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gigot00

Invité

Extension de corps

Bonjour à tous,

S'il vous plaît, on m'a dit que : [tex]\mathbb{R} [j] = \{ \ a+jb+j^2 c \ | \ (a,b,c) \in \mathbb{R} \ \}[/tex] est une extension de corps de [tex]\mathbb{R}[/tex], avec : [tex]j^3 = 1[/tex]. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
Pourquoi aussi : [tex]\mathbb{R} [j] = \mathbb{R} [X] / (X^2 + X+1)[/tex] ?

Merci d'avance.

leon1789

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Re : Extension de corps

Bonsoir

Une indication pour trouver tes réponses :
j est une racine cubique primitive de 1, donc son polynôme minimal est X²+X+1...

gigot008

Invité

Re : Extension de corps

Merci leon1789.  :-)
Oui, c'est vrai : le polynôme minimal de [tex] j [/tex] est [tex]X^2 + X + 1[/tex]. en appliquant directement le cours, on a : [tex] \mathbb{R} [j] = \mathbb{R} [X] / (X^2 + X + 1 )[/tex].
Mais pourquoi : [tex]\mathbb{R} [j][/tex] est une extension de corps de [tex]\mathbb{R}[/tex] ?
Merci infiniment.

leon1789

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Re : Extension de corps

Connais-tu un lien entre l'irréductibilité d'un polynôme P et une qualité de l'anneau K[X]/(P) ?

gigot00

Invité

Re : Extension de corps

Oui, si [tex]P[/tex] est irréductible et [tex] K[X] [/tex] est factoriel, alors [tex](P)[/tex] est maximal, et par conséquent [tex]K[X] / (P)[/tex], est un corps qui contient le corps [tex]K[/tex]. D'où [tex] K[X] / (P) [/tex] est une extension de corps de [tex]K[/tex]. Ainsi, [tex]\mathbb{R} [j] = \mathbb{R} [X] / (X^2 + X+1)[/tex] est une extension de corps de [tex]\mathbb{R}[/tex], non ?

Une autre question, si vous me permettez leon1789 :  :-)

Dans mon cours, on dit :
Soit : [tex]E[/tex] une extension de corps.
On appelle degré de [tex] E[/tex] la dimension de [tex]E[/tex] en tant que [tex]K[/tex] - espace vectoriel. Ce degré sera noté : [tex][ E : K ][/tex].
Soit [tex]a \in E[/tex] un élément algébrique sur [tex]K[/tex] tel que : [tex]E = K[a] = K[X] / (P)[/tex] avec [tex]P[/tex] le polynôme minimal de [tex]a[/tex].
Si [tex]n = \mathrm{deg} (P)[/tex], alors : [tex]E[/tex] est une extension de degré [tex]n[/tex], et [tex]\{ \ 1 , a , a^2 , \dots , a^{n-1} \ \}[/tex] est une base du [tex]K[/tex] - espace vectoriel [tex]E[/tex]. Regarde ici pour me croire : http://www.les-mathematiques.net/b/b/b/node3.php , vers la fin de la page.  :-)
Néanmoins, lorsqu'on prend [tex]\mathbb{R} [j] = \{ \ a+jb+j^2 c \ | \ (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \ \}[/tex], d'après ce que j'ai écris ci dessus, [tex]\{ 1 , j , j^2 \}[/tex] est une base du [tex]\mathbb{R}[/tex] -espace vectoriel [tex]\mathbb{R} [j][/tex], donc de dimension [tex]3[/tex] , or ceci est faux, car : [tex]\mathbb{R} [j] = \mathbb{C}[/tex] est de dimension [tex]2[/tex] en tant que [tex]\mathbb{R}[/tex] - espace vectoriel, et non : [tex]3[/tex], non ? est ce que donc ce qui est écrit sur le lien çi dessus est faux ? c'est à dire le lien : http://www.les-mathematiques.net/b/b/b/node3.php , vers la fin de la page.  :-)

Merci d'avance.

Fred

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Re : Extension de corps

Hello

  Comme tu l'as toi même remarqué, (1,j,j^2) n'est pascune base de l'espace vectoriel que tu considères car la famille est liée.

F

gigot00

Invité

Re : Extension de corps

Merci Fred.
Donc, ce qui est écrit sur ce lien que j'ai mis est faux, non ? Mais, si c'est faux, tous les cours que je trouve sur le net disent la meme chose. Regarde aussi ici : https://www.math.univ-toulouse.fr/~reversat/galois.pdf , page [tex]3[/tex] par exemple. Ou bien je n'ai pas encore compris l'idée ? Où est le problème ? Qu'est ce que je comprends pas exactement ?
Merci d'avance.

Fred

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Re : Extension de corps

Non c'est toi qui a faux. La dimension est bien 2 puisqu'une base est (1,j).

gigot00

Invité

Re : Extension de corps

Merci Fred.  :-)

Pourquoi s'il vous plaît :

$ \mathbb{R} [j] = \{ \ a+jb+j^2c \ | \ (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \ \} \simeq \mathbb{R} [ i ] = \{ \ a'+ib' \ | \ (a',b') \in \mathbb{R}^2 \ \} $ ? est ce que cet isomorphisme est canonique ?

Merci infiniment pour votre aide.  :-)

Fred

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Re : Extension de corps

Parce que les deux sont égaux à $\mathbb C$!!!!
Qu'est-ce que ça veut dire un isomorphisme "canonique"???