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#1 15-05-2018 23:22:51
- mati
- Membre
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- Messages : 133
déduire une intégrale de Fourier
Bonjour
j'ai l'exercice suivant
1- Soit $a>0$ et soit la fonction $f$ définie par $f(x)= e^{-ax} \chi_{[0,+\infty[}(x)$. Calculer $Ff$.
2- Soit la fonction $g$ définie par $g(x)= e^{ax} \chi_{]-\infty,0[}(x)$. Calculer $Fg$0
3. Déduire la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 +4 \pi^2 x^2}$.
Pour les questions 1 et 2 je trouve ceci: $Ff(\xi)= \dfrac{1}{i \xi +a}$ et $Fg= \dfrac{1}{a-i\xi}$.
Comment on déduit l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 +4 \pi^2 x^2}$?
J'ai essayé d'écrire que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) . Fg(2 \pi x) dx
$$
et après je bloque pour la suite
Merci par avance de m'aider à achever cette question.
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#2 16-05-2018 05:48:46
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : déduire une intégrale de Fourier
Bonjour
Il faut que tu utilises la formule de Plancherel.
F.
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#3 16-05-2018 19:12:30
- mati
- Membre
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- Messages : 133
Re : déduire une intégrale de Fourier
Alors on dit que
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} Ff(2 \pi x) . Fg(2 \pi x) dx
$$
et par Planchrel
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{a^2 + 4 \pi^2 x^2} dx = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(2 \pi x) . g(2 \pi x) dx.
$$
c'est correct?
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#4 17-05-2018 05:13:22
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : déduire une intégrale de Fourier
Aux eventuelles constantes près (que je n'ai pas le temps de vérifier) oui.
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