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#1 02-04-2018 13:39:17

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

petit o

Salut
c'est quoi la différence entre petit o d'un développement limité et le grand O? Avec un exemple si possible. Merci d'avance

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#2 02-04-2018 21:10:02

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : petit o

Bonjour,

  La notation $o$ signifie "être négligeable devant", la notation $O$ signifie "être dominé par".
Souvent, quand on utilise la notation $O$ dans un développement limité, c'est pour donner un ordre de grandeur plus précis au reste.

Je te donne un exemple : tu as aussi bien $e^x=1+x+o(x)$ que $e^x=1+x+O(x^2)$. Le deuxième développement limité est plus limité car il te dit que le reste non seulement est négligeable devant $x$, mais en réalité il est dominé par $x^2$. Ce peut être utile. Par exemple, si tu veux étudier la limite de $(e^x-1-x)/x^{3/2}$ en $0$, le premier dl te donne
$$\frac{e^x-1-x}{x^{3/2}}=\frac{o(x)}{x^{3/2}}$$
ce qui ne te permet pas de conclure. Le deuxième dl te donne
$$\frac{e^x-1-x}{x^{3/2}}=\frac{O(x^2)}{x^{3/2}}$$
qui te permet de conclure que ceci tend vers $0$, car
$$\left|\frac{O(x^2)}{x^{3/2}}\right|\leq M\frac{x^2}{x^{3/2}}\leq Mx^{1/2}.$$

F.

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#3 02-04-2018 22:53:18

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

Re : petit o

Merci infiniment Fred! C'est lui qu'on appelle Lambdau? (pardon si c'est mal orthographié)

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#4 09-04-2018 13:00:10

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : petit o

Salut,

oui, notation de LANDAU !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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