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babsgueye

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Preuve de la conjecture de Goldbach

Bonjour.
Je décide quand même de poster ma preuve de Goldbach, et attends les critiques pour déceler d'éventuelles failles.

Remarque: On a le résultat suivant:

-- On sait évidemment que si p est premier, $2p = p + p$ vérifie Golbach.

-- On a aussi que pour n donné: si $p$ et $p_1$ sont premiers non facteurs de $2n$ tels que; $p_1$ est le plus petit nombre premier non

facteur de $2n$, et $1 < 2n − p < p_{1}^2,\:$ alors $\:2n − p = p′$ est premier.

C'est à dire que $2n$ vérifie Goldbach.

Démontrons maintenant la conjecture.

Le postulat de Bertrand dit que: $\forall n\geq 2,\:$ il existe un nombre premier entre $n$ et $2n$.

On sait aussi ''par Euler'' que l'application: $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\longrightarrow (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ qui à $p\rightarrow n - p$ est bijective.

Soit maintenant $G_{r_{n}} = \{p_{i},\:1\leq i\leq r_{n} / \:p_{i}\:\textrm{ est un nombre composé premier avec $2n$ et inférieur à $2n$}\}$.

En d'autres termes $G_{r_{n}}$ est l'ensemble des éléments de $(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^{\times}$ qui sont composés.

S'il existe $n\geq 2$ tel que $G_{r_{n}} = \emptyset$, on voit aisément que Goldbach est vérifiée pour $2n$, car

$(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^{\times}$ est donc composé que de nombres premiers (et par la bijection citée ci-haut).

Pour $n\geq 2$ donné, supposons qu'il existe $r_{n}\in \mathbb{N^*}$ tel que $G_{r_{n}} = \{p_{i}\}_{\{1\leq i\leq r_{n}\}}$.

Si dans $]\!]2n - p_{i+1}; 2n - p_{i}[\![$ pour un $i\in [\![1; r_{n}-1]\!],\:$ il existe un nombre premier $p$, alors $2n - p = p'$ est

premier; et alors $2n$ vérifie Goldbach.

Et sinon, cela voudrait dire que dans $[\![2n - p_{r_{n}}; 2n - p_{1}]\!]$, il n'y a de nombre premier autre que dans

$\{2n - p_{i}\}_{\{1\leq i\leq r_{n}\}}.\:(\star)$

$(\star)$ signifie que Goldbach n'est pas vérifiée pour $2n$.

Mais si $(\star)$, quitte à réarranger les $p_{i}$,

il existe $r'_{n}\leq r_{n}\:\textrm{avec}\:G_{r'_{n}} = \{p_{i}\}_{\{1\leq i\leq r'_{n}\}}$

tel que: $\prod_{i=1}^{r'_{n}}(2n - p_{i}) = \prod_{i=1}^{r'_{n}}q_{i}\:(\star\star)$

où les $q_{i}$ sont les nombres premiers de $(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^{\times}$.

Mais $\prod_{i=1}^{r'_{n}}(2n - q_{i}) = \prod_{i=1}^{r'_{n}}p_{i}\:(\star\star\star)$ qui est un produit des nombres premiers de

$(\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z})^{\times}$ inférieurs à $n$.

Mais on a, en fait $\prod_{i=1}^{r'_{n}}(2n - p_{i}) = \prod_{i=1}^{r'_{n}}(2n - q_{i})\:(\star^{\star})$ par égalité deux à deux des

écarts à $2n$ dans les deux produits. Mais cette dernière égalité est contradictoire par ; $(\star\star)\:\textrm{et}\:(\star\star\star)$,

car l'un des produits contient un nombre premier supérieur à $n$ d'après le postulat de Bertrand, et l'autre n'en contient pas.

D'où $(\star)$ n'est pas possible, et donc Goldbach est vérifiée pour ces $2n,\:n\geq 2$

cqfd

Je dis enfin qu'on peut se passer du postulat de Bertrand, en remarquant que le membre de gauche de l'égalité $(\star^{\star})$ a au

moins deux fois plus de facteurs que le membre de droite, qui en fait ne contient pas de facteur carré; d'où le résultat par l'absurde.

cqfd

Cordialement

Dernière modification par babsgueye (28-04-2018 20:28:46)

Dattier

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Re : Preuve de la conjecture de Goldbach

Salut Babacar,

Je pense que si tu veux résoudre ce problème en peu de lignes il te faut (au départ) une astuce de raisonnement nouvelle (genre le lemme des tiroires ou raisonnement par récurrence).

Ce qui ne semble pas être le cas de ta preuve.

Bon courage.

Dattier (alias pourexemple)

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Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés