque sur la 2 )

Ai-je le droit d'écrire ça :
$x_1\times x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} \times \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} = \left( \frac{-b}{2a}  \right)+ \left( \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

Dernière modification par leo0 (05-10-2018 13:42:28)

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#2 05-10-2018 15:12:19

D_john
Invité

Re : Produit des racines

Salut,
1 OK
... et la 2 alors ?     Identité remarquable (a+b)(a-b) = ? !!!
3 non achevée. Dans ton développement tu as bien vu apparaître la somme des racines en revanche tu n'as pas vu leur produit.
A+

#3 05-10-2018 15:31:33

leo0
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Re : Produit des racines

bonjour

avant d'essayer avec l'identité remarquable, j'aimerais continuer le développement

est ce que je peux écrire :

$\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} = \frac{-b}{2a}   + \left( \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)$

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#4 05-10-2018 15:35:33

freddy
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Re : Produit des racines

leo0 a écrit :

bonjour

avant d'essayer avec l'identité remarquable, j'aimerais continuer le développement

est ce que je peux écrire :

$\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} = \frac{-b}{2a}   + \left( \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)$

Oui, bien sûr !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 05-10-2018 16:02:26

leo0
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Re : Produit des racines

Bonjour Freddy , merci également de m'avoir répondu

pour l'identité remarquable, j'ai ma petite idée mais je vais continuer ce que j'ai commencé, d'accord ?



alors, j'ai un produit  ( 2 facteurs ) : $\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} \times \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} $

je peux dire pour la première fraction $\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} = \frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} $

et la  pour deuxième fraction $ \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} = \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

maintenant je fait mon calcul en appliquant double distributivité $ \left(\frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left( \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$

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#6 05-10-2018 17:14:44

freddy
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Re : Produit des racines

Salut,

une petite idée : si $x_1$ et $x_2$ sont racines réelles distinctes de ton polynômes , alors on a $(x-x_1)(x-x_2)=x^2 - (x_1+x_2)x+x_1x_2$

Qu'en déduis - tu par identification ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#7 05-10-2018 17:22:31

leo0
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Re : Produit des racines

j'ai déjà trouvé , regarde  dans mon premier message

$ax² + bx + c = a (x - x_1)(x - x_2) = ax² - a (x_1 + x_2) x + x_1 \times x_2 $

ainsi, les deux polynômes sont égaux par conséquent leurs coefficients aussi

pour x
j'ai une première égalité $ b = -a (x_1 + x_2) $ qui me donne $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$

et pour x°
l'autre égalité me donne $x_1 + x_2 = \frac{c}{a} $

mais ça c'est bon, je sais le faire

Dernière modification par leo0 (05-10-2018 17:29:54)

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#8 05-10-2018 17:40:12

yoshi
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Re : Produit des racines

Re,

Dans son post#1, leo0 a écrit :

l'équation $b = (x_1 + x_2) x$ me donne $x_1 + x_2= \frac{b}{a}$

Non, regarde mieux :
[tex]f(x)=ax^2\quad\quad\quad\quad+\;bx\quad\quad\quad\quad+c[/tex]
[tex]f(x)=a(x_1+x_2)x^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2[/tex]



Dans son post#1, leo0 a écrit :

Ai-je le droit d'écrire ça :
$x_1\times x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} \times \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} = \left( \frac{-b}{2a}  \right)+ \left( \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$

Non !
Mais ça oui :
$x_1\times x_2=\frac{(-b-\sqrt{\Delta})}{2a} \times \frac{(-b+\sqrt{\Delta})}{2a} = \left[\left( \frac{-b}{2a}  \right)+ \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a} \right) + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]$

@+


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#9 05-10-2018 17:45:48

leo0
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Re : Produit des racines

Bonsoir Yoshi

[tex]f(x)=ax^2\quad\quad\quad\quad+\;bx\quad\quad\quad\quad+c[/tex]
[tex]f(x)=a(x_1+x_2)x^2-b(x_1+x_2)x+ax_1x_2[/tex]


j'ai vu que tu as mis des quad dans ta formule , il faut y aller en quad ?

Dernière modification par leo0 (05-10-2018 17:46:15)

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#10 05-10-2018 17:47:44

yoshi
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Re : Produit des racines

Re,

Ça a été à la mode pendant un certain temps...

@+


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#11 05-10-2018 17:54:33

leo0
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Re : Produit des racines

je fais le plein d'essence du quad et je continue

Dernière modification par leo0 (05-10-2018 18:03:05)

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#12 05-10-2018 18:19:12

leo0
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Re : Produit des racines

$x_1 \times x_2 = \left[\left(\frac{-b}{2a} \right)+ \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}  \right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right]$

double distributivité

$ \left[\left(\frac{-b}{2a} \right)+ \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}  \right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a}\right) + \left( \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = \left(\frac{-b}{2a} \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) + \left(\frac{-b}{2a}\right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) + \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}  \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) +\left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)$


premier quotient :

$\left(\frac{-b}{2a} \right) \times \left(\frac{-b}{2a} \right) = \frac{b^2}{4a^2}$

les deux suivants s'annulent et après c'est la racine de $\Delta$ multipliée par elle - même $ \sqrt{x}  \times \sqrt{x} = x $

$\left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \times \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = \frac{-\Delta}{4a^2}$


Finalement

$x_1 \times x_2 = \frac{b^2}{4a^2} + \frac{-\Delta}{4a^2} $

pour faire apparaitre la lettre $c$ je vais dire que $\Delta = b^2 - 4ac$

ça me parait bon ?

Dernière modification par leo0 (05-10-2018 18:29:48)

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#13 05-10-2018 18:28:57

yoshi
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Re : Produit des racines

RE


Et non, c'est faux, et tu aurais dû t'en apercevoir...
Mais je vois que tu aimes souffrir :
$x_1 \times x_2 = \left[\left(\frac{-b}{2a} \right)+ \left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}  \right)\right] \times \left[\left(\frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right])= \left(\frac{-b}{2a}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\cdots$

Il me semble que je t'avais dit avoir seriné durant des années : << Pas la peine de chercher les baffes, elle viennent assez vite toutes seules... >>
Tu as cherché, tu as trouvé !

@+


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#14 05-10-2018 18:34:23

leo0
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Re : Produit des racines

$(A - B) (A + B) = A^2 - B^2 $

$A = \left(\frac{-b}{2a}\right)^2 $

pour B , je dois prendre $ \left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2$

ce qui me fait souffrir , c'est de trouver  $B^2$ (pas évident )

si j'ai $x^2 - k = 0 $

c'est $(x - \sqrt{k}) (x + \sqrt{k}) = 0 $

Dernière modification par leo0 (05-10-2018 18:44:14)

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#15 05-10-2018 19:40:56

yoshi
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Re : Produit des racines

RE,

ce qui me fait souffrir , c'est de trouver  $B^2$ (pas évident )

Allons, allons !
Classe de 4e : $\left(\frac x y\right)^2= \frac{x^2}{y^2}$ ;  $(x \times y)^n=x^n\times y^n$
Classe de 3e : $(\sqrt u)^2)=u$...

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