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#1 18-04-2018 23:36:21
- Bnj07
- Invité
Matrice - Application linéaire
Bonjour à tous,
20 après mes cours je sèche sur un exercice qui consiste à déduire la base d'une nouvelle matrice de l'application linéaire.
L'énoncé est le suivant :
Endomorphisme de R4, de matrice A={(0,1,0,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,0,1,0)} dans la base canonique (ei) i=1 a 4.
1) Déterminer les bases du noyau et de l'image ?
Solution :
ker(f)={(0,1,0,-1),(1,0,-1,0)}
Im(f)={(0,1,0,1),(1,0,1,0)}
2) Montrer que f(e1+e3)=2*(e2+e4) et f(e2+e4)=2*(e1+e3)
En utilisant les propriétés des applications linéaires
f(e1+e3)= f(e1)+f(e3)=2*f(e1)=2*(0,1,0,1)=2*(e2+e4)
Idem pour l'autre.
3) En déduire une base B' dans laquelle la nouvelle matrice de f est B={(0,2,0,0),(2,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0)}
Et là c'est le bug.
Je n'arrive pas à faire le lien avec la question précédente. Ce que je fait ce mord un peu la queue.
J'apprécierais volontiers quelques lumières.
Merci d'avance pour votre aide.
#2 19-04-2018 05:55:09
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Matrice - Application linéaire
Bonjour
Regarde bien la forme de ta matrice. Les deux derniers vecteurs de ta base doivent être dans le noyau de f. Cela tombe bien tu as cherché une base de ce noyau.
Ensuite le premier vecteur de ta base doit être envoyé sur deux fois le deuxième, et le deuxième vecteur sur deux fois le premier. Tu ne vois pas le lien avec la question précédente ?
F.
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#3 19-04-2018 09:55:56
- Bnj07
- Membre
- Inscription : 18-04-2018
- Messages : 1
Re : Matrice - Application linéaire
Salut Fred,
Merci pour ton aide.
Je comprends ton explication pour le noyau.
Si f(e'3) et f(e'4) sont nuls dans la nouvelle base (C3 et C4 de B sont nuls) alors e'3 et e'4 sont dans le noyau de f et donc une combinaison linéaire de la base du noyau trouvée avant.
Pour compléter cette base je dois utiliser les deux relations précédentes.
Comme l'exercice est trivial je vois bien la combinaison linéaire mais je crois que ma compréhension n'est que partielle car je m'embrouille.
Je vais me poser (nuit très courte) et réfléchir, mais si tu vois comment me debloquer n'hésites pas.
Il faut que je sois solide dans ma compréhension sion si je veux expliquer correctement à mon tour.
Merci en tout cas.
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